2025高考备考数学知识点第5讲　对数与对数函数

第5讲对数与对数函数课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）.对数的运算2022浙江T7；2022天津T6；2021天津T7；2020全国卷ⅠT8该讲命题热点为对数运算、对数函数的图象与性质的判断及应用，常与指数函数综合考查，且难度有上升趋势.在2025年备考过程中要熟练掌握对数的运算性质和换底公式；学会构造新函数，结合单调性比较大小；注意对函数图象的应用，注意区分对数函数图象和指数函数图象.对数函数的图象及应用2019浙江T6对数函数的性质及应用2021新高考卷ⅡT7；2021全国卷乙T12；2020全国卷ⅠT12；2020全国卷ⅡT11；2020全国卷ⅢT12；2019全国卷ⅠT3学生用书P0341.对数与对数运算（1）对数的概念一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作①x＝logaN，其中a叫做对数的②底数，N叫做③真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作④lgN；以e为底的对数叫做自然对数，记作⑤lnN.（2）对数的性质、运算性质及换底公式性质loga1＝⑥0，logaa＝⑦1，alogaN＝⑧N（N＞0），其中a＞0运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）loga（M·N）＝⑨logaM＋logaN；（2）logaMN＝⑩logaM－logaN（3）logaMn＝⑪nlogaM，logaan＝⑫n（n∈R）.换底公式logab＝⑬logcblogca（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；推论：（1）logab·logba＝⑭1；（2）logambn＝nmlogab；（3）logab·logbc·logcd＝log2.对数函数的图象和性质函数y＝logax（a＞1）y＝logax（0＜a＜1）图象性质定义域：⑮（0，＋∞）.值域：⑯R.图象过定点⑰（1，0），即恒有loga1＝0.当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0.当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0.在（0，＋∞）上单调递⑱增.在（0，＋∞）上单调递⑲减.规律总结1.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（1a－1），函数图象只在第一、四象限.2.如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右对数函数的底数逐渐增大.注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.3.反函数指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线⑳y＝x对称（如图所示）.反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.1.[全国卷Ⅰ]设alog34＝2，则4－a＝（B）A.116 B.19 C.18 解析解法一因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝1解法二因为alog34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，所以4a＝9，所以42.[多选]以下说法正确的是（CD）A.若MN＞0，则loga（MN）＝logaM＋logaNB.对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数C.函数y＝ln1+x1－x与y＝ln（1＋x）－ln（D.对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1）,（1a－1），函数图象只在第一、四象限3.lg25＋lg2·lg50＋（lg2）2＝2.4.若loga34＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（0，34）∪（1，＋∞5.设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为12.6.[2023北京高考]已知函数f（x）＝4x＋log2x，则f（12）＝1解析因为f（x）＝4x＋log2x，所以f（12）＝412＋log212＝2＋log22－1＝2学生用书P035命题点1对数的运算例1（1）[2022天津高考]化简（2log43＋log83）（log32＋log92）的值为（B）A.1 B.2 C.4 D.6解析（2log43＋log83）（log32＋log92）＝（2log223＋log233）×（log32＋log322）＝（log23＋13log23）（log32＋12log32）＝43×log23×（2）[2022浙江高考]已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝（C）A.25 B.5 C.259 D.解析由2a＝5得a＝log25.又b＝log83＝log23log28＝13log23，所以a－3b＝log25－log23＝log253＝log453log42＝2log453＝log方法技巧对数运算的一般思路（1）转化：①利用ab＝N⇔b＝logaN（a＞0且a≠1）对题目条件进行转化；②利用换底公式化为同底数的对数运算.