高中数学新教材解三角形教案

中学数学新教材解三角形教案

中学数学新教材解三角形教案1

一、教学内容分析

向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.

本小节的重点是结合向量学问证明数学中直线的平行、垂直问题，以

及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.

二、教学目标设计

工、通过利用向量学问解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为

一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些

数学学问有机联系，拓宽解决问题的思路.

2、了解构造法在解题中的运用.

三、教学重点及难点

重点：平面对量学问在各个领域中应用.

难点：向量的构造.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习与回顾

1、提问：下列哪些量是向量？

⑴力(2)功⑶位移⑷力矩

2、上述四个量中，(D⑶⑷是向量，而⑵不是，那它是什么？

I说明］复习数量积的有关学问.

二、学习新课

例1（书中例5）

向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学

学科中也有很多妙用!请看

例2（书中例3）

证法（一）原不等式等价于，由基本不等式知⑴式成立，故原不等式成

立.

证法（二）向量法

［说明］本例关键引导学生视察不等式结构特点，构造向量，并发觉（等

号成立的充要条件是）

例3（书中例4）

［说明］本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到

证明.

二、巩固练习

1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.

（1）假如他径直游向河对岸，水的流速为4km/h,他实际沿什么方向前

进?速度大小为多少？

答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8km/h.

（2）他必需朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的

速度大小为多少？

答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.

三、课堂小结

1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.

2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学学问有机联系.

四、作业布置

1、书面作业：课本P73,练习8.44

中学数学新教材解三角形教案2

教学目标：

L了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系.

2会求一些简洁函数的反函数.

3.在尝试、探究求反函数的过程中，深化对概念的相识，总结出求反

函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特别到一般等数学

思想方法的相识.

4.进一步完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维实力，用辩证

的观点分析问题，培育抽象、概括的实力.

教学重点：求反函数的方法.

教学难点：反函数的概念.

教学过程：

教学活动

设计意图一、创设情境，引入新课

1.复习提问

①函数的概念

②y=f(x)中各变量的意义

2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即

S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中，

时间t是位移S的函数.在这种状况下，我们说t=是函数S=vt的反函数.什

么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容.

3.板书课题

由实际问题引入新课，激发了学生学习爱好，展示了教学目标.这样既

可以拨去反函数这一概念的神奇面纱，也可使学生知道学习这一概念的必

要性.

二、实例分析，组织探究

1.问题组一：

(用投影给出函数与;与()的图象)

⑴这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答：与

的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方

的运算，而是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算.同样，与()也互为

逆运算.)

(2)由，已知y能否求x?

(3)是否是一个函数?它与有何关系？

(4)与有何联系？

2.问题组二：

(1)函数y=2xl(x是自变量)与函数x=2yl(y是自变量)是否是同一函数?

(2)函数(x是自变量)与函数x=2yl(y是自变量)是否是同一函数？

(3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系？

3.渗透反函数的概念.

(老师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点)

从学生熟知的函数动身，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，

有利于培育学生抽象、概括的实力.

通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新

识，在最近进展区设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为

进一步抽象反函数的概念奠定基础.

三、师生互动，归纳定义

1.(依据上述实例，老师与学生共同归纳出反函数的定义)

函数y=f(x"x团A)中，设它的值域为C.我们依据这个函数中x,y的关系,

用y把x表示出来，得到x=j(y).假如对于y在C中的任何一个值，通

过x=j(y),x在A中都有的值和它对应，那么,x=j(y)就表示y是自变量,

x是自变量y的函数.这样的函数x=j(y"y团C)叫做函数y=f(x"x团A)的反函

数.记作:•考虑到用x表示自变量,y表示函数的习惯，将中的x与y对调写

成.

2.引导分析：

1)反函数也是函数；

2)对应法则为互逆运算；

3)定义中的假如意味着对于一个随意的函数y=f(x)来说不肯定有反函

数；

4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域；

5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数；

6)要理解好符号f;

7)交换变量x、y的缘由.

