![高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (六)(含答案解析)_第1页](http://file4.renrendoc.com/view12/M03/0D/07/wKhkGWaIg42AUcB_AAFN9vhhnLg291.jpg)
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文档简介
必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度)(6)
一、单项选择题(本大题共9小题,共45.0分)
1.如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-中,点E,尸分别是棱,
BiG的中点,过A,E,尸三点作该正方体的截面,则截面的周长为()
A.18+3V2
B.6<13+3V2
C.6V5+9V2
D.10+3V2+4V10
2.如图,在四棱锥P-4BCD中,底面A8C。为菱形,/.DAB=60°,侧
面PAO为正三角形,且平面PAD_L平面4BS,则下列说法错误的是
()
A.在棱AO上存在点M,使AD,平面PMB
B.异面直线AO与PB所成的角为90。
C.二面角P-BC-4的大小为45。
D.BD,平面PAC
3.在四棱锥P-4BCO中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是一个正三角形,若平面PAO1
平面ABCZ),则该四棱锥的外接球的表面积为
A147r567r
A--B.等cI-D.等
4.如图,长方体ABCD-a&GD1中,E、尸分别为棱A8、&Di的中点.直
线。&与平面EFC的交点。,则啜■的值为()
UD1
A-I
3
B.5
1
C.3
2
D.3
5.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角
形,E,尸分别是PA,AB的中点,ACEF=90°,则球O的体积为()
A.8>/67rB.4V6TTC.2y/6nD.V6TT
6.已知矩形A8CO,4D=&AB,沿直线5。将△48。折成,使点A在平面8C。上的射
影在△BCD内(不含边界),设二面角4Z?。-「的大小为J,直线AD,AC与平面8CO所成的角
分别为a,S,则()
A.a<0<pB,p<9<aC./?<a<0D.a<p<0
7.如图,已知正方体48。。一4/传1。1的棱长为4,尸是441的中点,
在侧面44$$内.若DiMLCP,则ABCM面积的最小值为()
A.8
B.4
C.8V2
D.笫
8.如图,在44BC中,AB=BC=y/6,^ABC=90",点。为AC的中点,
将4ZBD沿3。折起到4PBD的位置,使PC=PD,连接PC,得到三棱
锥P-BCD.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是
A.77r
B.57r
C.37r
D.n
9.在三棱锥E-ABD中,己知AB=1,DA=B,三角形BDE是边长为2的正三角形,则三棱锥E-
ABD的外接球的最小表面积为()
By/3TlQ3267r
A2后BD.等
*3*3•27
二、多项选择题(本大题共1小题,共4.0分)
10.已知正方体,3C。-.%小。|2棱长为2,M为CG上的动点,AM,平面a.下面说法正确的是
()
A.直线A8与平面a所成角的正弦值范围为哼,争
B.点M与点G重合时,平面a截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C.点M为CG的中点时,若平面a经过点B,则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形
D.已知N为。么中点,当W+A/N的和最小时,M为CCi的中点
三、填空题(本大题共n小题,共55.0分)
11.在三棱锥P-4BC中,已知P4J.BC,PBVAC,PA=PB=PC=2AB=4,则三棱锥P-ABC
外接球的表面积为.
12.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上,则球。的体积为.
13.如图,在四棱锥P-4BC。中,已知PO_L底面ABCD,AB//DC,AB1BC,PD=AB=2CD=2,
则点A到平面PBC的距离为.
14.如图,E是正方体力BCD-48传1。1的棱Ci%上的一点,且BQ1〃平
面SCE,则异面直线3D1与CE所成成角的余弦值为
15.在四面体ABC。中,CA=CB,DA=DB,AB-6,CD=8,
ABu平面a,平面a,民尸分别为线段A。,BC中点,当四
面体以AB为轴旋转时,直线EF与直线/夹角的余弦值的取值
范围是.
16.已知体积为8的正方体中,M,N,P分别为AB,BC,CC1的中点,S在平面
ABC。内,且5S〃平面MNP,则线段BS的最小值为
17.某几何体的三视图如图,则该几何体的外接球表面积
18.如图,在长方体ABCD-aB1GD1中,E是441的中点,点厂是AD上一点,AB=44i=2,BC=3,
AF=1,动点P在上底面4B1GD1上,且满足三棱锥P-BEF的体积等于1,则直线CP与所
成角的正切值的最小值为.
