直线与圆的位置关系第1课时高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系1课前预习素养启迪1.直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系(1)直线与圆相交,有

公共点;(2)直线与圆相切,只有

公共点;(3)直线与圆相离,没有公共点.两个一个2.直线与圆的位置关系的判断方式公共点两交点(2)几何法根据圆的方程求得

坐标与半径r,从而求得圆心到直线的距离d,通过比较

的大小,判断直线与圆的位置关系.若相交,则可利用勾股定理求得弦长.[问题]将直线方程代入圆的方程消去x(或y),得到一个一元二次方程,如何利用该方程的判别式Δ判断直线与圆的位置关系?答案:Δ>0,相交;Δ=0,相切;Δ<0,相离.圆心d与r1.直线3x-4y+8=0与圆(x-1)2+(y+1)2=6的位置关系是(

)A.相离 B.相交

C.相切 D.不确定AB2.“直线ax+by=1与圆x2+y2=1有公共点”是“点P(a,b)在该圆外”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件AD解析:因为圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆与x轴,y轴都相切,所以所求切线方程为x=0或y=0.4.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,则切线方程为

.

x=0或y=05.已知圆x2+y2-ax+2=0与直线l相切于点A(3,1),则a=

,直线l的方程为

.

4x+y-4=02课堂探究素养培育直线与圆的位置关系的判断[例1]已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(3)没有公共点?直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是圆心到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件做出恰当的选择.[针对训练]已知圆的方程是x2+(y-1)2=2,直线y=x-b,当b为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点,没有公共点?解:法一将y=x-b代入x2+(y-1)2=2中,消去y,得2x2-2(1+b)x+b2+2b-1=0,(※)其判别式Δ=4(1+b)2-8(b2+2b-1)=-4(b+3)(b-1).当-3<b<1时,Δ>0,方程(※)有两个不等实根,直线与圆有两个公共点;当b=-3或1时,Δ=0,方程(※)有两个相等实根,直线与圆只有一个公共点;当b<-3或b>1时,Δ<0,方程(※)无实数根,直线与圆没有公共点.弦长问题设直线l的方程为ax+by+c=0,圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,求弦长的方法通常有以下两种A.(x-2)2+(y+1)2=0B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=8

D.(x-2)2+(y+1)2=16圆的切线问题[例3]过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.②若切线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.求过某一点的圆的切线方程,首先判定点与圆的位置关系,以确定切线的条数.(2)求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线方程时,常用几何方法求解:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而求出切线方程.但要注意,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,切线方程为x=x0.[针对训练]平行于直线2x+y+1=0,且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(

)1.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(

)A.相交 B.相切C.相离 D.无法判断BACD2.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,直线l与圆(x-2)2+y2=2相切,则直线l的方程可以是(

)A.x+y=0 B.x+y