新教材高中数学必修第一册4 .5 函数的应用(二)

4.5函数的应用(二)

4.5.1函数的零点与方程的解

课标要求素养要求

1.结合学过的函数图象与性质，了解函

通过本节内容的学习，使学生体会转化

数零点与方程解的关系.

思想在研究函数中的作用，提升学生的

2.了解零点存在性定理、会判断函数零

数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.

点的个数.

课前预习知识探究

教材知识探究

A情境引入

路边有一条河，小明从A点走到了3点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说

明小明的行程一定曾渡过河？

将这个实际问题抽象成数学模型.

问题如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A,5是人的起点和终点,

则点A,3应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？

提示只要满足点A与点3分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与3

处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识.

A新知梳理

1.函数的零点注意零点不是点，而是一个实数

(1)概念：对于一般函数我们把使九%)=0的实数x叫做函数y=/(史的零

点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:

2.函数零点存在定理

(1)条件：①如果函数y=/(x)在区间［a,加上的图象是一条连续不断的曲线;

②血)•也)<0.

火0次。)<0是函数y=/(x)在区间(a,。)内存在零点的充分不必要条件

(2)结论：函数y=/(x)在区间(。，。)内至少有一个零点，即存在c©(a,b),使得

丘)=0,这个c也就是方程五%)=0的解.

教材拓展补遗

［微判断］

1.设火x)=；,由于五一1)火1)<0,所以火x)=：在(一1,1)内有零点.(X)

提示由于人x)=；的图象在［―1,1］上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有

零点的结论.

2.若函数月x)在(a,0)内有零点，贝l］HG/S)<0.(X)

提示反例:兀0=♦一例在区间(一1，3)内有零点，但八—1)次3)>0.

3.若函数外)的图象在区间［a,加上是一条连续不断的曲线，且加)•解)<0,则危)

在3,。)内只有一个零点.(X)

提K反例：f{x)=x(x-1)(%—2),区间为(一1,3),满足条件，但1%)在(-1,

3)内有0,1,2三个零点.

［微训练］

1.下列各图象表示的函数中没有零点的是()

AB

2.若2是函数火x)=o2、一log”的零点，则a=.

解析由人2)=4<7—1=0得

1

答案4-

［微思考］

1.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思

考是否所有的函数都有零点？并说明理由.

提示不一定.因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以

说不是所有的函数都有零点.

如：指数函数，其图象都在X轴的上方，与X轴没有交点，故指数函数没有零点;

对数函数有唯---个零点.

2.在零点存在定理中，若人a)出与<0,则函数人x)在(a,份内存在零点.则满足什么

条件时人工)在3,份上有唯一零点？

提示满足兀v)在(a,切内连续且单调，且五。)次。)<0.

■■^1课堂互动题型剖析删

题型一求函数的零点

求函数的零点就是求对应方程的根或求函数与x轴交点的横坐标

【例1】(1)函数y=l+1的零点是()

A.(—1,0)B.x=-1

C.x—1D.x=0

(2)设函数八x)=2ir—4,g(x)=l-log2(x+3),则函数Hx)的零点与g(x)的零点之

和为.

(3)若3是函数«¥)=/一肛的一个零点，贝Um=.

解析⑴令1+-=0,

解得X=-1,故选B.

(2)令人x)=2ir—4=0解得X=—1,即加0的零点为一1,令g(x)=l—10g2(x+3)

=0,解得x=—1,所以函数人x)的零点与g(x)的零点之和为一2.

(3)由汽3)=32—3机=0解得1n=3.

答案(1)B(2)-2(3)3

规律方法探究函数零点的两种求法

(1)代数法：求方程火x)=0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函

数不存在零点.

(2)几何法：与函数y=/(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函

数的零点.

【训练1】函数/(x)=ax+Z?有一个零点是2,那么函数g(x)=6x2—依的零点

是.

解析二,函数=有一个零点是2,

♦.2。+/?=b=-2a,

g(x)=bx1—ax=-2ax1—ax=—ax(2x+1).

,**一＜zv(2x+l)=x=0＞x=一

函数8(%)=加一ax的零点是0,一；.

答案0，—3

题型二判断函数零点的个数方程解的个数或图象交点个数

【例2】判断下列函数零点的个数.

35

(1W)=^-4X+8;

(2)/(x)=lnx+%2-3.

35(3、2531

解(1)由/(x)=0,即x2—]x+g=0,得/="—4XR=一讳＜0,

所以方程3弋5=0没有实数根，即加)零点的个数为0.

