高中数学导数

导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量

与自变量的增量之商的极限。在•个函数存在导数时，称这个函数可导或者可做殳。可导的

函数一定连续。不连续的函数淀不可导。导数实质上就是个求极限的过程，导数的四

则运算法则来源于极限的四则运算法则。

导数(derivativefunction)

亦名纪数、微通(微分中的概念)，由速度变化问题和曲线的切级问题而抽象出

来的数学概念。又称变化率。

如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米/小时.

但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。

为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，

设汽车所在位置s与时间t的关系为

s=f(t)

那么汽车在山时刻to变到t1这段时间内的平均速度是

[f(t1)-f(tO)]/[t1-tO]

当t1与to很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反

映汽车在to到t1这段时间内的运动变化情况.

自然就把极限【f(ti)-f(towm-toi作为汽车在时刻to的瞬时速度，这就是通常所

说的速度。

一般地，假设一元函数y=f(x)在xO点的附近(xO-a,xO+a)内有定义；

当自变量的增量Ax=X—XOTO时函数增量_Ay=f(x)—f(xO)与自变量增

量之比的极限存在且有限，就说函数f在xO点可导，称之为f在xO点的(或变化率).

导数的几何意义

若函数f在区间।的每一点都可导，便得到一个以।为定幺域的新函数，记作f(xy或

y',称之为f的导函数，简称为导数。

函数y=f(x)在xO点的导数f(xO)的儿何意义：表示函数曲线在PO[xO,f

(xO)]点的切线斜率

一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y=f(x)在(a,

b)内可导。如果在(a,b)内，f'(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的。。如

果在(a,b)内，f(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以，当f'(x)=0

时，y=f(x)有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小

值。

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

导数是微积分中的重要概念。

导数另一个定义：当x=xO时，f'(xO)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)

便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数(derivativefunction)(简称导数)。

y，=/3=hm"»后一了⑺

y=f(x)的导数有时也记作y',即(如右图)：

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导

数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示

经济学中的边际和弹性。

以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氐空回的函数变化。为了研究更

一般的流形上的向量从截面(比如切向量场)的变化，导数的概念被推广为所谓的“政

绝”。有了联络，人们就可以研究大范围的儿何问题，这是微分儿何与物理中最重要

的基础概念之一。

注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。

2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值

点。但导数为零•(导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则

该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x"3中f'(0)=0,x=0的左右导数符号为正，

该点为一般驻点。)

编辑本段

求导数的方法

(1)求函数y=f(x)在xO处导数的步骤:

①求函数的增量Ay=f(xO+Ax)-f(xO)

②求平均变化率

③取极限，得导数。

(2)几种常见函数的导数公式:

①C'=0(C为常数函数)；

②(xAn)'=nxA(n-1)(nGQ)：

(3)(sinx)'=cosx；

(cosx)'="sinx；

(tanx)'=1/(cosx)A2=(secx)A2

(cotx)=-1/(sinx)A2=-(cscx)A2

(secx)'=tanxsecx

(cscx)'=-cotxcscx

(arcsinx)'=1/(1-xA2)A1/2

(arccosx)'=-1/(1-xA2)A1/2

(arctanx)'=1/(1+xA2)

(arccotx)'=-1/(1+xA2)

④(shx)，=chx

(chx),=shx

(thx)f=1/(chx)A2

(coth)=-1/(shx)A2

⑤(eAx)'=eAx；

(aAx),=aAxlna(In为自然对数)

(lnx)*=1/x(In为自然对数)

(logax)'=(xlna)A(-1),(a>0且a不等于1)(xA1/2)'=[2(xA1/2)]A(-1)

(1/x)'=xA(-2)

补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往

忽略这一点，造成歧义，要多加注意。

(3)导数的四则运算法则(和、差、积、商)：

①(U±v)=u'±v，

②(uv)'=u'v+uv，

③(u/vy=(ul・W)/vA2

(4)复合函数的导数

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自

变量的导数一称为链式法则。

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献!

编辑本段

导数公式及证明

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

基本导数公式

1。=0

2(*'=M-1

3(siiix)7=cosx

4(cosx),=-sinx

5(tanx)7=-=sec2x

coszx

6(cotz)7=---r-o—=—csc2x

sinx

7(secx)7=secitann

8(cscx)7=—escxcotx

9

100°&㈤-zlna

11(eI)11/=e1

12(屋)'=屋Ina其中a>0,a1

13(arcsmx)=------

V1—xy2

(arccosx),=----/1

14

15

(arctanx)=t2

16(arccotx)=­.