（2）利用恒等式：loga1＝0，logaa＝1，logaaN＝N，aloga（3）拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算性质化简.（4）合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.训练1（1）[2024江苏省如皋市教学质量调研]我们知道，任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）.当n＞0时，N是n＋1位数，则41000是（C）位数.（lg2≈0.3010）A.601 B.602 C.603 D.604解析由lg41000＝lg22000＝2000lg2≈2000×0.3010＝602＝602＋lg1，得n＝602，所以41000是603位数.故选C.（2）[2024山东泰安第二中学模拟]（2＋1027）－23＋2log32－log349－5log解析原式＝[（43）3]－23＋log34－log349－5log53＝（43）－2＋log39－3＝命题点2对数函数的图象及应用例2（1）[浙江高考]在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝loga（x＋12）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（A BC D解析若0＜a＜1，则函数y＝1ax是增函数，y＝loga（x＋12）是减函数且其图象过点（12，0），结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝1ax是减函数，而y＝loga（x＋12）是增函数且其图象过点（（2）已知当0＜x≤14时，有x＜logax，则实数a的取值范围为（116，1解析若x＜logax在x∈（0，14]时成立，则0＜a＜1，且y＝x的图象在y＝logax图象的下方，作出y＝x，y＝logax的图象如图所示.由图象知14＜loga14，所以0<a<1，a12＞14，解得116方法技巧与对数函数有关的图象问题的求解策略1.对于图象的识别，一般通过观察图象的变化趋势、利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.2.对于对数型函数的图象，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.训练2（1）[多选/2024辽宁省部分学校模拟]已知ax＝b－x（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），则函数y＝loga（－x）与y＝bx的图象可能是（AB）解析因为ax＝b－x，即ax＝（1b）x，所以a＝1b，当a＞1时，0＜b＜1，函数y＝bx在R上单调递减，且过点（0，1），因为y＝logax与y＝loga（－x）的图象关于y轴对称，故y＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递减且过点（－1，0），故A当0＜a＜1时，b＞1，函数y＝bx在R上单调递增，且过点（0，1），y＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递增且过点（－1，0），故B符合题意.故选AB.（2）[2024安徽省皖江名校联考]已知函数f（x）＝｜log3｜x｜｜,x≠0，0，x=0，设a，b，c，d是四个互不相同的实数，且满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则｜a｜＋｜b｜＋解析作出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）图象关于y轴对称.设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝m（m＞0），且a＞b＞c＞d，作直线y＝m，则由图象得0＜b＜1＜a，则由题意知，log3a＝－log3b，且a＝－d，b＝－c，所以ab＝1，即b＝1a，则｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜2（a＋b）＝2（a＋1a）＞4，所以｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＋｜d｜的取值范围是（4，＋∞）命题点3对数函数的性质及应用角度1比较大小例3（1）[2021新高考卷Ⅱ]若a＝log52，b＝log83，c＝12，则（CA.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c解析a＝log52＝log54＜log55＝12＝c，b＝log83＝log89＞log88＝12＝c，所以a＜c＜b.（2）[2024天津市蓟州区第一中学模拟]已知函数f（x）在R上是增函数，若a＝f（log215），b＝f（log24.1），c＝f（20.5），则a，b，c的大小关系为（AA.a＜c＜b B.b＜a＜cC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析log215＝－log25＜－log24＝－2，log24.1＞log24＝2，20.5＝2∈（1，2），故log215＜20.5＜log24.1.