2024河北中考数学二轮重难专题研究 专题五 圆的综合题（课件）

专题五圆的综合题例如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，且tan∠ABC＝，以AB边上的点O为圆心，2为半径作⊙O，作OM⊥BC，与⊙O在直线AB上方的部分交于点M，连接AM，点Q为AM的中点．典例精讲一题多设问图①(1)如图①，当点O为AB中点时，则S△AOM＝________；【思维教练】在直角三角形中遇到斜边中点时，常作两种辅助线：中位线、斜边中线．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，且tan∠ABC＝，∴BC＝8，∵AO＝BO，∴OF为△ABC的中位线，∴OF＝BC＝×8＝4，∴S△AOM＝OM·OF＝×2×4＝4.例题解图①4【解法提示】如解图①，过点O作OF∥BC，交AC于点F，F例题解图①【思维教练】注意点Q为AM的中点．(2)如图②，当点O与点A重合时，连接BQ，则tan∠QBC＝________；例题图②【解法提示】由(1)得BC＝8.在Rt△BCQ中，CQ＝CA＋AQ＝6＋1＝7，∴tan∠QBC＝＝.【思维教练】求圆中的弦长时，常常用到垂径定理．(3)如图③，当⊙O经过点B时，求⊙O被BC截得的弦长；(3)由(1)得BC＝8，∴AB＝10.如解图②，当⊙O经过点B时，延长MO交BC于点H，设⊙O与BC交于另一个点D.在Rt△OBH中，BO＝2，cos∠ABC＝＝＝＝，∴BH＝，∴BD＝2BH＝.DH例题解图②【思维教练】①确定四边形的形状，再根据相似图形的性质求解．(4)当⊙O与AM相切时，延长MO交BC于点P.①求四边形MPCA的周长；(4)①如解图③，当⊙O与AM相切时，OM⊥AM.在四边形MPCA中，∵∠AMP＝∠MPC＝∠C＝90°，∴四边形MPCA是矩形，∴AM∥BC，∴∠MAO＝∠B，∴△AOM∽△BAC，例题解图③∴＝，即＝，解得AM＝，∴四边形MPCA的周长＝2AC＋2AM＝2×6＋2×＝12＋＝；例题解图③【思维教练】②直角三角形的外心为斜边中点．②直接写出△AOM的外心与△BOP的外心之间的距离；【解法提示】∵△AOM与△BOP都是直角三角形，∴它们的外心均为斜边中点，∴两个外心之间的距离为OA＋OB＝(OA＋OB)＝AB＝×10＝5.②5；例题图②【思维教练】点O在AB上，⊙O与△ABC的边相切，则可分两种情况讨论：与边BC相切，与边AC相切，利用切线的性质与三角函数求解．(5)当⊙O与△ABC的边相切时，求OB的长；(5)如解图④，当⊙O与BC相切于点N时，连接ON，ON⊥BC.∵在Rt△OBN中，NO＝2，sin∠OBN＝＝＝＝，∴OB＝.例题解图④如解图⑤，当⊙O与AC相切于点N时，连接ON，ON⊥AC.在Rt△OAN中，NO＝2，cos∠AON＝＝＝＝，∴OA＝，∴OB＝AB－OA＝10－＝；∴OB的长为或；例题解图⑤【思维教练】利用垂线段最短及三角函数求解．(6)连接CQ，直接写出CQ长度的最小值．【解法提示】如解图⑥，过点M作MR⊥AB，垂足为R，延长MO交BC于点T，过Q作QS⊥AB，交AB于点S，连接CS，例题解图⑥RTS(6)∵∠MOR＝∠BOT，∴90°－∠MOR＝90°－∠BOT，即∠OMR＝∠B，∴cos∠OMR＝＝＝，∴MR＝，∴QS＝MR＝，∴当Q、S、C三点共线，即CQ⊥AB时，CQ有最小值，则CS＝BC·sin∠ABC＝8×＝，∴CQ＝CS＋QS＝＋＝.温馨提示：点击即可跳转到对应gsp文件。1.(2022河北25题10分)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝.在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP.(1)若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；对接中考第1题图备用图1.解：(1)根据题意，优弧所在圆的半径OA＝26，由弧长公式得＝13π，解得n＝90，∴∠AOP＝90°.(1分)∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠AOB，∴在Rt△POQ中，OQ＝＝＝＝，∴x＝；(3分)第1题图(2)求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；∵PQ∥OB，∠OPQ＝90°，∴∠OQP＝∠AOB，∴tan∠OQP＝＝tan∠AOB＝.