19.体积为"的三棱锥4-BCD中,BC=AC=BD=AD=3,CD=2低AB<2小则该三棱锥外
接球的表面积为
20.如图,在斜三棱柱aBC-aBiG中,/.BAC=90°,BCj1.AC,则GB,C
在底面ABC上的射影“必在直线____上.
21.四棱锥P-2BCD的底面是边长为1的正方形,PA,平面ZBCD.过直线BO的平面BDE与PC垂
直,且与PC交于E点.当三棱锥E-BCD的体积最大时,叫棱锥P-4BC。的外接球表面积为
四、解答题(本大题共9小题,共108.0分)
22.如图1,在直角梯形A8CD中,E,尸分别为AB的三等分点,FG〃BC,ED〃8C,AB=3,BC=2,
若沿着FG,EQ折叠使得点A和点B重合,如图2所示,连结GC,BD.
⑴求证:平面GBD1平面BCDE;
(2)求点E到平面CDG的距离.
23.如图所示,ABCD是边长为2的正方形,4E1平面8CE,且AE=1.
(I)求证:平面4BC。1平面ABE;
(II)线段A。上是否存在一点F,使三棱锥4-BF-E所成角的余弦值为,?若存在,请找出点
尸的位置;若不存在,请说明理由.
24.如图,已知正四棱柱ABCD—A1BR1D1底面边长AB=2,侧棱AA1=3,M为侧棱CQ的中点.
(1)求证:BD1AM:
(2)求证:AR]〃平面BiDM;
(3)求三棱锥A】-BiDM的体积.
25.如图,斜三棱柱4BC-4/B/C/的底面是边长为6的正三角形,A1A=A1B=A1C=4.
(1)求证:AAT1BC;
(2)求直线与侧面GCBB]所成的角的正弦值.
26.如图,在各棱长均为2的三棱柱4BC-&B1C1中,侧面4遇CC[_L底面
ABC,AArAC=60".
(1)求侧棱BA1与平面ABC所成的角;
(2)已知点D满足晶=BA+BC>在直线4公上的点P,满足DP〃平面求二面角8-CP-
A的余弦值.
27.如图,在四棱锥P・48CD中,底面A3CQ为梯形,Z.ABC=Z.BAD=90°,AP=AD=AB=V2,
BC=3Z-PAB=Z-PAD=a.
(1)当t=3及时,试在棱人上确定一个点E,使得PC〃平面并求出此时篝的值;
⑵当a=60。时,若平面P4B1平面PCD,求此时棱8c的长.
28.如图,在多面体4BC0-中,侧棱A4,BBi,CG,0%都和平面ABCZ)垂直,4D〃BC,
AB=BC=CD=BB]=DD1=2,AA1=AD=4,CCr=1。
(/)证明:平面BiCi/J•平面ABBiAi;
(〃)求多面体ABC。-AiBiGA的体积。
29.如图,在四棱锥P—4BCD中,底面ABC。为正方形,力。为等边三角形,平面PAD,平面
PCD.
(I)证明:平面PAD,平面ABCD-,
(11)若48=2,Q为线段PB的中点,求三棱锥Q-PCO的体积.
30.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》
中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu);阳马指底面为矩形,
一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(biena。)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵
ABC-4B1G中,AB1AC.
(/)求证:四棱锥B-44CCi为阳马;
(n)若GC=BC=2,当鳖膈G—ABC体积最大时,求锐二面角c—4B—G的余弦值.
【答案与解析】
1.答案:B
解析:
由题意画出截面五边形,再由已知利用勾股定理求得边长得答案.
本题考查棱柱的结构特征,考查空间想象能力和思维能力,是中档题.
解:如图,
延长EF、4当相交于连接AM交BBi于H,
延长FE、为劣相交于N,连接AN交DD1于G,
可得截面五边形AHFEG.
•••4BCD-&B1C1D1是边长为6的正方体,且E,尸分别是棱的久,BiG的中点,
EF=3vLAG=AH=y/62+42=2VH,EG=FH=V32+22=^13.
截面的周长为6m+3V2.
故选B.
2.答案:。
解析:解:对于A,取的中点M,连PM,贝卜侧面PAD为正三角形,
PMLAD,
又底面A8CO是ZDAB=60。的菱形,
二三角形AB。是等边三角形,
・•・AD1BM,
A
.,•AD1平面P8M,故A正确,
对于B,AD_L平面PBM,
:.AD1PB,即异面直线A£>与PB所成的角为90。,故B正确,
对于C,•••底面A8CD为菱形,ADAB=60。平面PAD_L平面ABCD,
:.BM1BC,则Z_PBM是二面角P—BC-A的平面角,
设AB=1,则更,PM=—.
