专题5.10 分式的加减法（知识讲解）八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题5.10分式的加减法（知识讲解）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分；2．会进行同分母分式的加减法运算；3．会进行异分母分式的加减法运算。【要点整理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.特别说明：“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.特别说明：异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、分式的加减➽➼同分母分式相加减➽➼化简✭✭求值1．计算（1）；（2）．【答案】（1）1；（2）0【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可求解．解：(1)原式；(2)原式．【点拨】本题考查了同分母分式的加减运算，属于基础题，计算过程中细心即可．举一反三：【变式】计算：（1）【答案】（1）；（2）m-n；（3）1；（4）-1【分析】首先通分，然后再依照“分母不变，分子相加减”的规则进行运算，计算过程中要合理运用因式分解相关公式，注意结果要约分化为最简形式.解：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=.【点拨】分式加减运算中，通分是关键环节，要学会寻找最简公分母，同时注意最后结果的约分.类型二、分式的加减➽➼异分母分式相加减➽➼化简✭✭求值2．计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】异分母分式相加减，先进行通分，将异分母分式化成同分母分式，再进行加减运算．解：（1）原式，，，；（2）原式，，，，．【点拨】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握异分母分式加减法法则，注意结果要化简．举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；（2）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解；（3）原式先通分，再根据同分母分式加减法计算法则计算即可求解．解：（1），，，，；（2），，，；（3）．【点拨】本题考查了分式的加减法，异分母分式相加减时，先通分，变为同分母分式，再进行加减运算是解题关键．类型三、分式的加减➽➼整式与分式相加减➽➼化简✭✭求值3．计算：【答案】【分析】先通分，再加减运算即可.解：原式====.【点拨】本题考查分式的加减，熟练运用通分是解题关键.举一反三：【变式1】下面是某同学在完成作业本（2）第5题第（2）小题的过程．……①……②……③上面的解题过程________（填“正确”或“错误”）；如果正确，请写出每一步的依据；如果有错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程．【答案】错误，从第①步开始出错，正确的解题过程见分析．【分析】根据分式的减法法则即可得．解：由分式的减法法则可知，上面的解题过程错误，从第①步开始出错，正确的解题过程如下：，，．【点拨】本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．【变式2】计算：【答案】2a解：解法1：原式………………2分………………4分………………6分解法2：原式………………1分………………2分………………4分………………5分………………6分类型四、分式的加减➽➼已知分式的恒等式，确定分子的分子与分母4．已如是恒等式，请分别求的a、b的值．【答案】【分析】先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可．解：，∴去分母可得：，∴，由恒等式可得：，解得：．【点拨】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．举一反三：【变式1】已知，求、的值．【答案】，【分析】首先化简方程，然后根据等式关系，列出二元一次方程组，解得即可.解：原方程可化为，，可得，解得，．【点拨】此题主要考查分式加减运算的恒等式，关键是列出关于、的二元一次方程组．【变式2】已知，求的值.【答案】【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，再代入计算即可．解：∵左边=，右边=所以解得：.把，代入，．【点拨】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．类型五、分式的加减➽➼分式相加减混合运算➽➼化简✭✭求值5．计算； (2)； (3)．【答案】(1)； (2)； (3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算；（2）分式的公分母为，先通分，在进行计算；（3）直接进行通分，在进行计算．（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点拨】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．举一反三：【变式1】计算：； (2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．（1）解：，===1；（2）解：.【点拨】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．【变式2】下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题．=

第一步=

第二步=

第三步=

第四步=

第五步=

第六步

（1）填空：a．以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是b．第步开始出现错误，这一步错误的原因是①，②．（2）请直接写出该分式化简后的正确结果．（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）a．三，分式的基本性质；b．四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；（2）；（3）分式的混合运算，要注意运算顺序【分析】（1）a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；（2）去括号化简即可；（3）分式的混合运算，要注意运算顺序等．解：（1）a．第三步是通分，把第二项分子分母都乘以2，分式的值不变，这是分式的基本性质；故答案为：三，分式的基本性质；b．第四步开始出现错误，去括号出现错误和乘法分配律出现错误；故答案为：四，①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二项没有变号，②去括号时，括号里面的第二项没有与括号前的系数相乘；（2）=====．故答案为：；（3）分式的混合运算，要注意运算顺序(答案不唯一)．【点拨】本题考查了分式的加减，解题时注意运算顺序，最后结果要化到最简．类型六、分式的加减➽➼分式的加减实际应用6．国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元；开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？【答案】(1)， (2)【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据题意列出分式，然后根据分式加减运算法则求解即可．（1）解：∵增加了两名学生，总人数达到x名∴原来的学生数为∵租金为300元∴原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元．故答案为，．（2）解：由题意可得：．答：开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊元钱．【点拨】本题主要考查了列代数式，分式的加减运算等知识点，根据题意列出代数式和分式是解答本题的关键．举一反三：【变式1】春田中学有一块实验菜地，原来用漫灌方式浇菜地n天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用2天，现在比原来每天节约用水多少吨?【答案】【分析】列出原来及现在每天用水的数量，两者相减即可．解：原来每天用水吨，现在每天用水吨，则现在比原来每天节约用水吨．【点拨】此题考查了分式加减法的应用，正确理解题意列得分式减法是解题的关键．【变式2】最近一段期间新冠肺炎肆虐，此情形下，很多单位都争着购买消毒液．某商贩先购进消毒液箱，价格为每箱50元，后又购进消毒液箱，价格为每箱60元，然后以每箱55元的价格全部售给某单位，请用、的式子表示每箱的平均进价．当时，该平均进价相对55元