第三讲函数周期性知识总结与题型归纳(解析)

函数周期性知识总结与题型归纳题型一：函数周期性判断与应用知识再现1：若()，则为周期函数，为一个周期。例1：已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为()A. B. C. D.答案：C:解析：所以，所以，，所以例2：定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于(B)例3.（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是周期函数C． D．时，【答案】AB解：因为定义在上的函数满足，所以是偶函数，故A正确；又，所以是以为周期的周期函数，故B正确；设，则，所以，又是偶函数，则，即当时，故D错误；，故C错误；故选：AB.知识再现2：若()，则为周期函数，为一个周期。例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________答案：1解析：，是周期为4的函数，所以例2：设为定义在上的偶函数，，当时，，则___6__.解析：，是周期为6的函数，所以知识再现3：若()，则为周期函数，为一个周期。例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________答案：1解析：，是周期为4的函数，所以例2：定义域为R，对于任意x都有且问是否是周期函数？如是则周期是多少？解：如图可知M（1，0），N（4，0）是对称中心，设为的任意一点，它的关于M的对称点是则：设与关于N点对称则4–=–4，由题意 即对于任意都有是周期函数，周期为6.结论：若函数的图象为对称中心在X轴上的中心对称图形，则为周期函数，周期为两对称中心距离的2倍。例3：已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（）A．函数是周期函数 B．函数为上的偶函数 C．的图象关于点对称函数 D．为上的单调函数答案：D解析：，是周期为3的函数，故A正确；因为为奇函数，所以，令可得，，即，又因，所以，所以为上的偶函数，所以B对，D错，因为奇函数，所以它关于原点对称，故把向左平移单位，得到的图象，所以的图象关于点对称，所以C对。例4：（多选）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（

）A．为周期函数 B．为上的偶函数C．为上的单调函数 D．的图象关于点对称【答案】ABD解析：对于：函数，是周期为的函数，故正确；对于B：，即又的周期为，又是奇函数，,令，则是偶函数，即是偶函数，故B正确；对于C：由B知是偶函数，在和上的单调性相反，在上不单调，故C错误；对于D：函数为奇函数，的图象关于点对称，的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，的函数图象关于点对称，故D正确．故选：ABD例5：设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.(1)当时，求的解析式；(2)计算.【答案】(1)，(2)解析(1)，，是周期为4的周期函数.当时，，由已知得.又是奇函数，，，又当时，，，又是周期为4的周期函数，，从而求得时，.(2)，，，，又是周期为4的周期函数，.又，.知识再:4：若()，则为周期函数，为一个周期。例1：函数对于任意实数满足条件，若则__________。解析：由得，所以，则。例2：已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（

）A． B． C． D．【答案】B由可得，①对任意的，，所以，，②由①②可得，所以函数是周期为的周期函数．因为为偶函数，则，因为，由可得，且，由可得，因为，所以，，故函数为偶函数，因为，则，所以，，由可得，因为，所以，.故选：B.知识再现5：，则为周期函数，为一个周期。例1.若对任意的，都有，且，，则的值为．答案：。解析：若对任意的，都有，所以，得，所以，所以，所以，所以例2：已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（

）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函数的周期为，再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由，得，即，所以，所以函数的周期为，又为偶函数，则，所以，所以函数也为偶函数，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故选：.知识再现6：（1）若函数满足，则．（2）若函数满足，则函数是以为周期的周期函数．例1：定义在上的函数对任意，都有，则等于（）A.B.C.D.答案：D解析：，所以是周期为4的函数，知识再现7：若的图像有两条对称轴和()，则为周期函数，为一个周期。例1.已知函数是上的偶函数，且，当时，，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】A解析：由题，因为偶函数，所以，又，所以,即，所以是周期函数，，故故选：A知识再现8：若的图像有两个对称中心和()，则为周期函数，为一个周期。例1.函数的定义域为，若与都是奇函数，则（）A.是偶函数B.是奇函数C.D.是奇函数答案：D解析：是奇函数，，所以关于对称，因为为奇函数，所以，所以关于对称，所以，所以为奇函数。知识再现9：若的图像有一条对称轴和一个对称中心()，则为周期函数，为一个周期。例1：.（多选）已知函数对，都有，且，则（