22
在直角三角形PBM中,tan4PBM=普=1,
即NPBM=45。,故二面角P-BC-4的大小为45。,故C正确,
对于£>,若80_1_面必。,则BD1PC,又PMLBD,则需BO_LMC,显然不成立,故错误的是
故选:D.
根据线面垂直,异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可.
本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解,根据相应的判断和证明方法是解决本题
的关键.综合性较强,难度较大.
3.答案:D
解析:
本题考查了空间几何体与球的外接几何体的表面积;求出球的半径,再利用表面积计算公式进行计
算即可;
解:分别过△P4D,正方形ABCO的中心作这两个面的垂线,它们的交点为外接球的球心,所以外
接球的半径R=J(2夜)2+(言J=后,
1127r
所以外接球的表面积S4不?7',
故选D
4.答案:A
解析:
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定及其应用,考查空间想象能力与运算求解能
力,是较难题.
。在面EC/与面DiDBB]的交线上,延展平面ECF,得到面ECHF,4在小么上,KM为面ECFHF
与面DiDBBi的交线,。在KM上,DBiCKM=0,由△KOBI-AMOD,利用相似三角形对应边成
交点。既在平面ECF±,又在平面DiOBBi上,
。在面ECF与面。的交线上,
延展平面ECF,得到面ECT/凡H在G5上,
则K,M都既在面ECH尸上,又在平面D1DBa上,
KM为面EC”F与面DiDBBi的交线,.•・。在KM上,
•••。在OB[上,•••DB1nKM=0,
取出平面O1DBB1,
易得AKOBis^MOD,
DODM
OBC'BJ<'
2
由△DMC“ABME,得。A/~DB,
J
设G为GDi的中点,由三角形相似可得。尸=,
再由题意可得&G//FH,则。声="1。|,则当<=/。|=)。.
666
2
DODM_3DD4
二丽用
6
故选:A.
5.答案:D
解析:
【试题解析】
本题考查三棱锥的外接球的体积.
先根据已知条件得到三棱锥P-4BC中PA,PB,PC两两垂直,三棱锥P-4BC放到正方体中,则
正方体的棱长为或,则正方体的外接球即为三棱锥P-4BC的外接球,由此得到球。的半径,进而
求出体积.
解:如图,
取AC中点G,连接PG,BG,
易证4c_L平面PBG,PBu平面PBG,故PB1AC,
又E,尸分别是PA,A8的中点,故EF//PB,
由"EF=90。,得EF1EC,
故PB1EC,而4CnEC=C,
因此PB,平面PAC,
所以PB1PA,PB1PC,
又因为A/MB,△PBC,△P?!£1是全等三角形,
所以三棱锥P-4BC中PA,PB,PC两两垂直,
将三棱锥P-48c放到正方体中,如图,则正方体的棱长为企,
则正方体的外接球即为三棱锥P-4BC的外接球,
易求得正方体的体对角线长为遥,故球O半径R=
则球O的体积V=加3=0x誓=%,
故选£).
6.答案:D
解析:
本题考查二面角的平面角,考查空间想象能力和思维能力,训练了正弦函数单调性的应用,是中档
题.
由题意画出图形,由两种特殊位置得到点4在平面BCD上的射影的情况,由线段的长度关系可得三
个角的正弦的大小,则答案可求.
解:如图,•••四边形ABC。为矩形,
当4'点在底面上的射影。落在BC上时,
有平面.A'GCLL底面BC。,XDC1BC,平面ABCn底面BCD=BC,可得DC1•平面ABC,则
DC±BA',
又DCCDA'=D,OC,ZM'u平面AOC,「刀心平面4'DC,
又ACu平面4CC,
在RfABA'a中,设则BC=V^,
.A'C1.说明。为BC的中点;
当A'点在底面上的射影E落在3。上时,可知.|'E_L3O,
设BA'=1,则4。二松,.,.八/,彳,BE=—.
要使点大在平面88上的射影产在△BCD内(不含边界),则点4的射影尸落在线段OE上(不含端点
).
可知NA'EP为二面角A'-B。「的平面角氏直线4D与平面8CQ所成的角为NJOFn,
直线4c与平面BCQ所成的角为NA'JF3,
可求得DF>CF,且HE-亚<1,而AC的最小值为L
3
Afp4ZF4’产
.-.sinN.A'DF=磊<sinNA'CF=^<siiiNA'EF=学,
则a<p<e.
故选:D.