(2)法一函数对应的方程为lnx+f—3=0,所以原函数零点的个数即为函数

y=lnx与y=3—f的图象交点个数.

在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).

由图象知，函数丁=3—》2与j=lnx的图象只有一个交点.从而方程Inx+x2—3=

0有一个根，即函数y=lnx+x2—3有一个零点.

法二由于五l)=lnl+12—3=—2<0,

汽2)=ln2+22-3=ln2+1>0,

所以人1)次2)<0,

又」龙)=lnx+a—3的图象在(1,2)上是连续的，

所以Hx)在(1,2)上必有零点,

又於)在(0,+8)上是递增的,

所以零点只有一个.

规律方法判断函数零点个数的四种常用方法

(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.

(2)画出函数y=/(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.

(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y=/(x)在(a,力上零点的个数.

(4)转化成两个函数图象的交点问题.

【训练2】函数Hx)=lnx——y的零点的个数是()

A.OB.1

C.2D.3

解析如图，画出y=lnx与■的图象，由图知y=lnx与y(x>0,且

xWl)的图象有两个交点.故函数1%)=111%一屋匕的零点有2个.

答案c

题型三判断函数零点所在的区间一般用函数零点存在定理解决

【例3】⑴二次函数/)=af+Zn+c的部分对应值如下表：

X-3一2-101234

y6m-4一6~6-4n6

不求a,b,c的值，判断方程加+。龙+。=0的两根所在区间是()

A.(—3,—1)和(2,4)

B.(—3,—1)和(一1,1)

C.(-b1)和(L2)

D.(—8,—3)和(4,+°0)

(2)已知函数y(x)=§—logM,在下列区间中，包含火x)零点的区间是()

A.(0,1)B.(b2)

C.(2,4)D.(4,+8)

解析(1)易知人%)=。/+法+。的图象是一条连续不断的曲线，又五一3求一1)

=6X(—4)=—24<0,所以人x)在(一3,—1)内有零点，即方程ax2+加;+c=0在

(—3,—1)内有根，同理方程af+bx+cu。在(2,4)内有根.故选A.

(2)；/(x)=£—logM,.•/>)为(0,+8)上的减函数，且五1)=6>0,{2)=3—log22

31

=2>0,汽4)=］—2=一］<0,由零点存在定理，可知包含五%)零点的区间是(2,4).

答案(1)A(2)C

规律方法确定函数人防零点所在区间的常用方法

(1)解方程法：当对应方程五%)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在

给定区间上.

(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y=/(x)在区间［a,加上的图象是否连续，

再看是否有人办火份<0.若火。)次份<0,则函数y=/(x)在区间(a,0)内必有零点.

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来

判断.

【训练3】(1)函数/x)=ex+x—2的零点所在的一个区间是()

A.(—2,—1)B.(—1,0)

C.(o,1)D.(l,2)

(2)若方程xlg(x+2)=l的实根在区间(左，左+1)(左GZ)上，则左等于()

A.-2B.lC.—2或1D.0

解析(l)..7(0)=e°+0—2=—1<0,^l)=e1+l-2=e-l>0,.•犹0)次1)<0,又

段)的图象在(0,1)内是一条连续不断的曲线，，於)在(0,1)内有零点.

(2)由题意知，x关0,则原方程即为lg(x+2)=7，在同一平面直角坐标系中作出

函数了=炮(%+2)与y=:的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一

个在区间(一2,—1)上，一个在区间(1,2)±,所以左=—2或％=1.故选C.

答案(1)C(2)C

核心素养全面提升

一、素养落地

1.通过学习函数零点与方程根的关系培养数学抽象素养，通过学习零点存在定理

判断零点的个数及判断零点所在区间提升逻辑推理、直观想象素养.

2.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；

(3)至少存在一个零点.

3.方程加c)=g(x)的根是函数人沙与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y=/(x)—

g(x)的图象与X轴交点的横坐标.

4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，

函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.

二'素养训练

1.函数於)=2f—4x—3的零点有()

A.0个B.1个

C.2个D.不能确定

解析由人x)=0,即—4x—3=0,因为/=(一疔一4X2X(—3)=40>0,所

以方程2——4x—3=0有两个不相等的实根，即五%）有两个零点.

答案C

2.函数火%）=4，一2工一2的零点是（）

A.(l,0)

解析由火%）=牛一2工一2=（2苫—2）（2》+1）=0得2*=2,解得x=l.