由于f（x）在R上是增函数，故f（log215）＜f（20.5）＜f（log24.1），所以a＜c＜b方法技巧比较对数值大小的常用方法1.底数相同时，比较真数的大小；真数相同时，利用换底公式转化为底数相同的形式，再比较大小，也可以借助对数函数的图象比较大小.2.当底数和真数都不相同时，常借助0，1或题干中出现的有理数等中间量比较大小，也可以通过作差或者作商比较大小.角度2解对数方程或不等式例4（1）[2024湘豫名校联考]已知函数f（x）＝log2｜x｜＋x2，则不等式f（lnx）＋f（－lnx）＜2的解集为（D）A.（1e，1） B.（1e，C.（1，e） D.（1e，1）∪（1，e解析由题可知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∴lnx≠0.∵f（－x）＝log2｜－x｜＋（－x）2＝log2｜x｜＋x2＝f（x），∴f（x）是偶函数，∴由f（lnx）＋f（－lnx）＜2可得2f（lnx）＜2，即f（lnx）＜1.当x＞0时，f（x）＝log2x＋x2.∵y＝log2x和y＝x2在（0，＋∞）上都是单调递增的，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（1）＝1，∴｜lnx｜＜1且lnx≠0，∴1e＜x＜e且x≠1，所以原不等式的解集为（1e，1）∪（1，e）.（2）[2024江苏省淮安市五校联考]已知x＝4log6x－9log6x，y＝9loA.5+12 B.C.5＋1 D.5－1解析令log6x＝m，log4y＝n，则x＝6m，y＝4n.由x＝4log6x－9log6x，y＝9log4y＋6log4y可得6m进而可得（32）m＝1－（32）2m，故（32）m＋（32）2m＝1，同理得（32）2n＋（32）n＝1，所以（32）m与（32）n均为方程t由t2＋t－1＝0，解得t＝－1+52或t＝因为（32）m＞0，（32）n＞所以（32）m＝（32）n＝由于函数y＝（32）x为增函数，所以m＝n，xy＝6m4n＝（32方法技巧1.（1）logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（a＞0，且a≠1）.（2）logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）（f（x）＞0，g（x）＞0）.2.解简单对数不等式，先统一底数，化为形如logaf（x）＞logag（x）的不等式，再借助y＝logax的单调性求解.角度3对数函数性质的应用例5（1）[全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（D）A.是偶函数，且在（12，＋∞B.是奇函数，且在（－12，1C.是偶函数，且在（－∞，－12D.是奇函数，且在（－∞，－12解析由2x+1≠0，2x－1≠0，得函数f（x）的定义域为（－∞，－12）∪＋∞），其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A，C.当x∈（－12，12）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B.当x∈（－∞，－12）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln2x+12x－1＝ln（（2）[全国卷Ⅰ]若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（B）A.a＞2b B.a＜2bC.a＞b2 D.a＜b2解析令f（x）＝2x＋log2x，因为y＝2x在（0，＋∞）上单调递增，y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2（2b），所以f（a）＜f（2b），所以a＜2b.故选B.方法技巧对数型复合函数的单调性问题的求解策略（1）对于y＝logaf（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）＞0）的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反.（2）研究y＝f（logax）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f（t）的单调性即可.注意研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错.训练3（1）[2024河南名校联考]“a≤2”是“函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增”的（AA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析二次函数y＝x2－ax＋12图象的对称轴为x＝a2，若函数f（x）＝ln（x2－ax＋12）在区间（2，＋∞）上单调递增，则根据复合函数的单调性可得a2≤2，4－2a＋12≥0，即a≤94，故“a≤2”是“函数f（x）＝ln（（2）[2024河南商丘高三名校联考]已知a＝log64，b＝log53，c＝log76，则（B）A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b解析由题意得a，b，c∈（0，1），∵log64·log67＜（log64+log672）2＝（∴log64＜1log67＝log76，即a∵a＝log64＝log64256＞log64216＝34，b＝log53＝log5481＜log54125＝34，∴a＞b.