7.答案:D
解析:
本题考查三角形的面积的最小值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,
考查运算求解能力,考查数形结合思想.
以。为原点,D4为x轴,OC为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出4BCM面
积取最小值.
解:以48,AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则P(0,0,2),C(4,4,0),5(0,4,4).
设M(a,0,b),则两=(a,-4,b-4),CP=(-4,-4,2).
vDiM1CP,D^M-CP=-4a+16+2b-8=0.即b=2a-4.
取A8的中点N,连接&N,则点M的轨迹即为线段&N.
过点B作BQ1&N,则当点M与点。重合时,3M最小,且的最小值为竿=越.
2V55
又BC1平面4BB14,故BC1BM,
BCM面积的最小值为三x4x型=迪.
255
故选O.
8.答案:A
解析:
【试题解析】
本题考查球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三棱锥的外接球的性质的合理运
用,
由题意得该三棱锥的面PCD是边长为次的正三角形,且8。,平面PCD,
求出三棱锥P-BCC外接球半径R=立,由此能示出该球的表面积.
2
解:由题意得该三棱锥的面PC。是边长为旧的正三角形,
且BC_L平面PCD,
设三棱锥P-BOC外接球的球心为0,
△PCD外接圆的圆心为。「贝I。。1_L面PCD,
•••四边形001D8为直角梯形,
由BD=V5,。1。=1,及OB=0D,得0B=,,
•••外接球半径为R=亚,
2
・•・该球的表面积S=4zr/?2=47rx-=77r.
4
故选A.
9.答案:D
解析:
【试题解析】
本题考查多面体外接球表面积最值的求法,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
由题意画出图形,可得力D1AB,取B。中点G,则G为的外心,设正三角形BOE得外心为
0,可知当平面ABDJL平面BDE时,三棱锥E-ABD的外接球的半径有最小值,由此求得答案.
解:如图,
由4B=1,04=旧,BD=2,得4C14B,
取8。中点G,则G为△ABD的外心,
设正三角形BDE得外心为0,可知当平面AB。1平面BDE时,
三棱锥E-4BD的外接球的半径有最小值为0E=结
3
三棱锥E-48。的外接球的最小表面积为47rX(亚孕=&.
I3,3
故选O.
10.答案:AC
解析:
本题考查了立体儿何的综合问题,考查学生的分析推导能力,计算求解能力,属于困难题.
对于A,建立空间直角坐标系设点M(0,2,a)(0SaW2),求出|cos<南,而7>|从而即可求解.
对于B,结合题意连接40、BD、&B、AC,结合线面垂直的性质定理即可求解.
对于C,设平面a交棱45于点E(b,0,2),从而利用空间向量即可求解.
对于D,将矩形力CG4与矩形CGD1。延展为一个平面即可推导求解.
解:对于A选项,以点。为坐标原点,D4、QC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角
坐标系0-xyz,
则点4(2,0,0)、5(2,2,0).设点M(0,2,a)(0Ma42),
"AM1平面a,则祠为平面a的一个法向量,且施=(—2,2,a),AB=(0,2,0),
|cos〈艰祠>|=晅晅=T==*=e卢刍,
11\AB\-\AM\2xVa2+8Va2+8L3'2J
所以,直线AB与平面a所成角的正弦值范围为[①,上],A选项正确;
32
对于3选项,当M与C1重合时,连接4。、BD、&B、AC,
在正方体48C0-A/iCiDi中,CCi,平面ABCO,
•・•BDu平面ABCD,:.BD1CQ,
・・,四边形ABCD是正方形,则8D1AC,
vCCinAC=C,•-BD_L平面?ICC1,
vACru平面ACC],:.ACr1BD,
同理可证ACi1ArD,
■:A1DABD=D,:.AC1_L平面ABD,
易知13A/D是边长为2鱼的等边三角形,
其面积为,4遇。=手X(2/=2百,
周长为2V2X3=6V2.
设E、F、Q、N、G、H分别为棱力/1、BBi、BC、CD、DD1的中点,
易知六边形EFQNGH是边长为鱼的正六边形,且平面EFQNG〃〃平面
正六边形EFQNGH的周长为6混,面积为6X手x(鱼『=38,
则日的面积小于正六边形EFQNG”的面积,它们的周长相等,B选项错误;
对于C选项,设平面a交棱于点E(b,0,2),点M(0,2,l),AM=(-2,2,1).
vAMJ_平面a,DEu平jfja,
:.AM1DE,
即福•屁=-2b+2=0,得b=1,
•••E(1,0,2),
所以,点E为棱的中点,
同理可知,点F为棱为&的中点,
则尸(2,1,2),前=(1,1,0),
而加=(2,2,0),•••市=(丽,
:.EF//DBREF手DB,
由空间中两点间的距离公式可得DE=V22+02+I2=V5.