设OP＝4k，则PQ＝3k，由勾股定理得OQ＝＝5k，∴OQ＝OP＝，(5分)∴x＝－.(6分)这时直线l与所在的圆的位置关系是相切；(7分)第1题解图①QlP(2)点Q在点O的左侧，且距离点O最远时x取得最小值，此时，PQ与所在的圆相切，如解图①所示，(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．【解法提示】当点P在如解图②所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，第1题解图②在Rt△PMQ中，∵tan∠PQM＝tan∠AOB＝，∴sin∠PQM＝，∴PM＝PQ＝10，MQ＝PQ＝7.5，∴在Rt△OPM中，OM＝＝＝24，∴x＝OM＋MQ＝24＋7.5＝31.5；MPQ∟同理可得OM＝24，MQ＝7.5，则OQ＝OM－MQ＝24－7.5＝16.5，∴x＝－16.5；第1题解图③当点P在如解图③所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，当点P在如解图④所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，同理可得OM＝24，MQ＝7.5，则OQ＝OM＋MQ＝24＋7.5＝31.5，∴x＝－31.5.综上所述，这时x的值为31.5或－16.5或－31.5.第1题解图④MPQMPQ(3)x的值为31.5或－16.5或－31.5.(10分)∟∟2.如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为的中点，连接BE、CF相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接CE，BF.(1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；第2题图解：(1)直线AB与⊙O相切．理由：∵点E为的中点，∴＝，∴∠ECF＝∠EBC，∵AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB＝∠EMC，∵BC为半圆O的直径，∴∠E＝90°，∴∠ECF＋∠EMC＝90°，∴∠EBC＋∠ABM＝90°，∴AB⊥BC，∵OB为半圆O的半径，∴直线AB与⊙O相切；第2题图(2)若AF＝FM，试说明的值是否为定值？如果是，求出此值，如果不是，请说明理由；第2题图(2)的值是定值．∵BC为半圆O的直径，∴∠BFC＝90°，即BF⊥AC，∵AF＝FM，∴AB＝BM，∵AB＝AM，∴△ABM是等边三角形，∴∠ABF＝∠FBE＝30°，∵点E为的中点，∴∠EBC＝∠FBE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝BC·cos30°＝BC，∵∠FCB＋∠BAF＝90°，∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠FCB＝∠ABF＝30°，在Rt△BFC中，BF＝BC·sin30°＝BC，∴＝＝；第2题图(3)若tan∠ACB＝，BM＝10.求EC的长．第2题图(3)由(2)得∠ACB＝∠ABF.∵tan∠ACB＝，∴tan∠ABF＝，设AF＝5k，则BF＝12k，∴AB＝＝13k，∵AB＝AM，∴AM＝13k，FM＝AM－AF＝13k－5k＝8k，∵BM＝10，在Rt△BFM中，BF2＋FM2＝BM2，即(12k)2＋(8k)2＝102，∴k＝，∴BF＝，FM＝，在Rt△BFC中，tan∠ACB＝＝，∴CF＝，∴CM＝CF－FM＝，∵∠FMB＝∠EMC，∠FBM＝∠ECM，∴△FBM∽△ECM，∴＝，即＝，∴EC＝12.第2题图类型二旋转问题典例精讲例如图，延长⊙O的直径AB，交直线DG于点D，且BD＝AB＝10，∠ADG＝60°.射线DM从DG出发绕点D逆时针旋转，旋转角为α；同时，线段OC从OB出发绕点O逆时针旋转，旋转角为2α，直线AC与射线DM相交于点H，与直线DG相交于点F，其中0°<α<180°，且α≠90°.(1)当α＝20°时，的长为________；一题多设问【思维教练】运用弧长公式求解．例题图(2)当α＝120°时，判断△ADH的形状，并求它的周长；【思维教练】根据旋转角度及圆的半径相等，判断三角形形状．