）A．的图像关于直线对称B．的图像关于点中心对称C．D．【答案】ABC解析：因为，所以关于对称，A选项正确；又，令去取代，所以，再令取代，所以，所以的周期为4，由可得：，所以的图像关于对称，结合的周期为4，所以的图像关于点中心对称，故B正确；定义在上的奇函数满足，令中，可得，所以，故C正确；，故D不正确.故选：ABC.例2．（2021·全国（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）A． B． C． D．【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.例3．（2021·全国（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）A． B． C． D．【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．，所以．思路二：从周期性入手：由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．例4．（2018·全国（文））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则A． B． C． D．【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.例5.已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则答案：解析：，令，得，解得，所以，所以关于对称，因为的图象关于点对称，所以关于对称，所以，且为奇函数，所以例6.（2021全国卷甲卷理科12）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（）答案：D解析：是奇函数，，所以关于对称，是偶函数，，所以关于对称，所以，又因为奇函数，所以，所以，因令，得，因，所以，所以，又因，解得，所以当时，，所以例7：（2021新高考2卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A．B．C．D．答案：B解析：是偶函数，，所以关于对称，因为为奇函数，所以，所以关于对称，所以，又因为奇函数，所以，又因，令，得，所以例8：:已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（

）A． B． C． D．【答案】C解析:因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，则，则，即，所以，即，则，所以的周期是4.故选：C.题型二：类周期函数例1．（2019·全国（理））设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是A． B．C． D．【解析】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．变式训练1.若定义在R上的奇函数满足，且时，则：（1）__________；（2）当时，_________.【答案】

解析：∵定义在R上的奇函数满足，∴，，∴，即函数是以4为周期的周期函数，又时，∴，∴当时，，∴，∴当时，，∴.故答案为：（1）；（2）2.（2016年山东理）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，；当时，.则f(6)=（）（A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2【答案】D【解析】：当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.3（多选）设函数的定义域为R，且满足，当时，，则下列说法正确的是（

）B．函数的图象关于点对称C．D．若，则有【答案】BCD解析：由可知的图象关于对称，由的图象关于对称，故，所以是周期函数且周期为8，结合函数的性质以及时，，有：，故A错误；由且周期为8，有，可知B正确；由函数的性质可得函数图象（如图），由图象可知，，故C正确；由在一个周期内的图象可知，在有且仅有，1，3，5这几个零点，结合函数周期为8，可知，函数在R上的所有零点为全体奇数，即，故D正确，故选：BCD．4．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3解析：因为，所以，所以的周期为4，又为奇函数，所以，所以，令，得，所以,所以，故选：C.5.已知定义域为的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（

）A． B．是奇函数C．的图像关于直线对称 D．在[0，10]上有6个零点【答案】AB【分析】通过给题中恒成立的等式赋值，求函数值，判断奇偶性、对称性和零点.【详解】选项A：对于，令，得，对于，令，得，所以，则，A正确；选项B：由得，由得，所以，是奇函数，B正确；选项C：由，得，所以12是的一个周期，又是奇函数，所以的图像关于点对称，因为不恒为零，所以的图像不关于直线对称，C错误；选项D：由A知，对于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零点为0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．故选：AB．6．（2018·江苏）函数满足，且在区间上，则的值为____．【解析】由得函数的周期为4，所以因此7．（2020·全国（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.8.（多选）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（

）A．的图象关于对称 B．是的一个周期C． D．【答案】ACD【分析】由函数的图象关于对称，可得，即可判断A；先求出最小正周期为，再推出由可判断B；令，求出可判断C；求出，可判断D.【详解】对于A，由函数的图象关于对称，可推得，令等价于，则，的图象关于对称，所以A正确.对于B，令由，，所以，，所以关于对称.由，所以，所以，，所以，关于对称.令等价于，则，又因为，所以令等价于，所以，所以可得出最小正周期为.，，所以不是的周期，所以B错误.对于C，令，则，所以，所以C正确.

对于D，因为图象关于对称，所以，因为，，因为最小正周期为，所以，所以，，有，选项D正确.故选：ACD.9（多选）已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据条件判断关于中心对称和轴对称，可求出是函数的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.【详解】由可得函数关于中心对称，且，又因为为偶函数，所以，令等价于，所以可知函数关于轴对称，再令替换，所以，所以知，，，所以，即是函数的周期，由，令，则，故A正确；因为，由已知条件无法求出，故C不正确；由可得，所以B不正确；由可得与关于中心对称，所以是函数的周期，，故D正确.故选：AD.10（多选）.已知定义域为的偶函数的图象是连续不间断的曲线，且，对任意的，，恒成立，则（

）A.在上单调递增

B.是以4为周期的函数C.的图象关于直线对称D.在区间上的零点个数为100.答案BD解:令x=1,得f(1)+f(1)=f(1),即f(1)=0,对任意的,,恒成立,故f(x)在[2,0]上单调递增,而f