BF=J(2-2■+(1—2<+(2-0)2=V5)
・・.DE=BF,
所以,四边形BDEF为等腰梯形,C选项正确;
对于。选项,将矩形4CG4与矩形CQDiD延展为一个平面,如下图所示:
若AM+MN最短,则A、M、N三点共线,
.MC_AC_2鱼
DNAD2V2+2
•••MC=2-&制CG,
所以,点M不是棱CG的中点,。选项错误.
故选AC.
1927r
11.答案:
U
解析:
本题主要考查了球的表面积和体积,属于中档题.
根据题意画出图形,作辅助线分析图形解题即可.
如图,作PHI平面ABC,垂足为“,连接/M,HB,HC.
因为P4J.BC,BC1PH,PACPH=P,PA,PH在平面中
所以BC1¥®AHP,
又AHu平面AHP,
故BCJ.4H;同理得ZC18H,
故”为△4BC的垂心.
又因为Rt△AHP三Rt△BHP三Rt△CHP,
故AH=BH=CH,故〃为4ABC的夕['心.
故△ABC为等边三角形,
因此2AH=焉,解得4”专,
故PH=M-士=但
7373
设三棱锥P-4BC的外接球的半径为R,
则(PH-R)2+4,2=R2,
解得R2=弟
故外接球表面积为S,krx4:8119277.
1Q97T
故答案为.
12.答案:区更兀
3
解析:解:•.・长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上,
•••球0的半径R=V32+—12=叵
22
・・•球。的体积v=-JlR3=-X7TX(―)3=打更7E
33'2/3
故答案为:乂更7r.
3
推导出球0的半径A=132+22+12=名,由此能求出球。的体积.
22
本题考查长方体的外接球的体积的求法,考查长方体、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求
解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
13.答案:卓
解析:
本小题主要考查点到平面距离的求法、推理论证能力和运算能力,属于中等题.
利用等体积法:连接AC,则以_PBC=Vp-ABC,而三棱锥p-4BC体积易求,三棱锥4-PBC的底面
的面积易求,其高即为点A到平面P8C的距离,设为h,则利用等体积法,即可求点A到平面
PBC的距离.
解:设点A到平面PBC的距离为6,BC=a,
因为AB〃DC,/.ABC=90°,AB=2,得4ABC的面积〃川区=a.
由PD1平面A8CQ及PD=2,得三棱锥P-4BC的体积V=|SA4BC-PD=|a.
因为PD1平面ABCD,BCu平面ABCD,所以PO1BC,
又AB“DC,AB1BC,得BCLCD,
而PDCCD=D,PD、CDu平面PCD,
BC_L平面PCD,又PCu平面PCD,
:.BC1PC,
.•.△PBC为直角三角形,
又PD=2DC=2,所以PC=>/PD2+CD2=后
得公PBC的面积〃PBC=ya.
^Kt-PBC=^P-ABC§SAPBC,仁三a,得〃=
故点A到平面PBC的距离为延,
5
故答案为延.
5
14.答案:解:连接BC】,交于点。,连接OE,
E是正方体上棱GDi上一点,BCC$i是正方形。是BG中点,
•••由BO1〃平面BiCE,BDr//0E,
E是正方体棱GA的中点,
以。为原点,D4为x轴,0c为y轴,DQ为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则B(2,2,0),Di(0,0,2),C(0,2,0),E(0,l,2),
亚=(-2,—2,2),CE=(0,-1,2),
设异面直线与"所成角为。,
而”吗.曰__6__匹
阿.阿g瓜5
••・异面直线HD】与CE所成角余弦值为手,
故答案为叵.
5
解析:本题考查异面直线所成角,连接BCi,交于点。,连接0E,由8劣〃平面/CE,得到E是棱
G5的中点,以。为原点,D4为x轴,CC为y轴,为z轴,建立空间坐标系,利用向量法求
出异面直线所成角余弦值.
15.答案:[0白
解析:
本题考查线面垂直的性质,求解空间中异面直线的夹角,立体几何中探索性问题,属于中档题.
得出CD14B,/IGF,从而得出绕AB旋转等价于E尸绕GF旋转是解题的关键.