(2)如解图①，当α＝120°时，∠AOC＝2α－180°＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∴∠OAC＝60°.∵∠ADH＝∠MDG－∠ADG＝120°－60°＝60°，∴△ADH为等边三角形．∵BD＝AB＝10，∴AD＝3BD＝30，∴△ADH的周长为3AD＝90；例题解图①(3)△ADH的外心能否在边DH上，如果能，求出α的度数；如果不能，请说明理由；【思维教练】若△ADH的外心在边DH上，则边DH应为直角三角形的斜边，即转化为判断∠DAH是否可以为90°的问题．(3)不能．理由如下：若△ADH的外心在边DH上，则∠DAH＝90°，如解图②所示．∵∠DAH＝90°，∴HF与⊙O相切于点A.∵点C是直线HF与⊙O的交点，∴点C为切点，点A与点C重合．∴∠BOC＝180°，即2α＝180°，解得α＝90°，不合题意(α≠90°)，舍去．∴符合条件的△AHD不存在，即△AHD的外心不能在边DH上；例题解图②(4)若射线DM与⊙O有公共点，直接写出α的取值范围；【思维教练】根据射线DM与⊙O有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点．【解法提示】如解图③，设射线DM与⊙O相切于点Q，连接OQ，则∠OQD＝90°，OB＝OQ，∵BD＝AB＝10，∴BD＝OB＝OQ，∴∠ODQ＝30°，∴α＝∠ADG－∠ODQ＝30°.例题解图③射线DM继续绕点D逆时针旋转，与⊙O有两个公共点，当射线DM旋转到再次与⊙O相切时，如解图②所示，此时α＝90°.综上所述，α的取值范围为30°≤α＜90°.例题解图②(4)30°≤α＜90°；【思维教练】分点H在AD左侧和右侧两种情况，再结合相似三角形求解．(5)当tan∠BAC＝时，求线段HF的长度．设TD＝t，由∠ADG＝60°可得，FT＝TD·tan60°＝t，又∵tan∠BAC＝，即＝，∴AT＝5t，∴AD＝AT＋TD＝5t＋t＝30，例题解图④∟T(5)情况1：当点H在AD右侧时，如解图④，过点F作FT⊥AD于点T.∴TD＝5，FT＝5，AT＝25.∴AF＝＝10，在Rt△DTF中，DF＝＝10，∵∠DHF＝∠ADM＋∠BAC＝(60°－α)＋α＝60°＝∠ADF，∠DFH＝∠AFD，∴△DHF∽△ADF，∴＝，∴DF2＝AF·HF，即102＝10·HF，∴HF＝；例题解图④∟T情况2：当点H在AD左侧时，如解图⑤，过点F作FK⊥AD，交AD的延长线于点K，设DK＝t，由∠FDK＝∠ADG＝60°，同理可得FK＝t，AK＝5t，∴AD＝AK－DK＝5t－t＝30，∴t＝，∴FK＝，AK＝.∴DF＝＝15，在Rt△AFK中，由勾股定理得FA＝＝15，例题解图⑤∵∠FDH＝180°－α，∠AOC＝2α－180°，OA＝OC，∴∠OAC＝×[180°－(2α－180°)]＝180°－α，∴∠FDH＝∠OAC，∵∠HFD＝∠DFA，∴△HFD∽△DFA，∴＝，∴FD2＝AF·HF，即152＝15·HF，∴HF＝.综上所述，当tan∠BAC＝时，HF的值为或.例题解图⑤1.(2021石家庄桥西区一模)如图①，扇形AOB的半径为6，弧长为2π.(1)求圆心角∠AOB的度数；对接中考第1题图①1.解：(1)设圆心角∠AOB的度数为n°，根据题意得2π＝，解得n＝60，∴圆心角∠AOB的度数为60°；温馨提示：点击即可跳转到对应gsp文件。(2)如图②，将扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，连接AB，BC.①判断四边形OABC的形状并证明；(2)①四边形OABC是菱形．证明：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝OB，由旋转的性质可知∠BOC＝60°，且OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝OB，∴OA＝AB＝BC＝OC，∴四边形OABC是菱形；第2题图②②如图③，若∠POQ＝60°，将∠POQ绕点O旋转，与AB，BC分别交于点M，N(点M，N与点A，B，C均不重合)，判断MB＋NB的值是否为定值．如果是定值，请求出；如果不是，请说明理由．②MB＋NB是定值．∵△OAB和△OBC都是等边三角形，∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBC＝60°，AB＝OB＝OA＝6，∵∠POQ＝60°，∴∠AOB＝∠POQ，即∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴AM＝BN，∴MB＋NB＝MB＋AM＝AB＝6.