高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积教案 新人教B版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积教案新人教B版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积

2.教学年级和班级：高中一年级XX班

3.授课时间：XX年XX月XX日第X节

4.教学时数：1课时（45分钟）

教学内容：

1.理解并掌握三角函数积化和差与和差化积的方法。

2.能够运用积化和差与和差化积公式进行三角函数的化简和计算。

3.了解积化和差与和差化积在实际问题中的应用。

教学步骤：

一、导入（5分钟）

1.复习上节课学过的三角恒等变换内容，提出问题，引导学生思考。

2.引出本节课的主题：三角函数的积化和差与和差化积。

二、课堂讲解（20分钟）

1.讲解三角函数积化和差公式，并通过示例进行解释。

2.讲解三角函数和差化积公式，同样通过示例进行解释。

3.对比两种公式的异同，加深学生理解。

三、课堂练习（15分钟）

1.布置一些典型题目，让学生独立完成，巩固所学知识。

2.对学生进行指导，解答他们在练习中遇到的问题。

四、应用拓展（5分钟）

1.介绍积化和差与和差化积在实际问题中的应用，如物理中的振动问题。

2.引导学生思考如何运用所学知识解决实际问题。

五、总结与布置作业（5分钟）

1.对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。

2.布置作业：课后习题，巩固所学知识。

教学评价：核心素养目标1.培养学生逻辑推理与数学抽象能力，使其能够理解和运用三角函数积化和差与和差化积的公式，进行有效的数学表达和推理。

2.提升学生数学建模和解决问题的能力，通过解决实际问题，让学生体会数学知识在实际情境中的应用。

3.增强学生数据分析能力，使其在处理三角函数相关数据时，能准确应用和差化积与积化和差的方法，优化解题过程。

4.培养学生数学运算的熟练性和准确性，通过课堂练习和课后作业，提高学生对三角函数运算的技巧和速度。教学难点与重点1.教学重点

-核心内容：本节课的核心是三角函数的积化和差与和差化积公式及其应用。

-公式理解：重点讲解积化和差（$\sinA\cosB+\cosA\sinB=\sin(A+B)$等）和和差化积（$\sin(A\pmB)=\sinA\cosB\pm\cosA\sinB$等）的基本公式，并解释其推导过程。