解:取AC的中点G,AB的中点”,连接FG,EG,CH,DH,如图所示:
vCA=CB,DA=DB,
•••CHA.AB,DH1AB,又CHCDH=H,
AB1平面CDH,又CDu平面CDH,
・•・CD1AB;
VE,F,G分别为线段40,BC,4c的中点,
AGF=^AB=3,GE=|CD=4,S.GF//AB,GE//CD,
•••GF1GE,EF=>JGE2+GF2=5:
二当四面体以A8为轴旋转,等价于EP绕GF旋转,
由GF〃AB,11AB,可得,IGF,
所以直线EF与直线/夹角。满足90。-4GFE<9<90°,
又sin/GFE=器=士
EF5
sin。6[。,工
故答案为[0,J
16.答案:>[?.
解析:
【试题解析】
本题考查空间线面的位置关系,考查空间想象能力,属中档题.
由。1S〃平面MNP,而平面014c〃平面MNP,易知点S在直线AC上运动,可得线段BS的最小值.
解:依题意,正方体ABCD-4道传1。1的棱长为2.
如图,连接BG,4C、AD[、CD1,
•:M,N,尸分别为48,BC,CCi的中点,
AMN//AC,NP//BC1//AD1,
•••MNC平面4皿,ACu平面4皿,
MN〃平面同理可得NP〃平面4co1,
又MNnNP=N,MN、NPu平面MNP,
.•・平面MNP〃平面4CDi,
,:%S〃平面MNP,%€平面ACO],
•••%Su平面ACCi,则点S在直线AC上运动,
故线段BS的最小值即为点B到直线AC的距离
故答案为VL
17.答案:207r
解析:
本题考查简单几何体的三视图,考查多面体外接球表面积的求法,关键是由三视图还原几何体,属
于中档题.
解:由三视图作出原几何体,如下图,
三棱锥a-BCD的底面8co为等腰直角三角形,BC1侧面侧面A3。为等腰三角形,且腰长
为2,
在^ABD中,由余弦定理求得40=V22+22-2X2x2xcosU00=2百,
由正弦定理得我念=2「,"嘴=2,
设△480的外心为G,过G作平面A8Z)的垂线,与2C的垂直平分线交于0,
・・・OB2=OG2+5G2=5,
,几何体的外接球表面积为4TTR2=20TT,
故答案为207r.
18.答案:等
解析:
【试题解析】
本题考查空间向量在解立体几何问题中的应用,考查计算能力和推理能力,属于难题.
根据题意建立空间直角坐标系,设2)(0WmW3,OWnW2),求出平面BFE的法向量,然
后利用棱锥的体积公式和异面直线角的公式即可得.
解:以。为坐标原点,分别以DA,DC,DDi所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
设2)(0<m<3,0<n<2),则尸(2,0,0),E(3,0,1),B(3,2,0),C(0,2,0),。式0,0,
2),
所以而=(1,2,0),FE=(1,0,1)>CP=(m,n-2,2),西=(0,0,2),
设平面BPE的法向量为五=(x,y,z),
则眄•曰=x+2y=0,令/=2,则z=—2,y=-l.
所以平面BFE的一个法向量为方=(2,-1,-2),
因为EP=(m—3,n,1),
所以点P到平面BFE的距离d=噂=包±11,
|a|3
因为EF=&,BF=V5=BE,
所以SABFE="&X苧=?
因为Vp_BFE=]XS^BFEd=-x-xd=1,
所以d=Mm;-8|=2,
所以2zn-n=2或2m-n=14(舍),
设直线CP与DD1所成的角为仇则。wn:),
所以cos。=画吧=「42
|CP||D5|2xVm2+(n-2)2+4
——2一-―2——2―«v店_
77n2+(27n-4)2+4V57n2-167n+20[⑺-)+史~3,
所以cos。的最大值为更,此时0最小,
3
所以tan82塞=W.
V
即直线CP与所成角的正切值的最小值为等.
故答案为公.
5
19.答案:yTT
解析:
【试题解析】
本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系,及球的表面积公式,属于较难题.
由题意取A8的中点E,连接。E,CE,因为BC=AC=BD=4。=3,所以CE1ZB,DE1AB,
DEnCE=E,
所以4面COE,且DE=CE,取CO的中点,连接EP,则EPIC。,再由体积可得AB的值,进
而求出底面外接圆的半径,及。到底面的高,由题意求出外接球的半径,进而求出外接球的表面积.
