小学数学-最常犯错的典型题+解析

小学数学-最常犯错的典型题+解析

分数百分数应用题

—单位"1”转换

知识点梳理

基本步骤：1、确定单位"1"'

2、准确找出"量"与"率"之间的对应关系•

3、确定乘除法,

4、统一单位"1"。

在题目中常常出现几个不同的单位"1"•这时需要将它们转化

为统一的单位"1"•以便于比较和发现数量关系.

典型例题精讲

例1.妈妈买来一桶油•第一次倒出全部的I•第二次倒出余

下的j■还乘（J下6千克,求这桶油原来共有多少千克？

4

解析

整体对应式：6千克+第一次倒的?+余下的：T"1"

134

第一次倒出3•单位"1"是这桶油

第二次倒出余下的；■单位"V是（L：的;

2II

即是全部的yx-=-

解：6+口-；-（）£]=12（千克）

答：这桶油原来12千克。

例2.甲校人数是乙校人数的：，乙校人数是丙校人数的1甲

校比丙校少450人，求三校各有多少人？

甲？乙？丙？

甲145。内

解析

统一单位"1"•抓住中间量"乙"。

4

甲校人数是乙校人数的单位"1"是"乙",

乙校人数是丙校人数的1•单位"1"是"丙"♦

可以转化为•丙是乙的z。

乙:450+(1)=750(A)甲：750X-=600(人)

丙：750x2=1050(人)

4_2

例3.商店运来白菜和土豆共630千克•运来白菜的灯与土豆的M

一样多•商店运来白菜'土豆各多少千克？

解析

方法一：按比分配解决

/一*

白菜4=±豆.—X-2

4||_2II

白*xj|x-二土豆.X5X4

白菜：土豆=11:10

白菜:630+（11+10）x11=330（千克）

土豆:630-330=300（千克）

方法二：统一单位“1”

4210

以白菜为单位"1"，土豆是白菜的J7+工=77

10

630+（1+77）=330（千克）

630-330=300（千克）

答：运来白菜330千克，土豆300千克。

例6.兄弟四人合修一条路•结果老大修了另外三人总数的一半•老

二修了另外三人总数的--老三修了另外三人总数的:•老四

34

修了91米，问这条路长多少米？

解析

统一单位：以总路程为单位“1”

11

老大修了总路程的

老二修了总路程的

老三修了总路程的备」

=420（千米）

答：这条路长420米。

例7.哥哥和弟弟共有人民币

10•8兀,哥哥用去自己

钱数的75%•弟弟用去自

己钱数的80%•两人所剩

的钱正好相等•哥哥原来

有多少钱？

解析

哥哥的钱X(1-75%);弟弟的钱X(1-80%)

哥哥的钱x25%=弟弟的钱x20%

哥哥的钱：弟弟的钱=4:5

哥哥:10.8+(4+5)x4=4.8(元)

弟弟：10.8-4.8=6(元)

答：哥哥原来有4.8元钱。

分数百分数应用题

——抓不变・

解决分数百分数应用题的基本步骤

例：某校学生六年级人数是五年级人数的:2

L要找准单位"V

2.是要看所给"量"例：果园里有桃树200棵，梨树是桃树的3,求有梨树

3.要决定乘除法多少棵？5

4.是乘法知道"1"例：某班近视的学生有28人，占这班总人数的9,这个班有多

少名学生？5

5.要除法求出T

6是"是""率"要对应

特别提示：画线段图是解题的笑键•画图时,要先画单位"1"

典型例题精讲

例1.小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占两人图书总

数的60%•当小强借给小明20本后,小强和小明图书本数的比是2:

3。两人一共有图书多少本？

解析

小强借给小明20本之前；

小强和两人图书的本数比是：60%=3:5

小强借给小明20本之后;

小强和两人图书的本数比是：2+3=52:5

20+（3-2）=20（本）

共有书：20x5=100（本）

例2.一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得

含水量为99%，过一段时间•测得含水量为98%•

这时葡萄的质量是多少千克？

解析

刚进来时,100千克葡萄含水量99%­葡萄干的含量是

1-99%=1%-100xl%=l（千克）

过一段时间后,测得含水帚为98%•葡萄干的含曷是

1-98%=2%•葡萄干的质量不变•1+2%=50（千克）

答：这时葡萄的质量是50千克。

例3.某校六年级上学期男生占总人数的54%•本学

期转进3名女生,转走3名男生,这时女生占总人

数的48%。现在有男生多少人？

解析

方法一：男生人数和女生人数都在变,只有六年级的总人数不变•

本学期转进3名女生，转走3名男生之前,男生占总人数的54%,

转走之后男生占总人数的1-48%=52%

总人数：3+(54%-52%)=150(人)

现在男生：150x52%=78(人)

解析

方法二：用比例解决

解设：六年级有学生X人•男生54%X,女生46%X.

