《控制工程基础》第五章频域分析

一方面，在研究中发现的主要问题：时域分析法：分析控制系统的直接方法。优点：直观。缺点：分析高阶系统非常繁琐。

背景知识另一方面的主要发现：输入不同频率的正弦信号，输出的也是正弦信号，频率与输入频率相同，仅幅值和相角有变化，且变化规律是输入频率的函数。背景知识解决问题的思路：输入不同频率的正弦信号，能否通过分析输出信号的幅值和相角随输入频率的变化规律（频率特性），来分析系统的性能？背景知识第五章控制系统的频域分析方法5.1频率特性的基本概念5.2幅相频特性图（Nyquist图）5.3对数频率特性图（Bode图）5.4频域稳定判据5.5基于MATLAB的频域分析频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性。频率特性分析法(频域法)

是利用系统的频率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。频域分析方法概述频率特性分析法是一种图解的分析方法。

不必直接求解系统输出的时域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。

系统的频域指标和时域指标之间存在着对应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十分方便、直观。频域分析方法概述已知求稳态时5.1频率特性的基本概念稳态时，其中，当输入为正弦信号，则线性系统的输出在稳定后也是正弦信号；其输出正弦信号的频率与输入正弦信号的频率相同；输出幅值和输出相位按照系统传递函数的不同，随着输入正弦信号频率的变化而有规律的变化。

频率特性的定义

设系统传递函数为。定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的幅值之比为系统的幅频特性。幅频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在幅值上的增益特性（衰减或放大）。幅频特性

定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的相移为系统的相频特性。

相频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在相位上产生的滞后（）或超前（）特性。相频特性频率特性的定义

上述定义的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性，它描述了系统对正弦输入的稳态响应。

频率特性的定义

系统的频率特性函数是一种复变函数，可以表示成如下形式：系统频率特性的表示形式

是

的实部，称为实频特性。

是

的虚部，称为虚频特性。

矢量图表示如下

：系统频率特性的表示形式频率特性函数也可以表示成如下形式：

是

的模，称为幅频特性。

是

的相角，称为相频特性。系统频率特性的表示形式

系统的频率特性函数可由系统的传递函数求得。频率特性的求取——解析法

将s平面的复变量的取值范围限定在虚轴上，即所得到的传递函数就是系统的频率响应。频率响应是在特定情况下的传递函数。如下图所示系统，其传递函数为

将

代之以

，即得到系统的频率特性

函数为例1例2如图所示系统，其传递函数为求系统的频率特性及系统对正弦输入的稳态响应。解：系统的闭环传递函数为令系统的频率特性为系统的稳态输出响应为频率特性图由于频率特性包括幅频特性和相频特性，若分别将幅值和相角随频率的变化规律画在坐标纸上，就得到了所谓的频率特性图。频率特性的图解表示方法幅频特性图相频特性图乃奎斯特（H.Nyquist)1889~1976，美国Bell实验室著名科学家5.2幅相频率特性图

（乃奎斯特图，或乃氏图）频率变化幅相变化幅相频率图是反映频率特性的几何表示。当

从

0

逐渐增长至

时，频率特性

作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。幅相频率特性图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线、极坐标图。5.2.1乃氏图的基本概念1.比例环节5.2.2典型环节的乃氏图2.积分环节

3.微分环节

4.一阶惯性环节

5.二阶振荡环节

令

或

得为与负虚轴交点。相角0º～－180º，与负虚轴有交点。(1)写出和表达式；(2)分别求出

和

时的；(3)求乃氏图与实轴的交点，可利用的关系式求出，也可以利用关系式（其中n为整数）求出；(4)求乃氏图与虚轴的交点，可利用的关系式求出，也可利用关系式（其中n为奇数）求出；(5)必要时画出乃氏图中间几点；(6)勾画出大致曲线。5.2.3乃氏图一般作图方法例3画出下列两个0型系统的极坐标图，式中均大于0。解：系统的频率特性分别为幅频特性相频特性当以上分析说明0型系统、的极坐标图的起始点位于正实轴上的一个有限点。而当时分别以和趋于坐标原点。时当时例4画出I型系统的极坐标图，式中均大于0。解：系统的频率特性分别为幅频特性相频特性当时当时以上分析说明时，系统的极坐标图起点在无穷远处，所以下面求出系统起始于无穷远点时的渐近线。当时，对的实部和虚部分别取极限得上式表明，