综上所述，可得b＜（3）[2024湖北名校联考改编]已知奇函数f（x）＝lg1+kx1+x（k≠1），则不等式－1＜f（x）＜lg12的解集为（13解析因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝lg1－kx1－x＋lg1+kx1+x＝lg1－k2x21－x2＝0，所以k2＝1.因为k≠1，所以k＝－1，则由－1＜f（x）＜lg12，得lg110学生用书P038指数、对数、幂值比较大小的策略策略1直接法例6（1）[2023南京六校联考]若a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝log324，则a，b，c的大小关系是（D）A.a＜b＜c B.b＜c＜aC.c＜b＜a D.c＜a＜b解析因为0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a＜b.因为c＝log324＝log2522＝25log22＝0.4＜0.40.5＝a，所以c＜a＜（2）[2022全国卷甲]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（A）A.a＞0＞b B.a＞b＞0 C.b＞a＞0 D.b＞0＞a解析因为9m＝10，所以m＝log910，所以a＝10m－11＝10log910－11＝10log910－10log1011，因为log910－log1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg9·lg11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以策略2图象法例7[2024山西大学附中模拟]若ea＝－lna，e－b＝lnb，e－c＝－lnc，则（B）A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析在同一直角坐标系中作出y＝ex，y＝e－x，y＝lnx，y＝－lnx的图象，如图所示，由图象可知a＜c＜b.故选B.策略3构造函数法例8[全国卷Ⅰ]设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（D）A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z解析令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1.解法一（作差法）易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，因为k＞1，所以lgk＞0，所以2x－3y＝2lgklg2－3lgklg3＝lgk×（2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgk×lg98lg2×lg3＞0，故2x＞3y，2x－5z＝2lgklg2－5lgklg5＝lgk解法二（作商法）易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，由2x3y＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得由5z2x＝52×lg2lg5＝lg25lg所以3y＜2x＜5z.解法三（函数法）易知x＝lnkln2，y＝lnkln3，设函数f（t）＝tlnklnt（t＞0，t≠1），则f（2）＝2lnkln2＝2x，f（3）＝3lnkln3＝3y，f（f'（t）＝lnk·ln易得当t∈（e，＋∞）时，f'（t）＞0，函数f（t）单调递增.因为e＜3＜4＜5，所以f（3）＜f（4）＜f（5）.又f（2）＝2lnkln2＝2×2lnk2ln2＝4ln所以f（3）＜f（2）＜f（5），即3y＜2x＜5z.方法技巧指数、对数、幂值比较大小的策略1.直接利用函数的性质，题目中出现的常数，特殊值（如0，1）等比较大小.2.当待比较大小的代数式无法单独分离出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通过图象，利用交点坐标比较大小.3.式子结构比较麻烦，或呈现一定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调性比较大小.4.作差、作商也是比较大小常用的方法.训练4（1）[2024山东省枣庄市第三中学模拟]设x＝e0.03，y＝1.032，z＝ln（e0.6＋e0.4），则x，y，z的大小关系为（A）A.z＞y＞x B.y＞x＞zC.x＞z＞y D.z＞x＞y解析易得lnx＝0.03，lny＝2ln1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x＜110），则f'（x）＝1－2x+1＝x－1x+1＜0，∴f（x）在（0，110）上递减，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，则x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.yln（e0.6＋e0.4）＞ln2e0.6+0.4＝ln2＋lne＝ln2＋12，易得ln2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故（2）[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数x，y，z满足z·lnx＝z·ey＝1，则下列关系式可能成立的是（ABC）A.x＞y＞z B.x＞z＞yC.z＞x＞y D.z＞y＞x解析由题知实数x，y，z满足lnx＝ey＝1z，在同一直角坐标系中分别作出函数m＝lnn，m＝en，m＝1n的大致图象，如图所示，再分别作出与n轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为m＝m1，m＝m2，m＝m3由直线m＝m1与三个函数图象的交点情况可得z＞x＞y，由直线m＝m2与三个函数图象的交点情况可得x＞z＞y，由直线m＝m3与三个函数图象的交点情况可得x＞y＞z.