第2题图③2.(2023河北26题14分)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现(1)当α＝0°即初始位置时，点P________直线AB上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ经过点B?在第2题解图①【解法提示】当α＝0°时，如解图①，过点P作OD的垂线PE交OD于点E.在Rt△OPE中，OE＝OP·cos∠DOQ＝OP·cos60°＝2×＝1＝OA，则点A和点E重合，∴点P在直线AB上．解：发现(1)在；(1分)如解图①，连接OB，∵在Rt△OAB中，OA＝AB，∴△OAB是等腰直角三角形，则∠BOA＝45°，(2分)∴α＝∠POA－∠BOA＝60°－45°＝15°，即当α＝15°时，OQ经过点B；(3分)(E)∟第2题解图②(2)如解图②，连接AP，(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；则OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时等号成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.∴当α＝60°时，点P，A间的距离最小．(5分)且PA的最小值为1；(6分)在Rt△OPE中，OP＝2，PE＝AB＝1，即sin∠EOP＝＝，即∠EOP＝30°，∴α＝60°－30°＝30°.(7分)∵AD∥BC，∴∠OPB＝∠AOP＝30°，∴∠FPK＝30°.在△PKF中，KP＝KF，∴∠FPK＝∠PFK＝30°，则∠PKF＝120°，∴∠FKQ＝60°.(3)如图②，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影；第2题图(3)如解图②，过点P作PE⊥OD于点E，设半圆K与BC交于点F，连接KF.∟E∟G∵OQ＝3，OP＝2，∴PQ＝1，PK＝KQ＝，∴S扇形FKQ＝＝π.第2题图∟E在Rt△PKG中，PG＝PK·cos30°＝×＝，KG＝PK·sin30°＝×＝，∴PF＝2PG＝，∴S△PKF＝PF·KG＝××＝.∴S阴影＝S扇形FKQ＋S△PKF＝π＋；(8分)过点K作KG⊥PF于点G.拓展如图③，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围；拓展∵∠ANO＝∠BNM，∠OAN＝∠MBN，∴△OAN∽△MBN，∴＝，即＝.解得BN＝.(10分)如解图③，当点Q落在BC上时，x取最大值，过点K作QF⊥AD于点F.则BQ＝AF＝－AO＝－1＝2－1，∴x的取值范围是0<x≤2－1；(11分)第2题解图③探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；探究①当半圆K与BC相切时，设切点为T，如解图④，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别相交于点S、O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°，过点Q作KG⊥OO′于点G，由(3)得KP＝TK＝KQ＝.∴OK＝OQ－KQ＝，SK＝ST＋TK＝.在Rt△OSK中，OS＝＝＝2，第2题解图④在Rt△OSO′中，SO′＝OS·tan60°＝2，∴KO′＝2－，在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝KO′＝－.在Rt△OGK中，sinα＝＝＝；(12分)第2题解图④②当半圆K与AD相切时，设切点是T，如解图⑤，同理可得：sinα＝＝＝＝＝；(13分)③当半圆K与CD相切时，点Q与点D重合，且为切点，∴α＝60°，∴sinα＝sin60°＝.综上所述，sinα的值是或或.(14分)第2题解图⑤类型三动圆问题典例精讲例如图①，线段AB＝3，射线AM⊥AB，点O是射线AM上的一个动点(不与点A重合)，以点O为圆心，OA为半径，在AM上方作半圆O交AM于另一点C，过点B作BD与半圆O相切于点D，射线BD交射线AM于点E，过点E作EF⊥BO交BO的延长线于点F，连接OD.