1o

基本导数公式

1.y=c(c为常数)y*=0

2.y=xAn,y=nxA(n-1)

3.(1)y=aAx,y=aAxlna；(2)y=eAxy'=eAx

4.(1)y=logaX,y=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)；(2)y=lnx,y'=1/x

5.y=sinxy*=cosx

6.y=cosxy'=-sinx

7.y=tanxy'=1/(cosx)A2

8.y=cotxy'=-1/(sinx)A2

9.y=arcsinxy'=lVl-xA2

10.y=arccosxY'=-1/A/1-XA2

11.y=arctanxy'=1/(1+xA2)

12.y=arccotxy'=-1/(1+xA2)

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

l.y=f[g(x)],y=f'[g(x)Pg'(x)H'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变

量』

2.y=u/v,y，=(u'v-uv,)/vA2

3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y=1/x'

证：1,显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x

的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Ay=c-c=0,limA)t->0Ay/Ax=0o

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为

任意实数的一般情况。在得到y=eAxyhe^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合

函数的求导给予证明。

3.y=aAx,

△y=aA(x+Ax)-aAx=aAx(aAAx-1)

△y/Ax=aAx(aAAx-1)/Ax

如果直接令Ax-O,是不能导出导函数的，必须设•个辅助的函数B=aAAx-1通

过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Ax=loga(1+P)o

所以(aAAx-1)/Ax=p/loga(1+p)=1/loga(1+p)A1/p

显然，当Ax-0时，B也是趋向于。的。而limgO(1+B)A1/B=e，所以

limP->01/loga(1+p)A1/p=1/logae=lna。

把这个结果代入limAx-^OAy/Ax=limAx^OaAx(aAAx-1)/Ax后得到

limAx-*OAy/Ax=aAxlna。

可以知道，当a=e时有y=eAxy'=eAXo

4.y=logax

△y=loga(x+Ax)-logax=loga(x+Ax)/x=loga[(1+Ax/x)Ax]/x

△y/Ax=loga[(1+Ax/x)A(x/Ax)]/x

因为当AxfO时，Ax/x趋向于0而x/Ax趋向于8,所以

limAx-^0loga(1+Ax/x)A(x/Ax)=logae,所以有

limA—>OAy/Ax=logae/xo

也可以进一步用换底公式

limAx->OAy/Ax=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)A(-1)

可以知道，当a=e时有y=lnxy'=1/x。

这时可以进行y=xAny'=nxA(n-1)的推导了。因为y=xAn,所以y=eAln(xAn)=eAnlnx,

所以y'=eAnlnx»(nlnx),=xAnTi/x=nxA(n-1)o

5.y=sinx

△y=sin(x+Ax)-sinx=2cos(x+Ax/2)sin(Ax/2)

△y/Ax=2cos(x+Ax/2)sin(Ax/2)/Ax=cos(x+Ax/2)sin(Ax/2)/(Ax/2)

所以limAx-^0Ay/Ax=limAx->0cos(x+Ax/2)dimAx-^0sin(Ax/2)/(Ax/2)=cosx

6.类似地，可以导出y=cosxy'="sinxo

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cosA2x=(cosA2x+sinA2x)/cosA2x=1/cosA2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sinA2x=-1/sinA2x

9.y=arcsinx

x=siny

x=cosy

y,=1/x,=1/cosy=Wl-sinA2y=1//l-xA2

10.y=arccosx

x=cosy

x=-siny

y,=1/x,=-1/siny=-1/^1-cosA2y=-1/^1-xA2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cosA2y

y,=1/x,=cosA2y=1/secA2y=1/1+tanA2x=1/1+xA2

12.y=arccotx

x=coty

x'=-1/sinA2y

y,=1/x,=-sinA2y=-1/cscA2y=-1/1+cotA2y=-1/1+xA2

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较

复杂的复合函数求导时通过查阅昱教表和运用开头的公式与

4.y=u±v,y'=u'±v'

5.y=uv,y=u,v+uv,

均能较快捷地求得结果。

y=xAny'=nxA(n-1),y=aAxy'=aAxlna有更直接的求导方法。

y=xAn

由指数函数定义可知，y>0

等式两边取自然对数

Iny=n*lnx

等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数

y**(1/y)=n*(1/x)

yf=n*y/x=n*xAn/x=n*xA(n-1)

幕函数同理可证

导数说白了它其实就是斜率

上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以两

者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数,而不是零的话，那么比值会很大,

可以认为是无穷大，也就是我们所说的导数不存在.

x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.

建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它,但永远

到不了那个岸.

并且要认识到导数是一个比值.

导数的应用

1.函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性

利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的

一个应用，它充分体现了数形结合的思想.

一般地，在某个区间(a,b)内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单

调递增；如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

如果在某个区间内恒有f'(x)=O,则f(x)是常数函数.

注意：在某个区间内，f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是

必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=O。也就是说，如果已知f(x)

为增函数，解题时就必须写f'(x>0。

(2)求函数单调区间的步骤

①确定f(x)的定义域；

②求导数；

③由(或)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当

f'(x)VO时，f(x)在相应区间上是减函数.

2.函数的极值

(1)函数的极值的判定

①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；

②如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值或极小值.

3.求函数极值的步骤

①确定函数的定义域；

②求导数；

③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；

④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如

果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.