3,两次转换x、y的对应关系

(原函数中的自变量x与反函数中的函数值y是等价的，原函数中的

函数值y与反函数中的自变量x是等价的.)

4.函数与其反函数的关系

函数y=f(x)

函数

定义域

A

C

值域

C

A

四、应用解题，总结步骤

1.(投影例题)

【例1】求下列函数的反函数

(l)y=3x-l(2)y=x1

【例2】求函数的反函数.

(老师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤.)

2.总结求函数反函数的步骤：

1°由y=f(x)反解出x=f(y).

2°把x=f(y)中x与y互换得.

30写出反函数的定义域.

(简记为：反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函

数？

(2)的反函数是.

(3)(x0)的反函数是.

在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义

的特点，进而对定义有更深刻的相识，与自己的预设产生冲突冲突，体会

反函数.在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特别的数学

思想，并对数学的符号语言有更好的把握.

通过动画演示，表格对比，使学生对反函数定义从感性相识上升到理

性相识，从而消化理解.

通过对详细例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范

作用，并刚好归纳总结，培育学生分析、思索的习惯，以及归纳总结的实

力.

题目的设计遵循了从了解到理解，从驾驭到应用的不同层次要求，由

浅入深，按部就班.并体现了对定义的反思理解.学生思索练习，师生共同

分析订正.

五、巩固强化，评价反馈

1.已知函数y=f(x)存在反函数，求它的反函数y=f(x)

(l)y=-2x3(xR)⑵y=-(xR,且x)

(3)y=(xR,且x)

2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数，求f⑺的值.

五、反思小结，再度设疑

本节课主要探讨了反函数的定义，以及反函数的求解步骤.互为反函数

的两个函数的图象究竟有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢?我们将

在下节探讨.

(让学生谈一下本节课的学习体会，老师适时点拨)

进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数.反馈学生对学问的驾

驭状况，评价学生对学习目标的落实程度.详细实践中可实行同学板演、分

组竞赛等多种形式调动学生的乐观性.问题是数学的心脏学生带着问题走

进课堂又带着新的问题走出课堂.

六、作业

习题2.4第1题，第2题

进一步巩固所学的学问.

教学设计说明

问题是数学的心脏.一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过详细

到抽象，感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的详细实例引入反

函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念.

反函数的概念是教学中的难点，缘由是其本身较为抽象，经过两次代

换，又接受了抽象的符号.由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学

生难以从本质上去把握反函数的概念.为此，我们大胆地运用教材，把互为

反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究缘由，找寻规律，程序

是从问题动身，探讨性质，进而得出概念，这正是数学探讨的依次，符合

学生认知规律，有助于概念的建立与形成.另外，对概念的剖析以及习题的

配备也很精当，通过不同层次的问题，满意学生多层次须要，起到评价反

馈的作用.通过对函数与方程的分析，互逆探究，动画演示，表格对比、学

生探讨等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析

的过程中，完善学生思维的深刻性，培育学生的逆向思维.使学生自然成为

学习的主子。

中学数学新教材解三角形教案3

一：说教材

平面对量的数量积是两向量之间的乘法，而平面对量的坐标表示把向

量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面对量的坐标表示以

及平面对量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面对量数量积的坐标

表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解

决直线垂直问题，三角形边角的有关问题供应了很好的方法。本节内容也

是全章重要内容之一。

二：说学习目标和要求

通过本节的学习，要让学生驾驭

(1):平面对量数量积的坐标表示。

(2)：平面两点间的距离公式。

(3)：向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简洁应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难

点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的敏捷应用。

三：说教法

在教学过程中，我主要接受了以下几种教学方法：

⑴启发式教学法

因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较简洁，所以这节课我

打算让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发

觉几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直

的坐标表示的充要条件。

⑵讲解式教学法

主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的怀疑感;例题讲解时，演示

解题过程!