解:取A8的中点E,连接。£,CE,
因为BC=AC=BD=AD=3,
所以CE1AB,DELAB,DE^CE=E,
所以ABJJSCDE,且DE=CE,取CD的中点,连接EP,则EPJ.CD,
所以Vhse=;AB・SCDE=\'AB>\CD-EP
JJ/
1l、DC、
=--AB2^5-DE2-(—)2
62
V5AB
2(——/o-5
=-3-AB-JAD-2J
=--AB-)4--.
374
因为匕-BCD=空支,
Z1DKtLf3
所以4竺=更.48.卜-”因为48<2遮,
33y]4
所以解得AB=2;AE=1,
DE=CE=JAC2x/32-l=2>/2,
所以sin/j4CE=器=1,
所以sinNACB2sinZ.ACE*cos^ACE
n12\/24>/2
=Z--•—=—,
339
由题意可得。在底面的投影在中线CE所在的直线上,
设为F,设。尸=九,
设底面ABC的外接圆的半径为r,
设圆心为O',2丁=嬴石=建,
9
所以T
=i--AC2-sin乙ACB-h=--9-2^2■h,
326
解得人=叵,
2
所以所=,“2-。尸2=心_岑=当,
所以O'F=EF+O'E=烂+挈=,
288
过。'作()0,面ABC的垂线,作。尸于H,则四边形HFO'。为矩形,
设外接球的半径为R,取。力=OB=0D=R,
在三角形O”。中,0D2=0H2+(DF-FH)2,
即R2=OF2+(手一OO)2=(¥尸+(手—0(斤,①
在三角形。。'中,0。2=C0,2+。。,2=「2+。0,2即A2=(至,②,
由①②可得R2=M
所以外接球的表面积S=4兀/?2=4兀.翁=£兀,
故答案为日兀.
20.答案:AB
解析:
根据AC与一个平面上的两条相交直线垂直,得到AC与两条直线组成的面垂直,根据面面垂直的判
定和性质,得到结果.
解:连接力G,因为4clAB,AC1BCr,
所以4cL平面ABC1,
又ACu平面ABC,
所以平面4BG工平面ABC,
所以G在平面A8C上的射影,必在两平面的交线AB上.
故答案为AB.
21.答案:47r
解析:
本题考查了空间几何体中的最值问题,常用到基本不等式和函数的单调性求解.
连接4C,作EF14C于点F,可知EF为点E到平面BCD的距离,求EF取得最大值时PA的长度,
然后将四棱锥放在长方体中,四棱锥P-ABCD的外接球即长方体的外接球,从而可得到结果.
解:连接AC,作EF1AC于点F,可知EF为点E到平面BCQ的距离,
则设P4=X,则PC=V2T^2,
则sinN.APC.=^方,
7L十4
2x1
IEF=;.\1'(''tHnZ.APC=----T=——
则2+/2+:
2
—2+—x="1+.x-^>2
2xx2
(当且仅当;/即芯=四时,等号成立)
.1V1_在
,,维-V22
2X
即EF<y.
则当EF=当时,三棱锥E-BCD的体积取到最大值,
此时侧棱PA的长度为
设四棱锥P-力BCD的外接球的半径为R,
则4R2=(2R)2=PA2+AB2+AD2=4,
四棱锥P-ABCD的外接球表面积为上足」万;
故答案为47r.
22.答案:证明:(1)取B。,BE的中点分别。,M,连接GO、OM,MF,如图:
则。M〃DE且。"=扣E,
又因为GF//DES.GF=\DE,
所以GF"OM豆GF=0M,故四边形OGFM为平行四边形.
故GO〃FM,因为M为EB中点,三角形BEF为等边三角形,故FM1EB,
因为平面EFB_L平面BCDE,且交线为BE,FM在平面8EF内,
故FM平面BCDE,
因此GO1平面BCDE,因为GO在平面GBa内,
故平面GBD_L平面BCDE-,
解:(2)因为£(C〃E8,DE//BC,所以四边形DC2E是平行四边形,DC=1,
因为BE//CD,BE不在平面CDG内,CD在平面CDG内,
故BE//平面CDG.
故点E到平面CDG的距离等于点B到平面CDG的距离.
由(1)知三棱锥G-BC。的体积匕=|xOGxSABCD,
OG=FM=等刖=;xlx2=l.匕=金
ZZo
在△COG中,DG=CG=V2.取CO中点尸,连结GP,GP=/2-;=斗,
故Sinjix-=:*1x=早’
设点B到平面CDG的距离为d,
故三棱锥B—CDG的体积匕=[■d•SACDG=]小
由于匕=彩,则遗=亚小即(/=返,故点E到平面COG的距离为组.