答案B

3.函数八工）=2》一土的零点所在的区间是（）

A.(l,+°°

解析/1)=2-1=1>0,2)=22-2=^2-2<0U）＜0,且人为的图象在

g，1）内是一条连续不断的曲线，故人x）的零点所在的区间是《，1；

答案B

4.函数人x）=f—2，在R上的零点个数是,

解析函数1x）=f—2工的零点个数，等价于函数y=2"的图象交点个数.

如图，画出函数y=2*,y=/的大致图象.

由图象可知有3个交点，即Hx）=——2工有3个零点.

答案3

3

5.若2是函数人乃二2%2—ox+3的一个零点，求兀¥）的另一个零点.

解由/^1）=2X*—%+3=0得a=5,则於）=2f—5x+3.令於）=0,即2好一

3

5x+3=0,解得xi=1,X2=l,所以五x）的另一个零点是L

课后作业巩固提演）

基础达标

一、选择题

1.下列函数没有零点的是（）

A.»=0B»=2

,1

C.fix^x•—1D.y（x）=x--

解析函数次x）=2,不能满足方程式x）=0,因此没有零点.

答案B

2.对于函数人为，若五一1）次3）＜0,则（）

A.方程火x）=0一定有实数解

B.方程五x）=0一定无实数解

C.方程五x）=0一定有两实数解

D.方程五x）=0可能无实数解

解析.••函数次x）的图象在（-1,3）上未必连续，故尽管八—1）皿3）＜0,但未必函

数尸治）在（一1,3）上有实数解.

答案D

3.已知函数人劝的图象是连续不断的，有如下的x,人为对应值表

X1234567

136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.06411.238

由表可知函数存在零点的区间有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析；/（2）次3）＜0,汽3）次4）＜0,14）次5）＜0,火6）皿7）＜0,...函数1x）存在零点的

区间有4个，故选D.

答案D

2

4.函数火元）=2%—;一。的一个零点在区间（1,2）内，则实数。的取值范围是（）

A.(l,3)B.(l,2)

C.(0,3)D.(0,2)

解析由条件可知/(1爪2)<0,即(2—2—〃)(4—1—a)<0,即a(a—3)<0,解得0<a<3.

答案C

2%一1,1,

5.已知函数人的=<一''：则函数五x)的零点为()

十l_0g2X,%>1,

A./,0B.—2,0

C.|D.O

解析当尤W1时，令9一1=0,得x=o.

当X>1时，令l+log2X=0,得X=g(舍).

综上所述，函数零点为0.

答案D

二、填空题

6.若函数人劝二%2—。工一6的两个零点是2和3,则函数g(x)=bxL~ax—\的零点

是.

解析函数加0=/一以一人的零点是2和3,由函数的零点与方程的根的关系，

知方程x1—ax—b=Q的两根为2和3,再由根与系数的关系得〃=2+3=5,—b

=2X3=6.所以g(x)=—6X2—5x~1.

解得g(x)的零点为一3,—1.

Mg11

答案一］,—

7.函数“x)=x—ln(x+l)—1的零点个数是.

解析函数4v)=x—ln(x+l)—l的零点个数，即为函数y=ln(x+l)与y=x—l

图象的交点个数.

在同一坐标系内分别作出函数y=ln(x+l)与y=x-l的图象，如图，

由图可知函数兀回=无一ln(x+l)—1的零点个数是2.

答案2

8.若函数人x)=2—2]—6有两个零点，则实数6的取值范围是

解析因为丁=兀0有两个零点，

所以2—2|—5=0有两个实根.

即|2*—2|=6有两个实根.

令yi=|2x—2|,y2=b,则州与"的图象有两个交点.

由图可知66(0,2)时户与丁2有两个交点.

答案(0,2)

三'解答题

9.已知函数火x)=l+：—十(a^R),且人3)=一|.

⑴求a的值；

⑵求函数为0的零点.

解⑴由五3)=一|,

得.*.a=1.

(2)由(1)得五x)=l+5一x,

人,1fff—X—1

令八元)=0,得1+1一冗=0,即一--=0,

后，的零点为1?2.

10.已知函数人功=20中一2工一1.

(1)当。=1时，求函数兀0的零点；

(2)若汽x)有零点，求a的取值范围.

解(1)当」=1时,1Ax)=24，一2工一1.

令於)=0,即2・(2工)2—2」1=0,

解得2^=1或2，=—g(舍去).

.•.x=0,，函数五x)的零点为0.

(2)若汽x)有零点，则方程2。中一2工一1=0有解，

丁2，+iny/¥

于是a+1或，

令电=t,则g(t)=t+t1=［t+^-1.

；.g⑺在(