(1)BD＝________；(10年3考：2023.26，2022.25，2022.25)一题多设问3例题图①(1)【思维教练】运用切线长定理求解．【解法提示】∵AM⊥AB，∴AB为半圆O的切线．∵BD为半圆O的切线，∴BD＝BA＝3.例题图①(2)求证：△AOB∽△FEB；(2)【思维教练】根据两个角相等的三角形为相似三角形证明．(2)证明：∵AM⊥AB，∴AB为半圆O的切线．∵BD为半圆O的切线，∴∠ABO＝∠FBE.又∵∠BAO＝∠BFE＝90°，∴△AOB∽△FEB；例题图①(3)若tan∠AOB＝，求sin∠ACB；【思维教练】利用三角函数与勾股定理求解．(3)解：在Rt△AOB中，AB＝3，tan∠AOB＝，∴＝，即＝，∴AO＝2，∴AC＝2AO＝4.在Rt△ABC中，BC＝＝＝5，∴sin∠ACB＝＝；例题图①(4)如图②，当∠ABE＝60°时，设OB交半圆O于点N，连接AN，DN.①判断四边形AODN的形状，并说明理由；【思维教练】①利用等边三角形判断．例题图②(4)解：①四边形AODN是菱形．理由：由(2)得∠ABO＝∠ABE＝30°，∴∠AON＝90°－∠ABO＝60°.又∵OA＝ON，∴△AON为等边三角形．同理可得，△DON为等边三角形．∴AN＝OA＝OD＝DN，∴四边形AODN是菱形；②设△AON的内心为P，△DON的外心为Q，连接PQ，判断PQ与EF的位置关系，并证明你的结论；【思维教练】②运用菱形对角线的性质判断．例题解图①②PQ∥EF；证明：如解图①，连接AD，由①得，四边形AODN是菱形，∴AD平分∠OAN，且垂直平分ON.∵△AON的内心为P，△DON的外心为Q，△AON与△DON均为等边三角形，∴点P，Q都在AD上，且PQ⊥BF.∵EF⊥BF，∴PQ∥EF；(5)如图③，若线段EF与⊙O有公共点．①OA的最大值为________；【思维教练】①要想线段EF与⊙O有公共点，则当⊙O与EF相切于点F时为临界状态．∵EF⊥OF，∴EF为⊙O的切线．由切线长定理，得∠ABO＝∠DBO，∠FEO＝∠DEO.∵∠A＝∠F＝90°，∠AOB＝∠FOE，∴∠ABO＝∠FEO，∠ABO＝∠DBO＝∠DEO.例题解图②【解法提示】如解图②，当点F在⊙O上时，∵∠FOE＝∠AOB＝∠DBO＋∠DEO＝2∠ABO，∴∠AOB＝2∠ABO，∵∠A＝90°，∴∠ABO＝×90°＝30°，∴OA＝AB·tan30°＝3×＝.当⊙O的半径OA满足0<OA≤时，线段EF与⊙O有公共点，∴OA的最大值为.例题解图②①②直接写出阴影部分的面积S的取值范围．【思维教练】②运用和差法求解阴影部分面积．【解法提示】由①得，当点F在⊙O上时，OD＝OA＝，∠DEO＝∠ABO＝30°.∵BE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°.∴∠DOE＝90°－∠DEO＝60°，∴DE＝OD·tan60°＝×＝3，例题图③∴S△DOE＝OD·DE＝××3＝，S扇形COD＝＝，∴S＝S△DOE－S扇形COD＝－.观察图形可知，S随OA的减小而减小，∴S的取值范围为0<S≤－.②0<S≤－.例题图③1.(2021石家庄长安区二模)如图①②，点A在数轴上对应的数为16，过原点O在数轴的上方作射线OB.且tan∠AOB＝，点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点O运动，同时点F从点O出发，沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，对接中考第1题图①第1题图②当点E到达点O时，点E，F都停止运动，以点F为圆心，OF为半径的半圆F与数轴正半轴交于点C，与射线OB交于点D，连接DE，设运动时间为t秒(t>0)，点E在数轴上对应的数为x.(1)用含t的式子表示OC的长为_____，当点E与点C重合时，x＝_____；第1题图①第1题图②【解法提示】如解图①，连接CD，由题意可知OF＝t，则OD＝2t，∵OD是半圆F的直径，∴∠OCD＝90°，∵tan∠AOB＝，∴cos∠AOB＝，∴＝，即＝，∴OC＝t；由题意可知，AE＝2t，则OE＝16－2t，当点C与点E重合时，OC＝OE＝16－2t，∵OC＝t，∴t＝16－2t，解得t＝5，∴OE＝16－2t＝6，即点E在数轴上对应的数为6，∴x＝6.第1题解图①(1)(2)若DE与半圆F相切，求x；(2)如解图①，∵DE与半圆F相切，∴DE⊥FD，即∠ODE＝90°，∴∠ODE＝∠OCD.