2025高考备考数学知识点第1讲　函数的概念及其表示

第二章函数第1讲函数的概念及其表示课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.求函数的定义域2022北京T11本讲是函数部分的基础，命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易.在2025年高考的备考中，要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.求函数的解析式分段函数2022浙江T14；2021浙江T12学生用书P0181.函数的概念及表示函数的定义一般地，设A，B是①非空的实数集，如果对于集合A中的②任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有③唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A.三要素④定义域，⑤对应关系，⑥值域.定义域自变量x的取值范围A.值域函数值的集合{f（x）｜x∈A}，是集合B的⑦子集.相等函数⑧定义域相同，⑨对应关系完全一致.函数的表示法⑩解析法，⑪列表法，⑫图象法.注意（1）与x轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.常用结论求函数的定义域时常用的结论（1）分式型1f（x）要满足f（x）≠0；（2）偶次根式型2nf（x）（n∈N*）要满足f（x）≥0；（3）[f（x）]0要满足f（x）≠0；（4）对数型logaf（xf（x）＞0；（5）正切型tanf（x）要满足f（x）≠π2＋kπ，k∈2.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.注意（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（B）A.f（x）＝x2－1与g（x）＝x－1·x+1 B.f（x）＝x与C.f（x）＝x与g（x）＝（x）2 D.f（x）＝x2与g（2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（D）A.y＝x B.y＝lgx C.y＝2x D.y＝13.[教材改编]已知函数f（x）＝x2－1，x≤1，1x－1，A.8 B.12 C.－34 D.解析因为f（x）＝x2－1，x≤1，1x－1，x>1，所以ff（f（－2））＝f（3）＝13－1＝4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.学生用书P019命题点1求函数的定义域例1（1）[2022北京高考]函数f（x）＝1x＋1－x的定义域是（－∞，0）∪（0，1解析因为f（x）＝1x＋1－x，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为[－3，3].解析因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].命题拓展若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为[－12，1]解析由－1≤1－2x≤2，得－12≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－12，1方法技巧1.求具体函数的定义域的策略根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.2.求抽象函数的定义域的策略（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.注意无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.训练1（1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝f（2x+1）A.[－32，－1）∪（－1，1B.[－3，－1）∪（－1，7]C.（－1，7]D.[－32，－1解析因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－32，－1）∪（－1，1].故选（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4解析要使函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0有意义，则有3x－2≥0，x－所以函数f（x）＝3x－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4命题点2求函数的解析式例2（1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝4x－5或－4x＋253解析设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴k2=16，kb＋b＝－25，∴k=4，b＝－5或k＝－4，b（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（1x）＝3x－1，则f（x）＝2x－1x－1解析已知2f（x）＋f（1x）＝3x－1①以1x代替①中的x（x≠0），得2f（1x）＋f（x）＝3x－1①×2－②，得3f（x）＝6x－3x－1，故f（x）＝2x－1x－方法技巧求函数解析式的常用方法（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（1x），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为1x，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x注意求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.训练2（1）已知f（x2＋1x2）＝x4＋1x4，则f（x）的解析式为f（x）＝x2－2，＋∞）.