主要协助教学的手段(powerpoint)

⑶探讨式教学法

主要是通过学生之间的相互沟通来加深对较难问题的理解，提高学生

的自学实力和发觉、分析、解决问题以及创新实力。

四：说学法

学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生绽开，借以诱发学生

的学习爱好，增加课堂上和学生的沟通，从而达到刚好发觉问题，解决问

题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的乐观性。如让学生自

己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论!

并在详细的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！

五：说教学过程

这节课我打算这样进行：

首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们须要知道哪些量?

接着提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个

向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？

引导学生自己推导平面对量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上

还可以引导学生得到以下几个重要结论：

⑴模的计算公式

(2)平面两点间的距离公式。

⑶两向量夹角的余弦的坐标表示

(4)两个向量垂直的标表示的充要条件

其次部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟识公式并会加以

应用。

例题1是书上122页例1,此题是干脆用平面对量数量积的坐标公式

的题，目的是让学生熟识这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹

角？目的是让学生熟识两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是干脆证

明直线垂直的题，虽然比较简洁，但体现了一种重要的证明方法，这种方

法要让学生驾驭，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的

一个应用：即两个向量的数量积是否为零是推断相应的两条直线是否垂直

的重要方法之一。

例题3是在例2的基础上略微作了一下变更，目的是让学生会应用公

式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。

再配以练习，让学生能娴熟的应用公式，驾驭今日所学内容。

中学数学新教材解三角形教案4

一教材分析

本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的

三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全等也有亲密

联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形

和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦

定理的学问特别重要。

依据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有

学问水平，制定如下教学目标：

认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发觉正弦定理的内容，推

证正弦定理及简洁运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两

类问题。

实力目标：引导学生通过视察，推导，比较，由特别到一般归纳出正

弦定理，培育学生的创新意识和视察与逻辑思维实力，能体会用向量作为

数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。

情感目标：面对全体学生，制造同等的教学氛围，通过学生之间、师

生之间的沟通、合作和评价，调动学生的主动性和乐观性，给学生胜利的

体验，激发学生学习的爱好。

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对角解三

角形时推断解的个数。

二教法

依据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，

以学业生的进展为本，遵照学生的相识规律，本讲遵照以老师为主导，以

学生为主体，训练为主线的指导思想，接受探究式课堂教学模式，即在

教学过程中，在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作沟通为前提,

以"正弦定理的发觉”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的

思维由问题起先，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到

深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的爱好，鼓舞

学生大胆猜想，乐观探究，以及刚好地鼓舞，使他们知难而进。另外，抓

学问选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的学问特点入手，老师

在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的实力

线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破

难点

三学法：

指导学生驾驭"视察一一猜想一一证明一一应用”这一思维方法,实行个

人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对随

意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，视察，类比，思索，探

究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增加学生由特别到一

般的数学思维实力，形成了实事求是的科学看法，增加了锲而不舍的求学

精神。

四教学过程

第一：创设情景，也许用2分钟

其次：实践探究，形成概念，大约用25分钟

第三：应用概念，拓展反思，大约用13分钟

（一）创设情境，布疑激趣

"爱好是的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半,

本节课由一个实际问题引入，"工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩

下如右图所示的部分，O长为想修好这个零件，但他

0A=47/0B=53°,AB1m,

不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发学生

帮助别人的热忱和学习的爱好，从而进入今日的学习课题。

（二）探寻特例，提出猜想

1.激发学生思维，从自身熟识的特例（直角三角形）入手进行探讨，发

觉正弦定理。

2.那结论对随意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、

计算器等工具对一般三角形进行验证。

3.让学生总结试验结果，得出猜想：

在三角形中，角与所对的边满意关系

这为下一步证明树立信念，不断的使学生对结论的相识从感性逐步上

升到理性。

（三）逻辑推理，证明猜想

1.强调将猜想转化为定理，须要严格的理论证明。

2.鼓舞学生通过作高转化为熟识的直角三角形进行证明。

3.提示学生思索哪些学问能把长度和三角函数联系起来，继而思索向

量分析层面，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想。

4.思索是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，

做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明

（四）归纳总结，简洁应用

L让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发觉定理具有对称和谐美，

提升对数学美的享受。

2.正弦定理的内容，探讨可以解决哪几类有关三角形的问题。

3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与

实际问题的解决，能激发学生学问后用于实际的价值观。

（五）讲解例题，巩固定理

1.例1。在团ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1简洁，结果为解，假如已知三角形两角两角所夹的边，以及已知