的极坐标图在

时，即图形的起始点，位于相角为

的无穷远处，且趋于一条渐近线，该渐近线为过点

且平行于虚轴的直线；当

时，幅值趋于0，相角趋于。例5画出II型系统的极坐标图解：系统的频率特性分别为幅频特性相频特性当时当时以上分析说明时，系统的极坐标图起点在无穷远处，，幅值趋于0，相角趋于。一般地，机电系统的开环频率特性可表示为当λ=0时，称该系统为

0型系统；当λ=1时，称该系统为Ⅰ型系统；当λ=2时，称该系统为Ⅱ型系统；……系统的型次各型乃氏图的低频段各型乃氏图的高频段乃氏图的负频段令从增长到0，相应得出的乃氏图是与从0增长到

得出的乃氏图以实轴对称的。极坐标图（Nyquist图）的概念5.2节小结2.典型环节的Nyquist图3.Nyquist图作图的一般步骤4.系统的型次，各型次Nyquist图的特点伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美国Bell实验室著名科学家5.3对数频率特性图（伯德图）对数坐标图是将幅值对频率的关系和相位对频率的关系分别画在两张图上，用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅值和相角坐标则以线性分度。对数坐标图也称伯德图(Bode图)。简介横坐标横坐标按对数分度，单位是弧度/秒频率的数值每变化10倍，在对数坐标上变化一个单位，将该频带宽度称为十倍频程，记作dec；的数值每变化一倍，称为一倍频程由于，所以横轴上画不出频率为0的点；至于横轴的起始频率取何值，应视所要表示的实际频率范围而定纵坐标为，对数幅值，单位是dB（分贝）按分贝值线性分度纵轴上0dB表示，纵轴上没有的点幅值每增大或减小10倍，对数幅值就相应增大或减小20dB幅频特性坐标纵坐标为，输出与输入的相位差，单位是度（

）或弧度（rad）线性分度相频特性坐标伯德图样例由于对数幅频特性和对数相频特性的纵坐标都是线性分度，横坐标都是对数分度，所以两张图绘制在同一张对数坐标纸上，并且两张图按频率上下对齐，容易看出同一频率时的幅值和相位。5.3.1

典型环节的伯德图1.

比例环节L(

)/dBφ(

)10-1100101102010-1100101102-180-90020lgKL(

)/dBφ(

)10-1100101-40-200204010-1100101-270-180-900-20dB/dec.2.积分环节

L(

)/dBφ(

)10-1100101-40-200204010-1100101-270-180-900-40dB/dec.二重积分环节

如果个积分环节串联，则传递函数为对数幅频特性为（dB）对数相频特性为它的对数幅频特性曲线是一条在处穿越频率零分贝线，dB/dec的直线，相频特性曲线是一条在整个的水平线。斜率为频率范围内为多重积分环节

3.微分环节

4.一阶惯性环节

在低频段，

在高频段，

用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。

10-1100101-20-1001010-1100101-180-900903dB精确曲线渐近线渐近线转角频率横坐标单位为1/T

L(

)/dBφ(

)5.二阶振荡环节

在低频段，在高频段，

6.延迟环节

综上所述，典型环节的对数幅频特性具有以下特点：

比例环节的对数幅频特性为平行于横轴的直线，其相频特性为线；

积分环节和微分环节的对数幅频特性为过点（1,0）、斜率为的直线，其相频特性为线；

惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性低频渐近线为0dB,高频渐近线为始于点、斜率为的直线，其相频特性在范围内变化；