4.函数的最值

(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值(或最小值)是在(a,b)内一点处取得的，显然

这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值)，它是f(x)在(a,b)内所有的极

大值(或极小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在［a,b］的端点a或b

处取得，极值与最值是两个不同的概念.

(2)求f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤

①求f(x)在(a,b)内的极值;

②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最

小值.

5.生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问

题，优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可

以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大(小)值问题.

6.实习作业

本节内容概括总结了微积分建立的时代背景，并阐述了其历史意义，包括以下六

部分：

(1)微积分的研究对象；

(2)历史上对微积分产生和发展的评价；

(3)微积分产生的悠久历史渊源；

(4)微积分产生的具体的时代背景；

(5)牛顿和莱布尼茨的工作；

(6)微积分的历史意义.

7.注意事项

(1)函数图像看增减，导数图像看正负。

(2)极大值不一定比极小值大。

(3)极值是局部的性质，最值是整体的性质

编辑本段

高阶导数

高阶导数的求法

1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数.

一般用来寻找解题方法。

2.高阶导数的运算法则：

・d”

（U±V）=

di”

di”

nJH-FCjfc

U-v）=yC^-一u--v（莱布尼兹公式）

Andxn-krdxk

高阶导数运算法则

［注意：必须在各自的导数存在时应用(和差点导数)」

3.间接法：利用已知的高阶导数公式，

通过四则运算，

变量代换等方法，『注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式』

求出阶导数.

常见高阶导数的公式:

印

ax=ax-lnna(a>0)

需

¥e=e

^kx+b+717T\

¥sin(kx+b)=knsin

~T)

[kx+b+

加cos{kx+6)=kncos

n—1

n,若a<n且0N*则上工。

黑xa=xQ~n(a—fc)(a>€0）

fc=03

("1)!

¥\nx=(-l)n-1

xn

1nI

需(Hk

X

112—n3—n

farcsiiiT=2n-1x1-n——r—,x9

2'2''22

7T—2nXy/7V112—n3—71

%arccosx=252,1；

2xn22

2—723—72

rarctanT=2n-1x1-n；f2

1；2'2

2—n3—n

%arccotx=—2n-1x1-rz11,1;9

一；t

22

(-l)nn!ln+ln+2.31

丽arccsca;=-----：——-------------i—

xn+i2，2，2，，2

常见高阶导数公式

第十讲导数

【考点透视】

1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）：学

握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.

2.熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导

法则，会求某些简单函数的导数.

3.理解可导函数的单调性与其导数的关系：了解可导函数在某点取得极值的必要条件和

充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最

小值.

【例题解析】

考点1导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理

解导函数的概念.

例1./'(X)是/。)=；/+2尤+1的导函数，则广(―1)的值是

［考查目的］本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

［解答过程］•••f\x)=x2+2,.-./,(-1)=(-1)2+2=3.

故填3.

例2.设函数〃x)=七£,集合M=*"(x)<0},P={x"(x)>0},若M^p,则实数a的取值范围是

X-1

()

A.(-8,1)B.(o,1)C.(1,+°O)D.［1,+°O)

［考查目的］本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

［解答过程］由_-<0,.,.当a>l时当^笈的力；,a<x<\.

x-1

x-a!(x-aXx-l-(x-q)a—1

■,•y=------/=----------=-------'弓/=-----7>°-

X-l(x-l)2(X-1)2

/.a>1.

综上可得M亚P时，’a>］.

考点2曲线的切线

(1)关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的

切线的斜率.

(2)关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

典型例题

例3.已知函数/(x)=；/+g+以在区间［―1,1),(1,3］内各有一个极值点.

(I)求1一4〃的最大值；

(II)当/—40=8时;设函数y=/(x)在点4(1,/⑴)处的切线为/,若/在点A处穿过

函数y=/(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y=/(x)运动，经过点A时，从/的一侧

进入另一侧)，求函数/(x)的表达式.

思路启迪：用求导来求得切线斜率.

解答过程：⑴因为函数/(x)=；/+；62+bx在区间［-1,1),(1,3］内分别有一个极值点,

所以f'M=x2+ax+b=0在［―1,1),(1,3］内分别有一个实根，

2

设两实根为玉，x2(玉<》2),则x2-x,=^a-4b,且0<彳2-玉W4.于是

0<J/—初W4,0<。2_4。〈16,且当玉=—1,X2=3,即。=一2,匕=一3时等号

成立.故。2一4》的最大值是16.

(II)解法一：由/'(l)=l+a+8知/(x)在点(1,/(I))处的切线/的方程是

21

=，即y=+,

因为切线/在点A(L/*))处空过y=/(x)的图象，

21

所以g(x)=/(x)一［(1+。+。)%一§一耳0在尤=1两边附近的函数值异号，则

X=1不是g(x)的极值点.

1121

而8(%)=§/+/。厂+bx—(1++/?)%+—+—6Z,且

g'(x)=/+办+。一(1+Q+。)=/+