-运算技能：强调如何运用这些公式进行三角函数的表达式转换和简化计算。

-实际应用：结合实际例题，展示这些公式的应用场景，如物理振动问题中的角度叠加等。

举例解释：

-通过图示或动态演示，帮助学生理解两个角的和与差在三角函数中的体现，从而加深对积化和差公式的理解。

-以具体的数学题目为例，演示如何利用和差化积公式简化复杂的三角函数运算。

2.教学难点

-难点内容：理解和记忆积化和差与和差化积公式的具体形式及其适用条件。

-公式运用：学生在运用公式进行化简和计算时，往往会混淆公式，或不能正确选择应用。

-角度变换：在将实际问题中的角度关系转化为数学表达式时，学生可能会出现角度变换不准确的问题。

-认知负担：由于涉及多个公式的记忆和应用，学生可能感到认知负担较重。

举例解释：

-针对公式混淆的问题，设计对比练习，让学生通过对比不同公式的结构和用途，加深记忆。

-在解决角度变换问题时，提供具体步骤的指导，如先确定基准角，再计算相对角度等，帮助学生建立清晰的解题思路。

-通过分步骤的教学和重复练习，逐步减轻学生的认知负担，使其能够熟练掌握公式。

-对于记忆困难，可以引入一些记忆技巧，如使用助记法或图表帮助学生记忆公式。教学资源准备1.教材：

-确保每位学生都提前准备好新人教B版必修4数学教材，以便于课堂上及时查阅和理解本节课的相关内容。

-教师准备教学参考书和教案，以便于在课堂上提供额外的解释和示例。

2.辅助材料：

-准备与三角函数积化和差与和差化积相关的图片和图表，以视觉化的方式帮助学生理解抽象的数学公式。

-制作或搜集一些动态视频资料，演示三角函数公式的推导过程和应用实例，提高学生的学习兴趣和直观理解。

-准备一些典型例题的解析图解，通过图解的方式让学生更清晰地看到解题步骤和思路。

-设计一些互动式电子白板练习，让学生可以在课堂上即时操作，增强互动性和参与感。

3.实验器材：

-虽然本节课不涉及物理实验，但如果条件允许，可以准备一些简单的实验器材，如直角三角形模型、角度测量仪等，用于直观展示三角函数中的角度关系。

-准备计算器或计算软件，供学生在解决复杂计算问题时使用。

4.教室布置：

-将教室座位按照小组讨论的形式排列，方便学生进行合作学习和讨论。

-在教室前方设置多媒体展示区，确保所有学生都能清晰地看到展示的图片、视频和板书。

-如果有实验操作环节，提前设置实验操作台，并确保实验器材的安全存放和易于取用。

-在教室墙壁或黑板上张贴与三角函数相关的公式和知识点海报，创造一个数学学习的氛围。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

-发放预习材料，引导学生提前了解三角函数积化和差与和差化积的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

-设计预习问题，如“积化和差与和差化积公式在生活中的应用”，激发学生思考，为课堂学习三角函数的内容做好准备。

教师备课：

-深入研究教材，明确教学目标和教学重难点。

-准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。

-设计课堂互动环节，如小组讨论和问题解答，提高学生学习三角函数的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

-通过展示三角函数在物理振动中的应用视频，吸引学生的注意力。

-提出问题，如“如何将两个角的正弦和余弦函数转换为单个角的函数？”，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入学习状态。

回顾旧知：

-简要回顾上节课学习的三角恒等变换内容，帮助学生建立知识之间的联系。

-提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

-清晰、准确地讲解积化和差与和差化积的知识点，结合实例帮助学生理解。

-突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

-设计小组讨论环节，让学生围绕“积化和差与和差化积公式的推导和应用”问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

-鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

-通过例题讲解和练习，让学生掌握积化和差与和差化积技能的操作方法。

-设计实践活动或实验，让学生在实践中体验知识的应用，提高实践能力。

-在新课呈现结束后，对积化和差与和差化积的知识点进行梳理和总结。

-强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

-设计随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对知识的掌握情况。

-鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。

错题订正：

-针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。

-引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

-介绍积化和差与和差化积在信号处理和工程中的应用，拓宽学生的知识视野。

-引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

-结合三角函数在现实生活中的应用，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

-鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

-简要回顾本节课学习的积化和差与和差化积内容，强调重点和难点。

-肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

-根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。学生学习效果1.知识与技能：

-学生能够理解并掌握三角函数积化和差与和差化积的基本概念和公式。

-学生能够运用积化和差与和差化积的公式进行三角函数的表达式转换和简化计算。

-学生通过课堂练习和课后作业，提高了对三角函数运算的熟练性和准确性。

-学生能够将实际问题中的角度关系转化为数学表达式，解决实际问题。

2.过程与方法：

-学生通过小组讨论和互动探究，增强了合作学习和问题解决的能力。

-学生在解决具体问题时，能够运用类比、归纳等数学思维方法，提高了解题效率。

-学生通过多媒体资源和实验器材的辅助，直观理解了三角函数公式的推导和应用。

-学生在预习和课堂小结中，培养了自主学习的能力，形成了良好的学习习惯。

3.情感态度与价值观：

-学生对三角函数的学习产生了兴趣，提高了学习数学的积极性和主动性。

-学生通过数学知识在实际生活中的应用，认识到数学的价值，增强了学习的责任感。

-学生在课堂讨论和分享中，提升了自信心，培养了勇于表达自己观点的勇气。

-学生在解决实际问题的过程中，体验到了数学学习的乐趣，形成了积极向上的学习态度。

4.创新与实践：

-学生在探索积化和差与和差化积公式的应用时，能够提出新的解题思路和方法。

-学生在教师的引导下，尝试将三角函数的知识应用到其他学科领域，如物理、工程等。

-学生在完成课后作业时，能够灵活运用所学知识，解决具有挑战性的问题。

-学生通过参加课堂活动和实践操作，提高了动手能力，培养了创新意识和实践精神。

5.学科核心素养：

-学生通过本节课的学习，逻辑推理和数学抽象能力得到了锻炼和提高。

-学生在解决实际问题时，数学建模和数据分析能力得到了提升。

-学生在合作学习和课堂互动中，培养了良好的沟通能力和团队协作精神。

-学生在探索三角函数知识的过程中，数学运算和数学思维能力得到了加强。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