二阶振荡环节的对数幅频特性低频渐近线为0dB,高频渐近线为始于点、斜率为的直线，其相频特性在范围内变化；

延迟环节的对数幅频特性为0分贝线，其相频特性随成线性变化。5.3.2一般系统开环伯德图的绘制方法可看成若干个典型环节串联组成，则对一般系统其频率特性为

幅频特性为对数相频特性为

对数幅频特性为

可见，系统幅频特性的伯德图可由各典型环节的幅频特性伯德图叠加得到。

同理，系统相频特性的伯德图亦可用各典型环节的相频特性伯德图叠加得到。例：即

对数幅频特性为：

例

对数相频特性为：

20lgK

L(

)/dBφ(

)两个转折频率从小到大依次为例：即转折频率：

例

由此，可以看出伯德图可由如下步骤形成：(1)将系统频率特性化为典型环节频率特性的乘积;(2)根据组成系统的各典型环节确定转角频率及相应斜率，并画近似幅频折线和相频曲线;(3)必要时对近似曲线作适当修正。

真正画伯德图时，并不需要先画出各环节伯德图，可根据静态放大倍数和各环节时间常数直接画出整个系统伯德图。绘制系统伯德图的一般步骤：（1）将系统传递函数分解为若干个标准形式的典型环节传递函数（2）确定各环节的转折频率，并从小到大依次标注在伯德图的轴上；（3）绘制开环对数幅频特性低频段的渐近线，过点做斜率为的直线，其中为系统开环放大增益，相乘的形式，求出系统频率特性；为开环系统型别；（4）绘制对数幅频特性的其它渐近线，从低频段渐近线开始，沿频率增大的方向每遇到一个转折频率就改变一次斜率，其规律如表所示；最后，最右端转折频率之后的渐近线斜率是，其中分别是传递函数分母、分子的阶数；绘制系统伯德图的一般步骤：（5）如有必要，可按照典型环节的误差修正曲线在相应转折频率附件进行修正，以得到精确对数幅频特性的光滑曲线；（6）绘制对数相频特性曲线，分别绘制出个典型环节的对数相频特性曲线，在利用式（5.3-22）进行叠加，得到系统的相频特性曲线。注意，当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率点处的斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。5.3.3由频率特性确定传递函数频率特性是线性系统（环节）在特定情况下（输入正弦信号）下的传递函数，故由传递函数可以得到系统（环节）的频率特性。反过来，由频率特性也可求得相应的传递函数。由于对数幅频特性对系统特征的描述强于对数相频特性，故工程实际应用中，常常只使用对数幅频特性来求系统的传递函数。

问题：使用对数幅频特性反求系统的传递函数唯一吗？如果不唯一，如何区分？例设有下列两个系统，其中

两个系统的幅频特性一样，均为

而其相频特性分别为

幅频特性相频特性对于相同阶次的基本环节，当频率从0

变到时，最小相位的基本环节造成的相移是最小的。系统开环传递函数在S

右半平面上既无极点、又无零点的系统，称为最小相位系统；否则，为非最小相位系统。

最小相位系统的相频特性和幅频特性是一一对应的，知道了系统幅频特性，其相频特性就唯一确定。例试根据下图确定系统的开环传递函数，图中虚线为修正后的精确曲线。（1）起始段的斜率为，说明传函数中包含一个积分环节，即。时，纵坐标为32dB/dec。则