61277
解析:本题考查面面垂直的证明以及空间中点到面的距离,属于中档题.
(1)根据面面垂直判定定理证明即可;
(2)利用等体积法求解.
23.答案:解:(I)证明:••AEBCE,BE,BCu平面BCE,
•••AE1BC,AE1BE.
又BC14B,AECtAB=A,AE,ABu平面ABE,
BC_L平面ABE,
又BCu平面ABCD,
二平面ABCO1平面ABE;
(II)存在一点F,使三棱锥A-BF-E所成角的余弦值为年.
以A为原点建立空间坐标系如图,
vAE=1,AB=2,AE1BE,
.・.BE=V5,
设力尸=h,
则F(0,0,h),E(日修,0),B(0,2,0),
•••BF=(y,-|,0),BF=(0,-2,h),
设平面BE尸的一个法向量为五=(x,y,z),
Un.g=0^(z-V3y=0
^n-BF=0(2y-hz=0
取y=l,得元=(1,1,6,
易知,沅=(1,0,0)为平面ABf的一个法向量,
由题意得:
解得:h=l,
故当产为4。中点时,满足题意.
解析:此题考查了线面垂直,面面垂直,二面角的求法,难度适中。
(I)先证BC1平面ABE,进而得面面垂直;
(II)建立空间坐标系,设点厂的位置,利用向量列方程求解.
24.答案:(1)证明:连接4C,因四边形ABC。为正方形,
故BOJ.AC,
又MC_L底面ABCD,BDu面ABCD,
.•.MCIBO,又MCn4C=C,
MCu平面AMC,ACu平面AMC,
BD1平面AMC,AMu平面AMC,
故BOM;
(2)证明:取4公的中点N,连接。N,BNMN,在正四棱柱ABC。一4中,
•••M为CCi的中点,N为的中点,
故点名,M,D,N四点共面,即MNu平面B/M,
又M,N分别为CG,441的中点,
:.AG〃MN,41cle平面BiDM,
•••4G〃平面&DM;
(3)解:由(2)知,点A到平面/DM的距离等于的到平面B/M的距离,
故二棱锥4[一的体积匕1-B10M=^C1-B1DM)
而LCLJDM=VD-BRIM=IxS481clMxDC=]xgx|x2)x2=l,
•••三棱锥&-BiDM的体积为1.
解析:本题考查线面平行的判定、线面垂直的判定及棱锥的体积,考查了学生的空间想象能力,培
养了学生分析问题与解决问题的能力.
(1)连接AC,可得BDJ■平面AMC,进而证得结论;
(2)取441的中点M连接B]N,MN,可得41cJ/MN,进而证得结论:
(3)由(2)知,点4到平面&DM的距离等于G到平面BiDM的距离,进而求得结果.
25.答案:(1)证明:斜三棱柱4BC-4//C,的底面是边长为6的正三角形,
则AB=BC=CA=6,
又因为=AXB=A1C=4,
所以三棱锥&-ABC是正三棱锥.
设正三棱锥&-48C的顶点4在底面ABC内的射影为点H,
则”是正三角形A8C的中心,
即是正三角形ABC的垂心,贝!1BC,
又A]H1面ABC,BCu面ABC,
所以4H1BC,
而4"、Ai"u面ABC,AHCyArH=H,
所以BC1面
又因为u面
所以44i1BC.
(2)解:过&同面QCBB]作垂线,设垂足为。,连结B£>,
则直线与侧面CiCBBi所成的角即为N&BD,
Ci
ABi
由(1)知44i1BC,
又三棱柱ABC泮/的侧面44BB1是平行四边形,
则44J/BB1,
所以8811BC.
所以三棱柱ABC-A,B,Ct的侧面qCBBi是矩形,面积为24,
由⑴得为"是正三棱锥&-ABC的高,
由底面边长为6,侧棱长为4,可以解得力i"=2,
则正三棱锥&-4BC的体积为
2
isA4BC/l1H=i-^-6-2=6V3.
所以斜三棱柱ZBC-A,B,C,的体积为18小,
所以四棱锥&-B/CQ的体积为12g.
而是四棱锥4一B/CC1的高,
所以:•①£)•24=12遍,得4m=|百,
在直角三角形&BD中,
疝".4出口=第=宅=
A[Lf4o
所以直线与侧面CiCBB]所成的角的正弦值为:百.
O
解析:本题考查了线面垂直的判定、线面垂直的性质和直线与平面所成角,是中档题.
(1)由题
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