(54%X-3):(46%X+3)=52%:48%

200X=30000

X=150

现在有男生：150x52%=78(人)

行程问题

—相遇问题

知识点梳理

解答行程问题的基础，在于正确理解并掌握速度、时间、路程三种量

之间的如下关系：

路程=速度X时间s=VT

时间=路程+速度T=SW

速度=路程+时间V=S+T

相遇问题是行程问题中的一种类型，解答相遇问题要紧紧抓住"速度

和"这个关键条件。相遇问题的基本关系是：

速度和x相遇时间=路程

路程+速度和=相遇时间

路程+相遇时间=速度和

速度和一甲速度=乙速度

典型例题精讲

例1.甲、乙两列火车从相距824千米的两城相向出发•6小时以

后还相差200千米没相遇•甲车每小时行48千米,求乙车每

小时行多少千米？

解析

甲48「米7小时求乙的速度乙

•---------------------------►200千米---------•

6小时6小时

解：

824-200=624（千米）

624+6=104（千米）

104-48=56（千米）

答：乙车每小时行56千米。

例2.甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出•甲车每小时行56

千米，乙车每小时行48千米•两车在距中点32千米处相遇，求A、

B两地间的距离是多少千米？

解析

甲56「米/小时.4«|■米/小时乙

•卜”案------------匕

A中点B

甲'乙两车的速度差：56-48=8（千米）甲'乙两车的路程差：32x2=64（千米）

甲、乙两车的相暹时间：64+8=8（小时）

A-B两地间的距题:（56+48）X8=832（千米）

答：A*B两地间的距离是832千米»

例5.A、B是圆的直径的两端点，甲在A

点•乙在B点同时出发反向而行,他

们在C点第一次相遇•C点离A点有

80米，在D点第二次相遇•D点离B

点有60米,求这个圆的周长？

看图解析

甲、乙二人走半个圆时,第一次相遇•甲走80

米,相遇后•又走一个圆,二次相遇•共走

3个半圆,甲走80x3=240米，走了一个半

圆多60米>所以半圆长240-60=180米•圆

周长180x2=360米

例7.甲'乙'丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米,乙走

75米­丙走60米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东

头同时出发相向而行,甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇.

那麽这条长街的长度是多少米？

看图解析

甲、丙的路程差：

(60+75)*4=540米

内•---------*14分钟亚八

甲、丙速度差：

1|1>/米份一><,175米份

90-60=30米

西•I-J------------4-----------------

甲乙相遇时间：乙西“忆

540+30=18分

全长：(90+75)x18=2970米

行程问题

—追及问题

知识点梳理

运动的物体或人同向而不同时出发•或不同地点出发•后出发的

速度快•经过一段时间追上先出发者。这样的问题叫做追及问题。

追及问题的三要素："追及路程"、"速度差"和追及时间。

追及问题的基本关系是：追及路程一速度差=追及时间

速度差X追及时间=追及路程

追及路程:追及时间=速度差

典型例题精讲

例1.妹妹以每分钟40米的速度从家步行去学校，哥哥比她

晚8分钟骑自行车从家出发去追妹妹,哥哥每分钟骑行

200米,哥哥几分钟可以追上妹妹？

解析

路程差：40x8=320（米）

速度差：200-40=160（米/分钟）

解：320+（200-40）=2（分钟）

答：哥哥2分钟可以追上妹妹。

例2.A'B两地相距1200米。甲、乙两个人分别从两地同时出发。

若相向而行,8分钟相遇；若同向行走,60分钟甲可以追上

乙。甲从A地走到B地要用多长时间？

（和+差）+2=大数

（和•差）+2=小数

解析

速度和：1200+8=150米速度差：1200+60=20米

甲的速度：（150+20）+2=85米/分

甲走完全程用的时间：1200+85=142分

17

答：甲从A地走到B地要用多长时间142分钟。

17

一60分钟

III乙

1_________»8分钟Y----------•--------------

C

1200米

例5.从时针指向4点开始,在经过多

少分钟时针正好与分针重合？

解析：指向4点时，

时针和分针角度差：4X30-0=120度

可以当做行程问题

分针每分走36412+5=6度，时针每分

走30・60=0.5度

速度差为605=5.5度

1285.5=240/11分钟

再经过240/11分重合

行程问题一流水行船

知识点梳理

（-）基本概念

船在江河里航行时•除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶

逆,在这种情况下计算船只的航行速度'时间和所行的路程•叫做流水行

船问题。古语："逆水行舟不进则退"