（2）在频段上，斜率由改变为，说明开环传递函数中包含一阶微分环节，由于转折频率为0.5，则T=2.（3）在时，的斜率由0dB/dec.变为-40

dB/dec可知系统中包含一个转折频率为5的振荡环节，即

（4）由修正曲线可确知故对应的最相位系统的传递函数为

对数坐标图（Bode图）的概念5.3节小结2.典型环节的Bode图3.Bode图作图的一般步骤4.由频率特性确定传递函数劳斯判据的不足：定性——较难从量上判断系统的稳定程度必须知道系统的闭环传递函数Nyquist稳定判据根据开环频率特性判断闭环稳定性对含有延迟环节的系统无效5.4乃奎斯特稳定判据基本思想：利用开环频率特性判断闭环系统稳定性。开环传递函数为：特征多项式为：取为辅助函数，闭环极点，也就是特征方程的根；F(s)的零点：N(s)=0的根，即开环极点；闭环传递函数为：F(s)的极点：构造控制系统的辅助函数将GH平面原点左移一个单位，即F(s)的原点由所构造的辅助函数的特点，借助复变函数的幅角定理，乃奎斯特所提出的控制系统稳定判据表述如下：辅助函数的特点乃奎斯特稳定判据设系统的G(s)H(s)在右半平面上有P个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：当时，系统开环奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数N=P。

如果开环系统稳定，即P=0，则闭环系统稳定的充要条件是系统开环奈氏曲线不包围(-1,j0)点。如果N≠P，则闭环系统不稳定，且不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为Z=P-N。

[奈奎斯特稳定判据]特点：开环判断闭环！乃奎斯特判稳步骤计算：G(s)H(s)在右半平面上的极点P；

绘制：G(s)H(s)的乃奎斯特图；

观察：G(s)H(s)的乃奎斯特图逆时针包围(-1,j0)点的圈数N，逆时针为正，顺时针记为负；

判别：若P-N

=0，稳定；若不为0，则控制系统闭环s右半平面的极点数Z=P-N；若Z为负，计算有误。说明：为了简单起见，通常只绘制出曲线的正半部分，即只画出从0变化到时的开环幅相频率特性曲线，此时，乃氏判据的表达式变为Z=P-2N。显然，只有当Z=P-2N=0时，系统才是稳定的。[例]判别系统的稳定性。(a)(b)(c)(d)[例]开环传递函数为：（T1,T2,K均为正数），试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：

（1）当参数K，T1和T2为任意正值时，s1=

-1/T1，s2=

-1/T2，开环右半平面无极点，故P=0。

（2）绘制开环乃奎斯特图如右图。（3）开环乃奎斯特图没有包围(-1,j0)，故N=0。（4）闭环系统在s右半平面的极点个数：Z=P-2N=0。故闭环系统是稳定的。

另外，作为对比可求出闭环传递函数

由劳斯判据知闭环系统是稳定的。[例]已知某闭环系统的开环传递函数为：，（K>0,T>0）,判别系统的稳定性，图中虚线为增补段。[解]：I型系统。故系统稳定。奈氏判据可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。5.4频域稳定判据

奈奎斯特（Nyquist）稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有：1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）；3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。s平面F(s)平面

F(s)的零点原点

F(s)的极点无限远点

s平面上的其他点原点外的有限点s平面上的点与F(s)平面上的点有对应关系

注意，虽然函数F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知这个函数在有限的s平面上除s=0,－1,－2以外均解析，除此三点外，s平面上的每一个s值在F(s)平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在s平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成当F(s)取一个常数时上式是一个三次方程，应有三个根与之对应。现考虑s平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，即当向量的幅值为向量的相角为二、幅角定理ReImReIms平面F(s)平面当s平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF

，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有[例]设：,当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到(-1，j0)，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1，-j0)，相角的变化为：现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS。当变点s沿CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线CF