故选ABC.（3）[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜c＜b＜1＜a，则下列不等式正确的是（ABC）A.log2024a＞log2024b B.logca＞logbaC.（c－b）ac＞（c－b）ab D.（a－c）ac＞（a－c）ab解析对选项A：因为a＞1＞b＞0，且f（x）＝log2024x为增函数，所以f（a）＞f（b），即log2024a＞log2024b，故A正确.对选项B：因为a＞1＞b＞c＞0，所以logac＜logab＜0，所以1logac＞1logab，即logca对选项C，D：由题意易知ac＜ab且c－b＜0，a－c＞0，所以（c－b）ac＞（c－b）ab，（a－c）ac＜（a－c）ab，所以C正确，D错误.故选ABC.1.[命题点1/2024江苏省南通市教学质量调研]若3x＝4y＝6z＝k，且2x＋1y－1z＝12，则实数k的值为解析∵3x＝4y＝6z＝k，∴x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，则2x＋1y－1z＝2log3k＋1log4k－1log6k＝2logk3＋logk4－logk6＝logk9＋logk4－logk6＝logk（9×46）2.[命题点2/2024辽宁省大连市滨城高中联考]函数y＝logax＋ax－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），若m＋n＝b－k且m＞0，n＞0，则9m＋1n的最小值为（BA.9 B.8 C.92 D.解析因为函数y＝logax＋ax－1＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（1，3），所以m＋n＝3－1＝2，所以2（9m＋1n）＝（m＋n）（9m＋1n）＝10＋9nm＋mn≥10＋29＝16，所以9m＋1n≥8，当且仅当3.[命题点2]已知函数f（x）＝lnx，则函数y＝f（11－x）的图象大致为（解析f（11－x）＝ln11－x＝－ln（1－x4.[命题点3角度1]已知函数f（x）＝2｜x｜，a＝f（log0.53），b＝f（log45），c＝f（cosπ3），则（BA.a＞c＞b B.a＞b＞cC.b＞a＞c D.c＞a＞b解析a＝f（log0.53）＝f（－log23），b＝f（log45）＝f（log25），c＝f（cosπ3）f（12），易知函数f（x）＝2｜x｜为偶函数，∴a＝f（log23）.又当x＞0时，函数f（x）2｜x｜＝2x单调递增，且log23＞log25＞12，∴f（log23）＞f（log25）＞f（12），∴a＞b＞c.5.[命题点3角度2，3/多选/2024湖南名校联考]已知函数f（x）＝lg（x2－x＋414），则（ACDA.f（x）的最小值为1B.∃x∈R，满足f（1）＋f（x）＝2C.f（log92）＞f（23D.f（90.1－12）＞f（30.18－1解析由题知f（x）＝lg[（x－12）2＋10]，则f（x）在（－∞，12）上单调递减，在（12，＋∞）上单调递增，所以f（x）的最小值为f（12）＝lg10＝1因为f（x）≥1，f（1）＞1，所以f（1）＋f（x）＞2，B错误.易知f（x）图象关于x＝12对称，因为0＜log92＝lg2lg9＜lg2lg8＝13，所以｜log92－12｜＞16，又｜23－12｜＝16，所以f（log92因为90.1＝30.2＞30.18＞1，所以90.1－12＞30.18－12＞12，所以f（90.1－12）＞f（30.18－12），6.[思维帮角度1，3]已知实数a，b满足a＝log23＋log86，6a＋8a＝10b，则下列判断正确的是（C）A.a＞2＞b B.b＞2＞aC.a＞b＞2 D.b＞a＞2解析先比较a与2的大小：a＝log23＋log86＝log23＋log236＝log23＋13log26＝log23＋13（log22＋log23）＝1+4log233＝1+log2813，又20，即a＞2.再比较b与2的大小：因为a＞2，所以6a＋8a＞62＋82＝102，又6a＋8a＝10b，所以b＞2.最后比较a与b的大小：令f（x）＝6x＋8x－10x，x＞2，t＝x－2，t＞0，则x＝t＋2，令g（t）＝6t＋2＋8t＋2－10t＋2，t＞0，则g（t）＝36×6t＋64×8t－100×10t＜36×8t＋64×8t－100×10t＝100×8t－100×10t＜0，即当x＞2时，6x＋8x＜10x，所以6a＋8a＝10b＜10a，所以b＜a.综上，a＞b＞2.故选C.7.[思维帮角度2]若e－x1·x3＝－lnx2·x3＝－1，则下列不等关系一定不成立的是（A.x1＜x3＜x2 B.x3＜x1＜x2C.x3＜x2＜x1 D.x1＜x2＜x3解析由e－x1·x3＝－lnx2·x3＝－1，得e－x1＝－lnx2＝－1x3.由e－x1＞0，得0＜x2＜1，x3＜0.