船速：是指船本身的速度•也就是在静水中单位时间里所走过的路程。

水速：是指水在单位时间里流过的路程。

顺水速度和逆水速度：分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所

行的路程。

（二）计算公式

流水行船问题•是行程问题中的一种•三个量（速度、时间'路程）

流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度=船速+水速（1）

逆水速度=船速-水速.（2）

由公式（1）得：水速=顺水速度-船速•船速=顺水速度-水速

由公式（2）可以得到：水速=船速-逆水速度•船速=逆水速度+水速。

已知船的逆水速度和顺水速度•根据公式（1）和公式（2）得到：

船速二（顺水速度+逆水速度）+2-水速=（顺水速度-逆水速度）+2。

典型题

例1.甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港■

顺水8小时到达•从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船

在静水中的速度和水流速度。

解析

顺水速度:208+8=26（千米/小时）

逆水速度:208+13=16（千米/小时）

船速:（26+16）+2=21（千米/小时）

水速:（26—16）+2=5（千米/小时）

答：船在静水中的速度和水流速度。

例2.某船在静水中的速度是每小时15千米-它从上游甲地开往下游

乙地共花去了8小时,水速每小时3千米,问从乙地返回甲地需要

多少时间？

解：

从甲地到乙地,顺水速度：15+3=18（千米/时），

甲乙两地路程：18x8=144（千米）,

从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小时）•

返回时逆行用的时间：144+12=12（小时）。

答：从乙地返回甲地需要12小时。

河流中相遇问题

车辆相遇问题：单位时间内路程和等于甲乙两车的速度和"

路程=时间X速度和

在河流中甲、乙两船速度和•

推导：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）+（乙船速-水速）

二甲船船速+乙船船速•

结论：两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样•与水速没有关系•

水上追及问题

如果两船逆向追赶时•也有：

车辆同向：路程差=速度差X时间

甲船逆水速度-乙船逆水速度

两船同向：路程差=船速差X时间

（甲船速-水速）-（乙船速-水速）

推导：甲船顺水速度-乙船顺水速度

=甲船速-乙船速-

=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）

=甲船速-乙船速-

结论：水中追及问题与在静水中追及问题及两车在陆地上追及问题一样。

例5.甲、乙两船在静水中速度分别为每

小时24千米和每小时32千米,两船

从某河相距336千米的两港同时出发

相向而行,几小时相遇？如果同向

而行，甲船在前,乙船在后•几小

时后乙船追上甲船？

解析

解：①相遇时用的时间

336+（24+32）

=336+56

=6（小时）•

②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：

336子（32—24）=42（小时）。

工程问题

一般工程问题

知识点梳理

1,计籁有关工程的工作总量、工作时间'工作效率的问题叫工程问题•

2、工程问题中有整数应用题和分数应用迤•它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作

效率三者之间的奂系•

3、分数工程问题的将点：般没有具体的工作总量■工作总量通常用单位"1"表示•

4•工程问题的基本数・父系式：

工作效率X工作时间=工作总量

工作总量+工作效率=工作时间

工作总局+工作时间=工作效率

典型例题精讲

例1.生产一批零件,甲单独做

需要15天,乙单独做需要12

天,丙单独做需要10天，如

果甲、乙、丙三人合做•多

少天可以完成？

解析

把一批零件看成单位"1"

甲工作效率：

乙工作效率：卜口=4

丙工作效率：1+1。=看

三人合做需要的天数：

答：甲、乙、丙三人合做4天可以完成。

例2.一件工作,甲做9天可以完

成,乙做6天可以完成。现在

甲先做了3天,余下的工作由

乙继续完成。乙需要做几天

可以完成全部工作？

解析

甲工作效率：*9=5

乙工作效率：1+6=%

甲做3天完成的工作量：1x3=I

余下的由乙做需要的天数：5?V=4（天）

答：乙需要做4天可以完成全部工作。

例3.一房屋由甲乙两个工程队

合盖,需要24天完成,现由

甲队先盖6天■再由乙队盖2

3

天­共盖了这间房屋的五•

如果这间房屋由甲队单独盖•

需要多少天完成？

解析

I

I：效和：14-24=X

11

合盖2大：24X2=12

311

甲队的工作效率：(的石)+(6-2)=前

1

甲队单独盖所用的天数：1+而=60天

例4.某工程先由甲单独做40天•

再由乙做28天就可以完成，

现在甲乙合作35天就完成了­

如果先由甲单独做30天，再

由乙接着做•乙还要工作多

少天才能完成?

解析

甲乙工作效率和：1+35=5

甲的工作效率：（1x28）+（40-28）=-5-

乙的工作效率：±-±=±

356084

甲做3。天完成的工作量：小3。1

剩下由乙做需要的天数：（i」）+_L=42（天）

284

答：乙还要工作42天才能完成。

例5.一项工程甲单干50天完成•

乙单干75天完成,两人一起

合作,中间乙休息了几天,

这样从开工到完成共用了40

天,求乙休息了几天？

解析

1

甲的工作效率:

50

±

乙的工作效率:

75

中40天完成的匚作量：而，4。=:

乙完成的工作量：

乙工作的天数：%：=15（天）

乙休息的天数：40-15=25（天）

速算与巧算一分数拆分

识点梳理

一'简便计算方法：

加法：交换律(a+b=b+a\结合律：【(”+/»)+c="+(/>+<?)]

运嵬定律'乘法：交换律(axb=bxa)结合律：[(axb)xc=ax(.bx