两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

2.例2.在团ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟

识驾驭已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交

给学生。

（六）课堂练习，提高巩固

1.在团ABC中,已知下列条件，解三角形.

(l)A=45°,C=30°,c=10cm

(2)A=60°,B=45°,c=20cm

2.在团ABC中,已知下列条件，解三角形.

(l)a=20cm/b=llcm/B=30°

(2)c=54cm,b=39cm,C=115°

学生板演，老师巡察，刚好发觉问题，并解答。

(七)小结反思，提高相识

通过以上的探讨过程，同学们主要学到了那些学问和方法?你对此有

何体会？

1.用向量证明白正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

3.定理证明分别从直角、锐角、钝角动身，运用分类探讨的思想。

(从实际问题动身，通过猜想、试验、归纳等思维方法，最终得到了

推导出正弦定理。我们探讨问题的突出特点是从特别到一般，我们不仅收

获着结论，而且整个探究过程我们也驾驭了探讨问题的一般方法。在强调

探讨性学习方法，留意学生的主体地位，调动学生乐观性，使数学教学成

为数学活动的教学。)

(八)任务后延，自主探究

假如已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发觉正

弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预

习下一节内容。

五板书设计

板书设计可以让学生一目了然本节课所学的学问，证明正弦定理的方

法以及正弦定理可以解决的两类问题。

中学数学新教材解三角形教案5

教学分析

本节课的探讨是对初中不等式学习的持续和拓展，也是实数理论的进

一步进展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用

实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

通过本节课的学习，让学生从一系列的详细问题情境中，感受到在

现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分相识不等关系的存

在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行视察、归纳、抽象，完

成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.

在本节课的学习过程中还支配了一些简洁的、学生易于处理的问题，其用

意在于让学生留意对数学学问和方法的应用，同时也能激发学生的学习爱

好，并由衷地产生用数学工具探讨不等关系的愿望.依据本节课的教学内容,

应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个

代数式的大小.

在本节教学中，老师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简洁

的数形结合工具，干脆用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两

方面建立实数的依次关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的相

识.

三维目标

1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理

论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.

2.会用作差法推断实数与代数式的大小，会用配方法推断二次式的大

小和范围.

3.通过温故知新，提高学生对不等式的相识，激发学生的学习爱好，

体会数学的神奇与数学的结构美.

重点难点

教学重点：比较实数与代数式的大小关系，推断二次式的大小和范围.

教学难点：精确比较两个代数式的大小.

课时支配

1课时

教学过程

导入新课

思路1.（章头图导入）通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏

的壮丽画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近凹凸各不同”的大自然

和浩瀚的宇宙中，使学生在详细情境中感受到不等关系在现实世界和日常

生活中是大量存在的，由此产生用数学探讨不等关系的剧烈愿望，自然地

引入新课.

思路2.（情境导入）列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路

程的远近、百米赛跑的时间、数学成果的多少等现实生活中学生身边熟识

的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样

在数学上表示出来呢?让学生自由地绽开联想，老师组织不等关系的相关

素材，让学生用数学的观点进行视察、归纳，使学生在详细情境中感受

到不等关系与相等关系一样,在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学

生会由衷地产生用数学工具探讨不等关系的愿望，从而进入进一步的探究

学习，由此引入新课.

推动新课

新知探究

提出问题

[3项回忆初中学过的不等式，让学生说出"不等关系"与"不等式”的异同.