解析因为f（x2＋1x2）＝（x2＋1x2）2－2，所以f（x）＝x2－2，x∈[2（2）[2024安徽淮南模拟]已知f（x）是二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x＋4，则f（x）＝x2－2x＋1.解析因为f（x）是二次函数，所以设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则有a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝2x2－4x＋4，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x＋4，所以2a=2，2b＝－4，2a+2c=4，（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f（x）满足3f（x）＋2f（1－x）＝4x，则f（x）的解析式为f（x）＝4x－85解析3f（x）＋2f（1－x）＝4x①，用1－x代替①中的x可得3f（1－x）＋2f（x）＝4（1－x）②，由3×①－2×②可得f（x）＝4x－85命题点3分段函数角度1分段函数的求值（求参）问题例3（1）[山东高考]设f（x）＝x，0<x<1，2（x－1),x≥1.若f（a）＝A.2 B.4 C.6 D.8解析作出f（x）的图象，如图所示，因为a＜a＋1，所以要使f（a）＝f（a＋1），则有a＝2（a＋1－1），0＜a＜1，所以解得a＝14，所以f（1a）＝f（4）（2）[2022浙江高考]已知函数f（x）＝－x2+2，x≤1，x＋1x－1，x>1，则f（f（12））＝3728；若当x∈[a，b]时，解析由题意知f（12）＝－（12）2＋2＝74，则f（f（12））＝f（74）＝74＋174－1＝作出函数f（x）的大致图象，如图所示，结合图象，令－x2＋2＝1，解得x＝±1；令x＋1x－1＝3，解得x＝2±3，又x＞1，所以x＝2＋3所以（b－a）max＝2＋3－（－1）＝3＋3.角度2分段函数的解不等式问题例4[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝2－x，x≤0，1，x>0，则满足f（x＋1）＜A.（－∞，－1] B.（0，＋∞）C.（－1，0） D.（－∞，0）解析解法一当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥f（0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f（x＋1）＜f（2x），则需x+1<0，2x<0，2x解法二当x＝－12时，f（x＋1）＝f（12）＝1，f（2x）＝f（－1）＝2－（－1）＝f（x＋1）＜f（2x），排除A，B；当x＝－1时，f（x＋1）＝f（0）＝20＝1，f（2x）＝f（－2）＝22＝4，满足f（x＋1）＜f（2x），排除C.故选D.方法技巧1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解，当出现f（f（a））形式时，一般由内向外逐层求值.2.解分段函数的解不等式问题的思路：（1）若图象易画，可画出函数图象，数形结合求解；（2）根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.注意解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.训练3（1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a＜0，函数f（x）＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f（1－a）＝A.－34 B.－32 C.－35 解析因为a＜0，所以1－a＞1，1＋a＜1.因为f（1－a）＝f（1＋a），所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－34.故选（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数f（x）＝ex－1，x≤2，2f解析由题意得f（7）＝2f（5）＝2×2f（3）＝4×2f（1）＝8e1－1＝8.（3）[2023江苏南通模拟]已知函数f（x）＝max{1－x，2x}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者.则不等式f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.解析作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）＝1－x，x≤0，2x，x>0.当x≤0时，由1－x＞4，得x＜－3.当x＞0时，由2x＞4，得x＞2，所以f（x）＞4的解集为（－∞1.[命题点1/2023黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟]函数f（x）＝2x1－x＋－loA.[0，12） B.（－∞，1C.（－∞，12] D.（－∞，1解析由题意得1－x>0，－log3（1－2x）≥0，12.[命题点2]定义在（－1，1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）解析当x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）①.以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）②.由①②消去f（－x）得，f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，13.[命题点3角度1]设函数f（x）＝2－x，x≤1，x2，x>1，则满足2f（f（A.（－∞，0] B.[0，2]C.[2，＋∞） D.（－∞，0]∪[2，＋∞）解析作出f（x）的图象（图略），可得f（x）的最小值为12，令t＝f（a），则t≥12，考虑f（t）＝t2的解，作出y＝f（t）与y＝t2在[12，＋∞）上的图象，如图1中实线所示，由图可知，当t≥1时，f（t）＝下面考虑f（a）≥1的解集，作出y＝f（a）与y＝1的图象如图2所示，由图可得a≤0或a≥2.