2024年高中数学专题1-6重难点题型培优检测空间向量基本定理教师版新人教A版选择性必修第一册

专题1.6空间向量基本定理一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）已知{a→，b→A．a→-c→ B．a→+【解题思路】依据空间向量的一组基底是：随意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可推断出结论．【解答过程】解：由m→=a→-b→，n→=b→所以得a→-c→与故a→-c→不能与故选：A．2．（3分）已知空间向量a→，b→，①若a→与b→共线，b→与c→共线，则②若a→，b→，③若a→，b→，c→不共面，那么对随意一个空间向量p→，存在唯一有序实数组（x，y，④若a→，b→不共线，向量c→=λa→+μb→（A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】举反例，推断①；依据共面对量的定义推断②；利用空间向量基本定理推断③④．【解答过程】解：对于①，若a→与b→共线，b→与c→共线，则当b→=0对于②，共面对量的定义是平行于同一平面的向量，∴a→，b→，c→对于③，由空间向量基本定理可知：若a→，b→，c→不共面，那么对随意一个空间向量p→，存在唯一有序实数组（x，y，z），使得④若a→，b→不共线，向量则c→，a→，b故选：B．3．（3分）已知O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OCB．O，A，B，C中至少有三点共线 C．OA→+OB→D．O，A，B，C四点共面【解题思路】依据空间向量基本定理即可推断．【解答过程】解：由于向量OA→，OB所以O，A，B，C四点共面，故选：D．4．（3分）设P﹣ABC是正三棱锥，G是△ABC的重心，D是PG上的一点，且PD→=DG→，若PD→=xA．(56，13，23)【解题思路】G是△ABC的重心，可得AG→=13AB→+13AC→=13（PB→-PA→）+13（PC→【解答过程】解：因为P﹣ABC是正三棱锥，G是△ABC的重心，所以AG→=13AB→+13因为D是PG上的一点，且PD→=DG因为PG→所以PD→=1=1因为PD→=xPA→+yPB故选：B．5．（3分）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外随意一点，若由OP→=15OA→+23OB→+λA．215 B．23 C．-2【解题思路】利用向量共线定理与平面对量基本定理即可得出．【解答过程】解：因为A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP→=15OA→+23OB→∴三点P，A，C共线，∴15+23故选：A．6．（3分）在四面体O﹣ABC中，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，OE→A．38a→+14b→+【解题思路】利用空间向量的线性运算法则求解．【解答过程】解：画出图形，如图所示，则OP=12×1=3故选：A．7．（3分）如图，M为OA的中点，以{OA→，OC→，OD→}A．(12，-1，0) B．【解题思路】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【解答过程】解：∵M为OA的中点，∴DM→∵DM→∴x=12，y＝0，z＝﹣故选：B．8．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，则AP→A．13AB→+C．13AB→【解题思路】延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，由题意得出S△PB1C1=S△PC1D=S△PB1D，【解答过程】解：三棱锥A﹣BCD中，P为△BCD内一点，如图所示：延长PB至B1，使得PB1＝2PB，延长PC至C1，使得PC1＝3PC，连接DB1，B1C1，C1D，因为S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以S△所以P为△B1C1D的重心，所以PD→即PD→+2PB→所以（AD→-AP→）+2（AB→-AP所以AP→故选：C．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）若{aA．b→+c→，b→，b→-c→ B．a→，a→+b→，a【解题思路】利用共面对量定理干脆求解．【解答过程】解：{a对于A，(b→+c→)+(b→-c→)=2对于B，（a→+b→）+（a→-b→）=2a→对于C，a→+b→，a→对于D，（a→+b→+c→）=a→+故选：ABD．10．（4分）给出下列命题，其中正确的有（）A．空间随意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量a→∥b→，则aC．A，B，M，N是空间四点，若BA→，BM→，BN→不能构成空间的一组基底，则A，B，M，D．已知{a→，b→【解题思路】依据空间向量基底是三个不共面的向量，对选项中的命题真假性推断即可．【解答过程】解：对于A，空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，所以选项A错误；对于B，由向量a→∥b→，则a→对于C，若BA→，BM→，BN→不能构成空间的一组基底，则BA→，BM→，BN→是共面对量，所以A，B，对于D，因为{a→，b→，c→}是空间向量的一组基底，所以a→、即m→=a→+故选：BCD．11．（4分）有下列四个命题，其中真命题的是（）A．若p→=xa→+ybB．若p→与a→、b→C．若MP→=xMA→+yMB→，则D．若P、M、A、B共面，则MP【解题思路】由空间向量基本定理干脆求解．【解答过程】解：若p→=xa→+yb→若p→与a→、b→共面，但假如a→与b→共线，则p→就不确定能用同理，D也是错误的；若MP→=xMA→+yMB→，则MP→，MA→，MB故选：AC．12．（4分）已知空间向量i→A．向量i→+B．{i→C．向量i→+j→+D．向量i→+j【解题思路】利用向量的模的性质将i→+j→+k→的模转化为数量积求解，即可推断选项A，利用不共面的向量作为基底推断选项B，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可推断选项C【解答过程】解：对于选项A，因为空间向量i→所以|i→|=|则|i所以向量i→+j故选项A错误；对于选项B，因为空间向量i→所以i→，j→，所以i→+j则{i故选项B正确；对于选项C，设i→+j→+则cosα=所以向量i→+j→+故选项C正确；对于选项D，因为|i同理可得|k则cos＜所以向量i→+j→与k则向量i→+j故选项D错误．