∵∠DOE＝∠COD，∴△ODE∽△OCD，∴＝.∵OE＝16－2t，OC＝t，OD＝2t，∴＝，解得t＝3，∴OE＝16－2t＝10，即点E在数轴上对应的数为10，∴x＝10.第1题解图①(3)如图②，当t＝时，半圆F与DE的另一个交点为G，求∠OED的度数及的长；当t＝时，则OE＝16－2t＝，OC＝t＝4，FO＝，∴CE＝OE－OC＝－4＝，∵OD是半圆F的直径，∴∠OCD＝∠DCE＝90°，(3)如解图②，连接CD，FG，FC，第1题图②∵tan∠AOB＝，∴＝，即＝，∴DC＝，∴DC＝CE，∴∠OED＝∠CDE＝45°，∴∠CFG＝2∠CDE＝90°，∴的长为＝π.第1题图②(4)若半圆F与线段DE只有一个公共点，直接写出x的取值范围．【解法提示】由(2)知，当DE与半圆F相切时，t＝3，∴当0＜t≤3，即10≤x＜16时，半圆F与线段DE只有一个公共点；当DE⊥OA时，此时C与E重合，由(1)知t＝5，∴当5＜t＜8，即0＜x＜6时，半圆F与线段DE只有一个公共点；综上所述，当半圆F与线段DE只有一个公共点时，x的取值范围为0＜t＜6或10≤x＜16.(4)0<x<6或10≤x<16.温馨提示：点击即可跳转到对应gsp文件。2.(2023河北25题10分)如图①和②，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝.点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x.(1)如图①，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；【解法提示】∵AP为⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，即PE⊥AD，∵AD∥BC，∴PE⊥BC.解：(1)圆心O落在AP上，即AP为⊙O的直径，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，第2题图①∴∠DAB＝∠CBP,∴tan∠CBP＝tan∠DAB＝，∵CP为⊙O的切线，∴∠BPC＝90°，∵BP＝x，∴tan∠CBP＝＝＝，∴CP＝x，在Rt△CBP中，BP2＋PC2＝BC2，即x2＋(x)2＝152，解得x＝9(负值舍去)；即x为9时，圆心O落在AP上；(2分)垂直；(4分)图①(2)当x＝4时，如图②，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；(2)如解图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，过点O作OF⊥AB交AB的延长线于点F，连接OP，OQ，由(1)可知BM＝9，CM＝×9＝12，∵AB＝3，∴AM＝AB＋BM＝12＝CM，∴∠CAP＝45°，∴∠POQ＝2∠CAP＝90°，∵x＝4，第2题图∟FM∟∴PM＝5，AP＝7，在Rt△CPM中，CP＝＝＝13，∵OF⊥AP，∴PF＝AP＝，∵CP为⊙O的切线，∴OP⊥CP，∴∠OPF＋∠CPM＝90°，∵∠PCM＋∠CPM＝90°，∴∠OPF＝∠PCM，∴Rt△OPF∽Rt△PCM，第2题解图∟FM∟∴＝，即＝，解得OP＝.∴l＝＝，∵＜7，∴l<AP；(8分)第2题解图∟FM∟(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．(3)x≥18.(10分)图①图②第2题图备用图类型四折叠问题典例精讲例如图，半圆O的直径AB＝4，点P(不与点A，B重合)为半圆上一点，将图形沿着BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP＝α.(2022.25)一题多设问例题图①(1)如图①，当α＝22.5°时，过点A′作A′C∥AB，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由；【思维教练】比较半径与点O到直线A′C的距离大小即可判断．例题图①∵α＝22.5°，A′C∥AB，∴由折叠性质得∠A′BP＝∠ABP＝α，∴∠ABA′＝∠CA′B＝45°，∴DE＝A′E，OE＝BE，∴DO＝DE＋OE＝(A′E＋BE)＝AB＞OA，∴A′C与半圆O相离；例题图①C解：(1)相离，理由如下：如解图①，过点O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∟DE(2)如图②，设A′B交半圆O于点D，过点A′作A′C∥AB，若A′C与半圆O相切，求的长；【思维教练】运用折叠的性质、三角函数及弧长公式求解．