。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS

。示意图在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息。1.围线CS既不包围零点也不包围极点如图所示，在s平面上当变点s沿围线CS按顺时针方向运动一周时，我们来考察F(s)中各因子项的幅角的变化规律。现以图中未被包围的零点-2为例。当变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的幅角a的变化为0°。同理，对未被包围的极点也是一样，因子项(s+0)的幅角b在变点s沿CS绕行一周后的变化也等于0°。于是，映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于0°。这表明，围线CF此时不包围原点。ab2.围线CS只包围零点不包围极点如图所示围线CS包围一个零点z=-2，考察因子(s+2)幅角a，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(s)平面上对应变点F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于-360°。同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)，CF应顺时针包围原点Z次。a⒊围线CS只包围极点不包围零点这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点，则当变点s沿CS顺时针绕行一周时，因子(s+0)–1的幅角–b将变化360°。映射到F(s)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。同理，当围线CS的内域只包含P个极点时，CF应逆时针包围原点P次，或者说，CF顺时针包围原点－P次。b⒋

围线CS包围Z个零点和P个极点由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。这就是所谓幅角原理。设CS为s平面上不含F(s)任何奇点的封闭曲线，该曲线内包含了F(s)的P个极点和Z个零点，当动点s沿CS顺时针运动一周，映射到F(s)平面上的曲线CF包围原点的方向和周数为：

CF顺时针包围原点N周；

CF不包围原点；

CF逆时针包围原点N周；[柯西幅角原理]顺时针包围原一周；逆时针包围原一周；不包围原点；一、控制系统的辅助函数开环传递函数为：特征多项式为：取为辅助函数，闭环极点，也就是特征方程的根；F(s)的零点：N(s)=0的根，即开环极点；闭环传递函数为：F(s)的极点：5.4.2奈奎斯特稳定判据

对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助函数F(s)＝1＋Gk(s)，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。

奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性，因此设想：

如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为：

N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数

=闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。二、奈奎斯特轨迹这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系？①正虚轴：第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示。它可分为三部分：ⅠⅡⅢ②右半平面上半径为无穷大的半圆：③负虚轴：F(s)平面上的映射是这样得到的：

得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算N=Z－P，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。

若已知P，并能确定N，可求出Z=N+P。当Z=0时，系统稳定；否则不稳定。①以s=jw

代入F(s)，令w从0→∞变化，得第一部分的映射；③以s=jw代入F(s)，令w从－∞→0，得第三部分的映射。②以s=R·ejq

代入F(s)，令R→∞，q:，得第二部分的映射；③F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是Gk(s)在右半平面的极点数。②F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈奎斯特路径的第I部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1；①由Gk(jw)可求得F(jw)，而Gk(jw)是开环频率特性。第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系？

奈奎斯特所构造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。因此，有以下三点是明显的：

第II部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高，所以当s=R·ejq

时，Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母阶数=分子阶数，则Gk(s)→K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。第III部分的映射是第I部分的映射关于实轴的对称。将GH平面原点左移一个单位，即F(s)的原点

幅角定理可以用GH平面上对（-1，j0）点的包围来讨论。[奈奎斯特稳定判据的另一种描述]：

设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为：在Gk(s)平面上的开环频率特性曲线及其镜象当w从–∞变化到+∞时，将以逆时针的方向围绕(–1，j0)点P圈。

对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(–1，j0)点。

不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z=N+P。

根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(–1，j0)点包围的次数为N，（N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=N+P。若Z=0，则闭环系统稳定，否则不稳定。三、奈奎斯特稳定判据特别注意：为绘图简便起见，工程实际应用中只绘制正频率（0，

）的开环系统奈奎斯特图，但在判别稳定性时，应考虑所有频率的奈氏图。奈奎斯特稳定判据的应用步骤1.画出开环系统奈奎斯特图（包括正负频率及s平面中特定路径在Gk(s)平面的映射）；2.确定开环右极点数P；3.确定N；4.计算Z=N+P，当Z=0时闭环系统稳定，当Z>0时闭环系统不稳定，当Z<0时计算有误。[例]判别系统的稳定性。(a)(b)(c)(d)例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?只要K>0，稳定例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?K<1，不稳定；K>1，稳定。[例]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：令，解得，此时令，解得和，此时当K=52时，开环极点为–2，–1±j2，都在s左半平面，所以P=0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(–1，j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为：Z=N+P=2，闭环系统是不稳定的。若要系统稳定，则即K<26时，奈氏图不围绕(－1，j0)点。当K<0时，原极坐标图顺时针转过180°，此时与负实轴的交点为K/10，若要满足K/10>－1，则要求K>－10。于是系统稳定的条件为－10<K<26。