故选：BC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）已知{a→，b→，c→}是空间的一个单位正交基底，向量p→=a→+2b→+3c→，{a→+b→，a→−b→，c→}是空间的另一个基底，用基底{a→+b→【解题思路】设p→=x（a→+b→）+y（【解答过程】解：设p→=x（a→+b→）+y（则p→=（x+y）a→+（x﹣y）∵p→=a→+∴x+y=1x-y=2z=3∴p→=32（a→+b→故答案为：32（a→+b→）-114．（4分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B和B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．设MN→=xAA→1+yAB→+【解题思路】把三个向量AB→，A【解答过程】解：由题意三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N，则MN===5∵MN→∴x+y+z=512故答案为：1．15．（4分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，M是A1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN：NA1＝1：【解题思路】连接MN，利用空间向量基本定理和空间向量的线性运算，化简求解即可．【解答过程】解：连接MN，在△A1MN中，MN→因为M为A1D1的中点，所以MA因为点N是CA1上的点，且CN：NA1＝1：4，所以A1故MN→故答案为：4516．（4分）有下列四个命题：①已知A，B，C，D是空间随意四点，则AB→+②若两个非零向量AB→与CD→满足AB→+CD③分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面对量；④对于空间的随意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP→=xOA→+yOB→+zOC→（x，y，z∈R），则P其中正确命题有②．【解题思路】对4个命题分别进行推断，即可得出结论．【解答过程】解：①已知A，B，C，D是空间随意四点，则AB→②若两个非零向量AB→与CD→满足AB→+CD③分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面对量，不正确；④对于空间的随意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP→=xOA→+yOB→+zOC→（x，y，z∈R），仅当x+y+z＝1时成立，则P故答案为②．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）如图，在四面体OABC中，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，G为△ACB的重心，以【解题思路】利用重心的性质和向量的三角形法则即可得出．【解答过程】解：由G为△ACB的重心可知E为AC的中点，所以BE→=12（BA→+BC→）=12[（OA→-OB→）+（OC→-OB→OG→=OB→+BG→=b18．（6分）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12（1）用向量OA→，OB→，OC→（2）求|OP【解题思路】（1）利用向量运算法则干脆求解．（2）利用向量运算法则，求出OP→=14OA→+14OB→【解答过程】解：（1）AN→∴AN→（2）OP=1∴OP→∴|OP→|2=116（OA→+OB→+OC∴|OP19．（8分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=2（1）证明：A、E、C1、F四点共面．（2）若EF→=xAB→+yAD→+zAA【解题思路】（1）由AB∥C1D1，AB＝C1D1，BE∥D1F，BE＝D1F，且平面ABE∥平面C1D1F，∠ABE＝∠C1D1F，知△ABE≌△C1D1F，进而AE＝C1F，同理AF＝C1E，故AEC1F为平行四边形，由此能够证明A、E、C1、F四点共面．（2）结合图形和向量的加法和减法运算进行求解．【解答过程】证明：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BE=13BB1，DF=2∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，BE∥D1F，BE＝D1F，且平面ABE∥平面C1D1F，∠ABE＝∠C1D1F，∴△ABE≌△C1D1F，∴AE＝C1F，同理AF＝C1E，故AEC1F为平行四边形，∴A、E、C1、F四点共面．（2）解：如图所示：EF→=EB1→+B即x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+y+z=120．（8分）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，且点F为BC'与B'C的交点，点E在线段AC'上，有AE＝2EC'．（1）求AC'的长；（2）将EF→用基向量AB→，AD→，AA'→来进行表示．设EF→=xAB【解题思路】（1）AC'（2）EF→【解答过程】解：（1）AC'AC=42∴AC'（2）EF==1∴x=21．（8分）已知正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为2，过其底面中心O作动平面α交线段PC于点S，分别交PA，PB的延长线于点M，N，求1PS【解题思路】解：分别用基底{PA→，PB→，PC→}和{PM→，PN→，PS→【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，则D为BC的中点，∴AD→=1故PO→=PA→+AO→=PA设PA→=xPM→，PB→=yPN则PO→=13xPM→∵O，M，N，S四点共面，∴13x+13y+13z＝1，即x+y又x=PAPM=2PM，y∴2（1PS+1∴1PS22．（8分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M随意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD→=mPA→，PE→=nPB→，【解题思路】连接AG并延