∵A′C∥AB，A′C与半圆O相切，∴A′E＝AB＝2，由折叠的性质可得，A′B＝AB＝4，在Rt△A′BE中，∠A′EB＝90°，A′E＝2，A′B＝4，∴sin∠A′BE＝＝，∟E(2)如解图②，连接AD，OD，过点A′作A′E⊥AB于点E，例题图②∴∠A′BE＝30°，∴∠DAB＝60°，∴∠BOD＝2∠DAB＝120°，∴的长为＝；∟E例题图②(3)当α＝30°时，求点O到折痕BP的距离；【思维教练】利用三角形的中位线求解．(3)如解图③，连接AA′，过点O作OH⊥BP于点H，∵α＝30°，即∠ABP＝30°，由折叠的性质可知，∠A′BP＝30°，AB＝A′B，∠APB＝90°，∴∠A′BA＝60°，∴△ABA′为等边三角形，∴AB＝A′B＝AA′＝4，∵∠OHB＝90°，O为AB的中点，∴OH为△ABP的中位线，∴OH＝AP＝AA′＝1，∴点O到折痕BP的距离为1；例题解图③(4)如图③，当点O′落在上时，求α的值；【思维教练】运用折叠的性质、三角函数即可求解．由折叠的性质可知，BO′＝BO＝AB，∵点O′在上，∴∠BO′A＝90°，∴sin∠BAO′＝＝.∴∠O′AB＝30°，∴∠ABO′＝60°，∴α＝30°；例题图③(4)如解图④，当点O′在上时，连接AO′，AA′，(5)当BA′与半圆O相切时，求α的值；【思维教练】相切即∠O′BA＝90°，由折叠得角度相等.(5)如解图⑤，当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′＝2α＝90°，∴α＝45°；例题解图⑤(6)当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【思维教练】依据(4)(5)中的α的临值求解．(6)∵点P，A不重合，∴α＞0，由(4)可知当α增大到30°时，点O′在半圆O上，∴当0°＜α＜30°时，点O′在半圆内，线段BO′与半圆O只有一个公共点B；由(5)可知当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆O只有一个公共点B.当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°时，线段BO′与半圆只有一个公共点B.综上所述，α的取值范围为0°＜α＜30°或45°≤α＜90°.温馨提示：点击即可跳转到对应gsp文件。1.(2022河北25题11分)图①和图②中，优弧所在⊙O的半径为2，AB＝2.点P为优弧上一点(点P不与A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′.(1)点O到弦AB的距离是______，当BP经过点O时，∠ABA′＝_____°；对接中考第1题图则∠OCA＝90°，AC＝AB＝×2＝.∵OA＝2，∴OC＝＝＝1，即点O到弦AB的距离为1；当BP经过点O时，在Rt△OCB中，sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30°，根据折叠的性质可得，∠ABA′＝2∠OBC＝2×30°＝60°.【解法提示】如解图①，过点O作OC⊥AB，垂足为点C，连接OA，OB，第1题图①∟C(1)1,60；∟D(2)当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长；∵BA′与⊙O相切，∴∠OBA′＝90°.在Rt△OBC中，OB＝2，OC＝1，∴sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30°，(5分)∴∠ABP＝∠ABA′＝(∠OBA′＋∠OBC)＝60°，∴∠OBP＝30°.(6分)第1题图∟C(2)如解图②，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，∴BD＝OB·cos∠OBP＝，∴BP＝2；(7分)过点O作OD⊥BP于点D，则BP＝2BD，(3)若线段BA′与优弧只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．(3)如解图③，∵点P，A不重合，∴α>0°.由(1)得，当α增大到30°时，点A