上述结论同样可由劳斯判据得到。劳斯阵：要使系统稳定，则第一列都大于0于是得：－10<K<26。[例]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和K的关系。-[解]：令，解得和，对应和开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在的圆。由图中看出：当K>1时,奈氏曲线逆时针包围(－1，j0)点一圈，N=－1，而P=1，则Z=N+P=0闭环系统是稳定的。显然，K>1时，包围(－1，j0)点，K<1时不包围(－1，j0)点。K=1时穿过(－1，j0)点。当K=1时，奈氏曲线通过(－1，j0)点，属临界稳定状态。当K<1时，奈氏曲线不包围(－1，j0)点，N=0，P=1，所以Z=N+P=1，闭环系统不稳定。

上面讨论的奈奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构奈奎斯特路径。具有极点为0的开环系统，其开环传递函数为：

可见，在原点有v重0极点。也就是在s=0点，Gk(s)不解析，若取奈氏路径同上时(通过虚轴的包围整个s右半平面的半圆)，不满足柯西幅角定理。为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面，重构奈氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小做右半圆。这时的奈氏路径由以下四部分组成：④半径为无穷小的右半圆，下面讨论对于这种奈奎斯特路径的映射：1、第I和第III部分：常规的奈氏图关于实轴对称；2、第Ⅱ部分：，。假设的分母阶数比分子阶数高；ⅠⅡIIIⅣ①正虚轴：②右半平面上半径为无穷大的半圆：③负虚轴：所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的整个圆（顺时针）。所以这一段的映射为：半径为，角度从变到的右半圆。3、第Ⅳ部分：(a)对于I型系统：将代入中，当，可得：(b)对于Ⅱ型系统：将代入中，当，可得：[结论]用上述形式的奈氏路径,奈氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型系统。例，T1>0、T2>0ⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ-1-1P=0，若要稳定则奈奎斯特图不包围(－1，j0)[例]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈。因为，所以闭环系统是不稳定的。[解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图：单位圆→0dB线5.4.3对数稳定判据负实轴→-180度线

奈氏图频率特性曲线在(–∞，–1)上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上L(w)>0(A(w)>1)的范围内，当w增加时，相频特性曲线从下向上穿过–180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。

开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； A(w)=1，20lgA(w)=0。2、奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的－180度相位线。

对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正w增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下：

设开环频率特性Gk(s)在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性L(w)>0的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对－180度线的正负穿越次数差为P/2。即，如果在所有L(ω)

>0频率范围内，相频特性曲线φ(ω)在(-π)线上正负穿越之差为p/2次，

则闭环系统稳定。图（a），已知p＝0，即开环无右特征根，

在L（ω）＞0范围内，正负穿越之差为0，

系统闭环稳定。[例]判别系统稳定性图（b），已知开环传递函数有一个右极点，

p=1，在L（ω）＞0的频率范围内，半次正穿越，

系统闭环稳定。在L(w)>0的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对－180度线开始向上（下）离开，或从下（上）趋近到－180度线，则称为半次正（负）穿越。[例]判别系统稳定性图（c），已知p＝2，在L（ω）＞0的范围内，正负穿越之差为1-2=-1≠2／2，系统闭环不稳定。图（d），已知p＝2，在L（ω）＞0的范围内，正负穿越之差为2-1＝1=2／2，系统闭环稳定。5.4.4相对稳定性在设计一个控制系统时，不仅要求系统是绝对稳定的，还要求系统具有一定的稳定裕度，即具备适当的相对稳