河北省邢台市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

邢台市2023—2024学年高三（上）期末测试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B．C． D．2．若，则（）A． B． C． D．3．已知向量，满足，，则（）A． B．2 C． D．44．已知椭圆的上焦点为，则（）A． B．5 C． D．75．若，且为第三象限角，则（）A． B． C． D．6．已知函数，则函数的图象是（）A． B． C． D．7．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）A． B． C． D．8．设，若，则的最小值为（）A．6 B． C． D．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要．相关数据表明，人睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个，如下表：编号12345678910早睡群体睡眠指数65687585858588929295晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A．早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B．早睡群体的睡眠指数的众数为85C．晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D．早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小10．已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，为上一点，且，若到一条渐近线的距离为，且，则下列说法正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的离心率为C．的坐标可能是D．若过点且斜率为的直线与的左支有交点，则11．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，则（）A． B．过，，的截面面积为C．直线与所成角的余弦值为 D．与平面所成角的正弦值为12．已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（）A． B． C． D．1三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．13．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的一个对称中心为__________．14．已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为__________（用数字作答）15．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．16．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，点在直线上，则的最小值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）求的取值范围．18．（12分）已知数列满足，．（1）证明是等比数列，并求出的通项公式；（2）证明：．19．（12分）如图，在四棱雉中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，为的中点，平面与平面的交线为．（1）证明：平面．（2）若二面角为，求锐二面角的余弦值．20．（12分）某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．（1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．（2）现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分；后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．现已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为，求的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．21．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：．22．（12分）设为抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，当轴时，．（1）求抛物线的方程．（2）的延长线与的交点为，的延长线与的交点为，点在与之间．（i）证明：，两点关于轴对称．（ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围．

邢台市2023—2024学年高三（上）期末测试数学参考答案1．A因为，所以．2．C因为，所以．3．A因为，，所以．4．C因为椭圆的焦点在轴上，所以，．因为，所以，所以．5．B因为，且为第三象限角，所以，故．6．D因为的定义域为，所以的定义域为，所以排除A，C．因为，所以，所以排除B．故选D．7．B因为平面，平面，所以．因为，，所以平面．如图所示，设为球与平面的交线，则，，所以，所以所在的圆是以为圆心，为半径的圆．因为，所以弧的长为．8．D设，，令，解得，所以，即，当且仅当，时，等号成立．9．BD因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为，所以C错误；由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D正确．10．D因为到渐近线的距离为，所以．因为，，所以，．因为，所以．因为，所以，，所以的渐近线方程为，故A错误．由上知的离心率，所以B正确．因为，所以，所以，故C错误．当时，直线只与右支相交一点；当时，直线与左右两支各交一点；当时，直线与右支相交于两点，故D正确．11．BCD取的中点，连接（图略），则．因为，相交，所以，异面，故A不正确．取的中点，连接，，（图略），则等腰梯形即为过，，的截面．因为，，所以等腰梯形的高为，面积为，故B正确．连接（图略），因为，所以即直线与所成的角．在中，，，所以，故C正确．连接（图略），即与平面所成角的平面角，因为，，所以与平面所成角的正弦值为，故D正确．12．CD令，则，所以为奇函数．因为，且，，所以，所以在上单调递增．因为等价于，所以，所以，即在上恒成立．令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，．令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．13．（答案不唯一）由题意知所得图象的解析式为，令，，得，，所以所得图象的对称中心为．14．1792由，得．的通项公式为．令，得，所以展开式中含的项为．15．因为，所以，所以的定义域为，要使有意义，需满足，解得．16．2设，因为，所以，整理得动点的轨迹方程为，所以动点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆．因为圆心到直线的距离，所以．17．解：（1）因为，所以．因为，所以．因为为锐角三角形，所以．（2）因为，所以．因为为锐角三角形，所以得．因为，且，所以．18．证明：（1）因为，所以．因为，所以，所以是首项为2，公比为3的等比数列，所以，故的通项公式为．（2）由（1）知．当时，，所以，所以．19．（1）证明：因为四边形为菱形，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面平面，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点，连接，，．因为，均为正三角形，所以，，所以为二面角的平面角，即．如图所示，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．设平面的法向量为，，，则令，得．设平面的法向量为，，，则令，得，所以，所以锐二面角的余弦值为．20．解：（1）设事件为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，则．（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，所以的分布列为0123456所以的数学期望．张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率为．21．（1）解：，，．故曲线在点处的切线方程为，即．（2）证明：由（1）得．令函数，则，所以是增函数．因为，，所以存在，使得，即．所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．．因为，所以，所以．