在本节课的教学中，教师首先通过预习材料和预习问题引导学生提前了解三角函数积化和差与和差化积的学习内容，为课堂学习做好准备。接着，在课堂导入环节，通过展示与三角函数在物理振动中的应用视频，吸引学生的注意力，引发学生的好奇心和求知欲。然后，教师清晰、准确地讲解了积化和差与和差化积的知识点，结合实例帮助学生理解，并通过小组讨论和互动探究培养学生的合作精神和沟通能力。在技能训练环节，通过例题讲解和练习，让学生掌握积化和差与和差化积技能的操作方法。最后，在课堂小结环节，对积化和差与和差化积的知识点进行了梳理和总结，强调了重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

2.当堂检测

为了检测学生对本节课所学内容的掌握情况，教师设计了以下当堂检测题目：

(1)已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\sin(A+B)$的值。

(2)已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\sin(A-B)$的值。

(3)已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\cos(A+B)$的值。

(4)已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\cos(A-B)$的值。

(5)已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\tan(A+B)$的值。

(6)已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\tan(A-B)$的值。板书设计①积化和差公式：

-$\sinA\cosB+\cosA\sinB=\sin(A+B)$

-$\sinA\cosB-\cosA\sinB=\sin(A-B)$

②和差化积公式：

-$\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB$

-$\sin(A-B)=\sinA\cosB-\cosA\sinB$

③重点示例：

-$\sin30^\circ\cos45^\circ+\cos30^\circ\sin45^\circ=\sin(30^\circ+45^\circ)$

-$\sin30^\circ\cos45^\circ-\cos30^\circ\sin45^\circ=\sin(30^\circ-45^\circ)$

2.艺术性和趣味性：

①使用彩色粉笔或标记笔，将公式和示例用不同颜色突出显示，增加视觉冲击力。

②在板书设计中加入一些与三角函数相关的图形，如直角三角形、圆等，增加直观性和趣味性。

③使用简化的符号或图形表示公式中的运算，如用“+”表示加法，用箭头表示角度的变换，使板书更加简洁明了。

④在板书设计中加入一些与三角函数相关的趣味元素，如用小动物或卡通人物形象表示角度，增加学生的兴趣和参与感。

⑤使用一些幽默或富有创意的语言描述公式和示例，增加学生的学习乐趣和记忆效果。教学反思与总结在这次三角函数积化和差与和差化积的教学过程中，我采用了预习、课堂导入、知识讲解、互动探究、技能训练、课堂小结等环节，力求让学生全面理解和掌握这一部分内容。通过课堂实践，我发现学生们对三角函数的学习产生了浓厚的兴趣，他们在课堂讨论和互动中表现出很高的积极性，这让我感到非常欣慰。同时，我也发现了一些需要改进的地方。在今后的教学中，我会更加注重学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上有所收获。另外，我会在课堂小结环节加强对知识点的梳理和总结，帮助学生形成完整的知识体系。总的来说，这次教学过程让我收获颇丰，我会以此为契机，不断提高自己的教学水平，为学生们提供更好的数学教育。典型例题讲解例题1：已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\sin(A+B)$的值。

解答：根据和差化积公式，$\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB$。将已知的$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$代入公式，得到$\sin(A+B)=\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\cosA\times\sinB$。由于$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}$，$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}$。因此，$\sin(A+B)=\frac{12}{25}+\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}\times\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}$。计算后得到$\sin(A+B)=\frac{12}{25}+\frac{7}{25}=\frac{19}{25}$。

例题2：已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\sin(A-B)$的值。

解答：根据和差化积公式，$\sin(A-B)=\sinA\cosB-\cosA\sinB$。将已知的$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$代入公式，得到$\sin(A-B)=\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}-\cosA\times\sinB$。同样地，$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}$，$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}$。因此，$\sin(A-B)=\frac{12}{25}-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}\times\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}$。计算后得到$\sin(A-B)=\frac{12}{25}-\frac{7}{25}=\frac{5}{25}$。

例题3：已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，求$\cos(A+B)$的值。

解答：根据积化和差公式，$\cos(A+B)=\cosA\cosB-\sinA\sinB$。将已知的$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$代入公式，得到$\cos(A+B)=\cosA\times\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\times\sinB$。同样地，$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}$，$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}$。因此，$\cos(A+B)=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}\times\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\times\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}$。计算后得到$\cos(A+B)=\frac{8}{25}-\frac{12}{2