故选D.图1 图24.[命题点3角度2/2023山东济南模拟]已知函数f（x）＝－xf（a2－4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（B）A.（－1，4） B.（－∞，－1）∪（4，＋∞）C.（－4，1） D.（－∞，－4）∪（1，＋∞）解析由题意知f（x）＝－（x－m）2，x≤m（－∞，m]上单调递增，且m－m＝－（m－m）2，所以函数f（x）在R上单调递增.则由f（a2－4）＞f（3a），得a2－4＞3a，解得a＞4或a＜－1，所以实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选B.学生用书·练习帮P2641.函数f（x）＝3x－1＋1ln（A.[13，1）∪（1，＋∞） B.[13，C.[13，1）∪（1，2） D.（0，2解析要使函数f（x）＝3x－1＋1ln（2－x）有意义，则3x－1≥0，2－x>02.下列各组函数表示相同函数的是（C）A.f（x）＝x2和g（x）＝（x）B.f（x）＝1和g（x）＝x0C.f（x）＝｜x｜和g（x）＝xD.f（x）＝elnx和g（x）＝lg10x解析对于选项A，f（x）＝x2＝｜x｜的定义域为R，g（x）＝（x）2＝x的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x｜x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项C，f（x）＝｜x｜＝x，x≥0，－x，x＜0，函数f（x），g（x）的定义域都是R，且对应法则相同，是相同函数；对于选项D，f（x）＝elnlg10x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.3.[2023重庆模拟]已知函数f（x＋1）＝x＋2x，则f（x）的解析式为（C）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x2－1，x∈（1，＋∞）C.f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞）D.f（x）＝x2－1，x∈[0，＋∞）解析解法一（配凑法）f（x＋1）＝x＋2x＝（x＋1）2－1，令t＝x＋1（t≥1），则f（t）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.解法二（换元法）令t＝x＋1（t≥1），则x＝t－1（t≥1），f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.4.已知函数f（x）＝lnx，x≥1，0，0≤x<1，x，x<0，若f（A.[e+12，＋∞） B.（－∞，－12]∪[0，C.[0，e+12] D.（－∞，解析因为f（2a－1）－1≤0，所以f（2a－1）≤1.作出函数y＝f（x）及y＝1的图象，如图所示，设两函数图象交于点P，则由图可知，2a－1≤xP＝e，所以a≤e+12，即a的取值范围是（－∞，e+125.[2024广东名校联考]已知函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数y＝f（x－1）x－2解析由题意知0≤x－1≤4，x－2>0，解得2＜x≤5，即y6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f（x）＝3x，x≤0，log4x解析因为f（x）＝3x，x≤0，log4x，x>0，所以f（116）＝log4116＝f（f（116））＝17.[2024惠州市一调]已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2，则f（x）的解析式可以是f（x）＝2x（答案不唯一）.（写出满足条件的一个解析式即可）解析由f（x＋1）＝f（x）＋2知，函数f（x）的图象上移2个单位长度后得到的图象，与左移1个单位长度后得到的图象重合，f（x）＝2x＋k（其中k可取任意实数）满足要求.本题为开放题，答案可为f（x）＝2x，f（x）＝2x＋1等.8.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝（12）x，x∈（－∞，1),log4x，x∈（1解析由题意可得，f（0）＝（12）0＝1，结合指数函数y＝（12）x在定义域内单调递减可知，当x＜1时，f（x）＞1的解集为（－∞，0）；f（4）＝log44＝1，结合对数函数y＝log4x在定义域内单调递增可知，当x＞1时，f（x）＞1的解集为（4，＋∞）f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.9.[2023福建漳州联考]已知函数f（x）＝log2x，x>0，x2+4x+1，x≤0，若实数aA.1 B.1716－C.－1516－5 D.－解析作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得xA＝－4，xB＝0，xC＝2.令f（a）＝－4，则由图可得log2a＝－4，解得a＝2－4＝116令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或log2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.所以实数a的所有取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4－1516－5故选C.10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f（x）＝x，0<x<1，f（ea），则f（1a）＝e解析根据题意作出函数f（x）的图象，如图所示.由f（x）的定义域知，a＞0，所以ea＞1.易知y＝ex的图象与y＝x的图象无交点，所以ea≠a，所以要使f（a）＝f（ea），则0＜a＜1＜ea，所以a＝elnea，变形可得a＝ea，解得a＝1e，则f（1a）＝f（e）＝elne＝e