怎样利用不等式探讨及表示不等关系？

国2a在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等

关系.你能举出一些实际例子吗？

团3国数轴上的随意两点与对应的两实数具有怎样的关系？

随意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系？

活动：老师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等

关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号

表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用"ab""a

老师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分

合作探讨,使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了

一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.

实例1：某天的天气预报报道，气温32回，最低气温26同

实例2：对于数轴上随意不同的两点A、B,若点A在点B的左边，则

xA

实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

实例4：两点之间线段最短.

实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车

的速度v不超过40km/h.

实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于

2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.

老师进一步点拨：能够发觉身边的数学当然很好，这说明同学们已

经走进了数学这门学科，但作为我们探讨数学的人来说，能用数学的眼光、

数学的观点进行视察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我

们每个探讨数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所探讨过的什么

学问来表示这些不等关系呢?学生很简洁想到，用不等式或不等式组来表

示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的

式子.如-7-5,3+41+4,2xS6,a+220,3N4,045等.

老师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1,若用t表

示某天的气温，则260<t<32固实例3,若用x表示一个非负数，则x>0.

实例5,|AC|+|BC||AB|,如下图.

|AB|+|BC||AC|>|AC|+|BC||AB|>|AB|+|AC||BC|.

|AB|-|BC||AC|>|AC|-|BC||ABh|AB|-|AC||BC|.交换被减数与减数

的位置也可以.

实例6,若用v表示速度，则VS40km/h.实例7,伦2.5%,p22.3%.对

于实例7,老师应点拨学生留意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满

意,避开写成也2.5%或a2.3%,这是不对的.但可表示为住2.5%且p22.3%.

对以上问题，老师让学生轮番回答，再用投影仪给出课本上的两个结

论.

探讨结果：

⑴(2)略;⑶数轴上随意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实

数大

⑷对于随意两个实数a和b,在2=1),ab,a应用示例

例1(教材本节例1和例2)

活动：通过两例让学生熟识两个代数式的大小比较的基本方法：作差,

配方法.

点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两

种方法是代数式变形时经常运用的方法，应让学生娴熟驾驭.

变式训练

1.若f(x)=3x2-x+l,g(x)=2x2+x-l,则f(x)与g(x)的大小关系是()

A.f(x)g(x)B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l>10,0f(x)g(x).

2.已知xwO,比较(X2+1)2与x4+x2+l的大小.

解：由(x2+l)2-(x4+x2+l)=x4+2x2+l-x4-x2-l=x2.

取。0,得x20.从而(x2+l)2x4+x2+l.

例2比较下列各组数的大小(awb).

(I)a+b2与21a+lb(a0,bO);

(2)a4-b4与4a3(a-b).

活动：比较两个实数的大小，常依据实数的运算性质与大小依次的关

系，归结为推断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨

学生在最终的符号推断说理中，要理由充分，不行忽视这点.

解：(I)a+b2-21a+lb=a+b2-2aba+b=3a+b[2i2-4ab2,:a+b0=[?la-bl?j220a+b;l.

0aO,bO且awb,Ela+bO,(a-b)20.团自a-b田22倒a+b?jO,即a+b221a+lb.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2],

团2a2+(a+b)220(当且仅当a=b=O时取等号)，

又a#b,0(a-b)2O;2a2+(a+b)2O.0-(a-b)2[2a2+(a+b)2]O.

0a4-b44a3(a-b).

点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差一一变形一一推断符号.

变形常用的手段是分解因式和配方，前者将"差"变为"积"，后者将"差”化

为一个或几个完全平方式的"和"，也可两者并用.

变式训练

已知xy,且ywO,比较xy与1的大小.

活动：要比较随意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与。的

大小关系.

解：xy-l=x-yy.

0xy,0x-yO.

当yO时，x-yyO,即xy-10.0xyl;

当yO时，x-yyO,即xy-lOExyl.

点评：当字母y