2024河北中考数学二轮重点专题研究 微专题 最值问题（课件）

微专题最值问题类型一利用垂线段最短求最值模型分析如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值．通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．第1题图1.如图，等边△ABC中，AB＝6，点P是BC边上一点，则AP的最小值是()

A.3

B.4

C.5

D.3D2.如图，在▱ABCD中，AB>BC，∠B＝60°，BC＝8，点E在AB边上，连接ED，EC，以EC，ED为邻边作▱EDFC，连接EF，则EF的最小值为________．第2题图如图①，已知点A、点B是平面内固定的两点，AB＝m，点C是同一平面内一动点且BC＝n(m>n)，连接AC、BC.1.如图①，在△ABC中，∵AC＋BC>AB，∴当点A，C，B三点共线时，如图②，AC＋BC的值最小，最小值为AC＋BC＝AB＝m；类型二利用三边关系及共线求最值模型分析图①图②2.如图①，在△ABC中，∵AC>AB－BC，∴当点A，C，B三点共线时，如图②，AC的值最小，最小值为AC＝AB－BC＝m－n.图②图③3.如图①，在△ABC中，∵AC<AB＋BC，∴当点A，B，C三点共线时，如图③，AC的值最大，最大值为AC＝AB＋BC＝m＋n.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC＋QD的最小值为()

A.10 B.11

C.12

D.13第3题图D4.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上．AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值是()第4题图A.B.C.D.C

5.如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC＝2，P为直线BC上方的一个动点，过点P作PE⊥BC，垂足为E，若PE＝BC，则PB＋PC的最小值为()A.4B.2C.3D.2第5题图D1.“一线两点”型(一个动点＋两个定点)①异侧线段和最小值问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．解决思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l于点P，点P即为所求．类型三利用两点之间线段最短求最值模型分析②同侧线段和最小值问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．解决思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同①即可解决．也可作点B关于l的对称点B′，连接AB′.2.“一点两线”型(两个动点＋一个定点)周长最小问题：点P是∠AOB内部的一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．解决思路：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于点D，E、F分别是AD，AC边上的动点，则CE＋EF的最小值为()

A.

B.

C.

D.第6题图B

7.如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，点D在边BC上且CD＝1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF，得到△DEF，则△DEF周长的最小值为()

A.B.

C.

D.第7题图A

8.如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是()

A.3 B.4 C.5

D.6第8题图B

9.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值为()

A.3cm B.4cm C.5cm

D.6cm第9题图C

10.如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B＝56°，当△DMN的周长取最小值时，则∠MDN的度数是()

A.124°

B.68°

C.60°

D.56°第10题图B

1.圆中最长的弦为直径：已知点A、B为⊙O上两动点，连接AB，则当AB过圆心O时，AB取最大值；2.已知平面内一定点D和⊙O上一动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值(应用依据：三角形三边关系)．具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r)：类型四点圆问题求最值模型分析位置关系点D在⊙O内点D在⊙O内点D在⊙O内图示DE的最大值d+r2rd+r此时点E的位置连接DO并延长交⊙O与点EDE的最小值r-d0d-r此时点E的位置连接OD并延长交⊙O于点E点E与点D重合连接OD交⊙O于点E11.如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，∠ACB＝45°，连接AC，BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为()

A.3 B.4 C.3

D.3+第11题图C

12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为()

A.

B.

C.

D.第12题图C

13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接BD交⊙O于点E，则AE的最小值为________．第13题图1.如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．(1)如图①，点C在优弧上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大；(2)如图②，点C在劣弧上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．类型五线圆问题求最值模型分析图①图②2.如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，最大距离是d＋r(如图④)．图③图④14.如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为_______．第14题图15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝8，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，求线段AF的最小值．解：如解图，由题知CD＝DF＝DB，∴点F在以点D为圆心，以BD