作出函数y＝e－x，y＝－lnx（0＜x＜1），y＝－1x（x＜0）的大致图象，如图，由图可知x1＜x3＜x2，x3＜x1＜x2，x38.[思维帮角度3]已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（D）A.c＜b＜a B.b＜c＜aC.a＜c＜b D.a＜b＜c解析解法一易知a，b，c均大于零.ae5＝5ea⇒e55＝eaa，be4＝4eb⇒e44＝ebb，ce3＝3ec⇒e33＝ecc，所以设函数f（x）＝f（4）＝f（b），f（3）＝f（c），且f'（x）＝ex（x－1）x2，则易得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，作出f（x）在（0，＋∞）上的大致图象，如图，因为a＜5，b＜4，c＜解法二由题知，a＜5，b＜4，c＜3，因为ae5＝5ea，所以两边同时取对数可得lna＋5＝ln5＋a，即lna－ln5a－5＝1，同理可得lnb－ln4b－4＝lnc－ln3c－3＝1，即点A（a，lna）与点D（5，ln5）连线的斜率k1＝1，点B（b，lnb）与点Elnc）与点F（3，ln3）连线的斜率k3＝1.因为点A，B，C，D，E，F均在函数y＝lnx的图象上，且AD∥BE∥CF，所以作出对应的示意图如图所示，由图可得a＜b＜c.故选D.学生用书·练习帮P2681.[2023宁夏六盘山高级中学模拟]若f（x）满足对定义域内任意的x1，x2，都有f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），则称f（x）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（D）A.f（x）＝2x B.f（x）＝（12）C.f（x）＝x2 D.f（x）＝log3x解析因为log3x1＋log3x2＝log3x1x2，满足f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），所以f（x）＝log3x是“好函数”，故选D.2.[2024四川成都模拟]已知a＝log0.70.3，b＝log0.30.7，c＝0.5，则a，b，c的大小关系为（D）A.a＜c＜b B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.b＜c＜a解析依题意，a＝log0.70.3＞log0.70.72＝2，b＝log0.30.7＝1log0.70.3＜12，而c＝0.5，所以3.已知函数f（x）＝x＋1x－2，x∈（2，8），当x＝m时，f（x）取得最小值n.则在平面直角坐标系中，函数g（x）＝log1m｜x＋n｜解析∵函数f（x）＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2＝4，x∈（2，8），当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时取等号，∴m＝3，n＝4.则函数g＋∞）上单调递减，在（－∞，－4）上单调递增，观察选项可知，选项A符合.故选A.4.[2024河北石家庄市第十五中学模拟]已知函数f（x）＝lg（x2－ax＋12）在[－1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（B）A.[6，＋∞） B.[6，7）C.（－∞，－2] D.（－13，－2]解析由题意得，函数y＝x2－ax＋12在[－1，3]上单调递减，且在[－1，3]上x2－ax＋12＞0恒成立，所以a2≥3，32－3a+12>0，解得6≤a＜7，故5.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612，则a，b，c的大小关系为（A）A.b＞c＞a B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b解析a＝2－0.01∈（2－1，20）＝（12，1），b＝1＋log52＞1，c＝1＋log62＞1，且log52＞log62，故b＞c＞a.故选6.[2023河南部分学校联考]设a＝log23，b＝log4x，c＝log865，若a，b，c中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（A）A.（9，6523） B.（3，6C.[9，6523] D.[3，6解析∵a＝log23＝log827＜log865＝c，∴a＜b＜c，∴log23＜log4x＜log865，∴log23＜log2x12＜log26513，∴3<x12＜6513，得9＜x＜657.[2023山东模拟]已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递减，则不等式f（log13（2x－5））＞f（log38）的解集为（CA.{x｜52＜x＜41B.{x｜x＞132C.{x｜52＜x＜4116或x＞D.{x｜x＜52或4116＜x＜解析因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调递减，所以可将f（log13（2x－5））＞f（log38）化为｜log13（2x－5）｜＞｜log38｜，即log3（2x－5）＞log38或log3（2x－5）＜－log38＝log318，即2x－5＞8或0＜2x－5＜18，解得x＞132或58.[多选/2024甘肃省部分学校质量检测]若（a，b）（a＞0，a≠1）为函数y＝log2x图象上的一点，则下列选项正确的是（ABC）A.（b，a）为函数y＝2x图象上的点B.（1a，b）为函数y＝log1C.（－b，a）为函数y＝（12）xD.（a，2b）为函数y＝log4x图象上的点解析∵（a，b）（a＞0，a≠1）为函数y＝log2x图象上的一点，∴log2a＝b，∴2b＝a，则（b，a）为函数y＝2x图象上的点，故A正确；∵log2a＝b，∴log121a＝－1－1log2a＝b，则（1a，b）为函数y＝log1∴（12）－b＝2b＝a，则（－b，a）为函数y＝（12）x图象上的点，故C正确；∵log2a＝b，∴log4a＝12log2a＝12b，故D9.[2023天津市汇文中学模拟]计算：（827）－23＋10lg3＋log193－log5解析（827）－23＋10lg3＋log193－log54·log25＝[（23）3]（23）－2＋3＋12－2log33－2＝94＋10.[2024江苏省联考]已知函数f（x）＝2－log2x，x≥1，4x解析由函数f（x）＝2－log2x，x≥1，4x，x<111.[2024北京市中关村中学模拟]声音的等级f（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足f（x）＝10×lgx1×10－12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的解析由f（x）＝10×lgx1×10－12，即y＝10×lgx1×10－12可知，声音强度x＝10y10×10－12＝10－12+y12.[2024贵州贵阳名校联考]已知函数f（x）＝log2｜x－a｜＋1，且f（6＋x）＝f（2－x），则f（2）＝2.解析由f（6＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）的图象关于直线x＝4对称，而函数f（x）＝log2｜x－a｜＋1的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，所以f（x）＝log2｜x－4｜＋1，所以f（2）＝log2｜2－4｜＋1＝2.13.[2023乌鲁木齐质监（一）]已知函数f（x）＝ln2－x3+x，a＝log23，b＝log34，c＝log58，则（A.f（a）＜f（c）＜f（b） B.f（a）＜f（b）＜f（c）C.f（c）＜f（a）＜f（b） D.f（c）＜f（b）＜f（a）解析f（x）＝ln2－x3+x＝ln（－1＋53+x），由2－x3+x＞0，得f（x）的定义域为{x｜－3＜x＜2}，由复合函数的单调性可得，f（x）在（－3，2）上单调递减.由bc＝log34log58＝lg4lg3lg8lg5＝2lg2lg53lg2lg3＝lg25lg27＜1，c＞1得b＜c.又9＞8，即32＞23，所以3＞232，log23＞32，同理8＜532，log58＜32，所以c＜14.[2024陕西模拟]已知函数f（x）＝（12）x，A.f（f（0））＝12 B.f（f（1））＝C.f（f（log23））＝22 D.f（x）的值域为（0，1解析对于选项A，f（0）＝f（1）＝12，f（f（0））＝f（12）＝f（32）＝（12）32＝（18）12＝24，故A错误；对于选项B，f（1）＝12，f（f（1））＝f（12）＝24，故B正确；对于选项C，因为log23＞1，所以f（log23）＝（12）log2f（43）＝（12）43≠22，故C错误；对于选项D，当x≥1时，f（x）＝（12）x∈（0，12]，当0≤x＜1时，1≤x＋1＜2，f（x）＝f（x＋1）＝（12）x＋1∈（14，12]，又当x＜0时，f（x）＝f（x＋1），所以当x＜0时，f（x）∈（14，12]，综上，函数f15.[2024南昌市模拟]已知函数y＝ex和y＝lnx的图象与直线y＝2－x交点的横坐标分别为a，b，则（D）A.a＞b B.a＋b＜2C.ab＞1 D.a2＋b2＞2解析易知y＝ex与y＝lnx互为反函数，对应的图象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝2－x垂直，所以两函数的图象与直线y＝2－x的交点A，B关于直线y＝x对称.设直线y＝x与y＝2－x的交点为C，则C（1，1），∴a＋b＝2且a≠b.∴a2＋b22＞a＋b2＝1，即a216.[2024河南省六市部分学校联考]已知正数a，b，c∈（1，＋∞），且满足2a－1a－1＝2＋log2a，3b－2b－1＝3＋log3b，A.c＜b＜a B.a＜b＜cC.a＜c＜b D.c＜a＜b解析由2a－1a－1＝2＋log2a，可得1a－1＝log2a，由3b－2b－1＝3＋log3b，可得1b－1＝log3b，由4c－3c－1＝4＋log4c，可得1c－1＝log在同一平面直角坐标系中画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x与y＝1x－1（x＞根据图象可知a＜b＜c.故选B.17.[2024合肥开学考试]定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞1，则不等式f（2log2x）－fA.（1，2） B.（2，4）C.（4，8） D.（8，16）解析根据题意：设x1＞x2，则f（x1）－f（x2）x1－x2＞1⇒f（x1）－f（x2）＞x1－x2⇒f（x1）－x1＞f（x2）－x2，可得函数h（x）＝f（x）－x在（0，＋∞）上单调递增.则f（2log2xf（log2x2）－log2x2＞f（x）－x⇒log2x2＞x⇒log2x2＞log22x⇒x2＞2x，在同一坐标系中画出y＝x2与y＝2x的图象，如图.又x＞0，得2＜x＜4，则不等式的解集