高等数学上册第六版课后习题答案

习题1-1

L设4=(_OO,_5)55,+8),8=[—10,3),写出AuB,AcB,A\B及小(2\5)的表达式.

解/。6=(-8,3)u(5,+oo),

"cB=[—[0,—5),

4\5=(-8,-10)u(5,+oo),

心(43)=[一10,-5).

2.设AB是任意两个集合,证明对偶律:(/2)0=/口庆

证明因为

xe(Nc8)'oxwNc8=xW〃或x任8=xe/xeAc<JBC,

所以(Ar>B)c=Ac<jBc.

3.设映射"uXBuX.证明

(1)38)=/⑷/的；

(2)/(Jn5)q/(J)n/(5).

证明因为

ye/(JoS)»3xeJu5,使/(x)=y

0(因为x&A或x€B)yw/(Z)或

0"人/)5(8),

所以人人的=/⑷”(8).

(2)因为

》42门8)=>3€/门民使_/(》)=70(因为刀€4且且

其A)MB),

所以汽AcB)或A)MB).

4.设映射/XfY,若存在一个映射g：JX,使go/=/x,/*=/「,其中"、"分

别是X、y上的恒等映射，即对于每一个xeX,有/g;对于每一个ye匕有/i.证

明:/是双射，且g是/的逆映射:g=fL

证明因为对于任意的ye匕有x=g(y)eX,且_/(x)=/[g(y)]=4-,即丫中任意元素

都是X中某元素的像，所以/为X到丫的满射.

又因为对于任意的X/X2,必有/(》1)差於2),否则若/(Xl)=/(X2)ng[/(Xl)]=g[/(X2)]n

X1=X2.

因此/■既是单射，又是满射，即/是双射.

对于映射g：yfX,因为对每个W匕有g(y)=xeX,且满足yu)，[g(y)]=/月y,按逆映

射的定义,g是7的逆映射.

5.设映射/X.y/ux.证明：

(1)「(/⑷a;

(2)当/是单射时，有尸(/(Z))=4

证明(1)因为xeAR(x)可守⑷6T任)=产尸(/(/)),

所以尸(/(N)Q4

(2)由⑴知厂伉4))2.

另一方面，对于任意的xw/夕4))=＞存在使，'(y)=x=y(x)9.因为ye/⑷

且/是单射，所以xe4这就证明了/(/(/))3.因此尸(/(/))=4

6.求下列函数的自然定义域：

(l).=j3x+2;

解由3x+220得X〉等函数的定义域为[告+8).

⑵尸占；

解由1-/刈得用±1.函数的定义域为(-8,-1)5-1,1)51,+8).

(3)y=--Vl-x2；

X

解由杵0且1-逢0得函数的定义域7)=[-l,0M0,l].

解由4-32＞0得网＜2.函数的定义域为(-2,2).

(5)y=sinVx；

解由后0得函数的定义。4。,+00).

⑹尸an(x+l);

解由X+1H5/=0,±1,±2,…)得函数的定义域为XH版'+^7(左=0,±1,±2,…).

(7)y=arcsin(x-3);

解由|x-3区1得函数的定义域仄[2,4].

(8)y=J3-x+arctan—;

x

解由3-X20且xM得函数的定义域Z)=(-oo,0)。(0,3).

(9)y=ln(x+l);

解由x+1〉0得函数的定义域Z)=(-l,+oo).

(10)y=ex.

解由xM得函数的定义域6(-00,0)5。,+8)

7.下列各题中，函数加)和%)是否相同？为什么？

(l)Ax)=lgx2,g(x)=21gx;

(2)/(x)=x,g(x)=G;

(3)y(X)=Vx4-X3,g(x)=xy/x-l.

(4)/(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.

解(1)不同.因为定义域不同.

(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=-x.

(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.

(4)不同.因为定义域不同.

|sinx||x|<-y

8.设e(x)=13,求奴3),奴]),夕(_9,4_2),并作出函数产或x)的图

0|x|>1644

形.

解。(勺=叵吟|=],*(今Hsi吟|=孚，仪-《)=|sin(一多卜率”(-2)=0.

oo2442442

9.试证下列函数在指定区间内的单调性：

⑴产产•，(~00,1)；

1-X

(2)y=x+lnx,(0,4-co).

证明(1)对于任意的X1,X2W(~℃,1),有1-X1>O,l-%2>0.因为当X1<X2时，

乂-必=9---'L<0,

J力[_司1—X2(1-^)(1-%2)，

所以函数了=一二在区间(7,1)内是单调增加的.

1-X

(2)对于任意的Xg€(0,+8),当X1<X2时，有

乂-y2=(X]+lnx|)-(x2+lnx2)=(f-x2)+ln—<0,

x2

所以函数尸x+lnx在区间(0,+8)内是单调增加的.

10.设./(x)为定义在(-/,/)内的奇函数，若_Ax)在(0,。内单调增加，证明./(X)在(-/,0)

内也单调增加.

证明对于Vxi,X2C(-/,0)且X1<X2,有一为,一切€(0,/)且-X1>-X2.

因为於)在(0,/)内单调增加且为奇函数，所以

/(--^2)</(-Xl),AX2)>AX\),

这就证明了对于Vxge(-/,0),有兀3<外2),所以Xx)在(-/,0)内也单调增加.

11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-/,/)上的，证明：

(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函

数的乘积是奇函数.

证明(1)设/x)=/(x)+g(x).如果/(x)和g(x)都是偶函数，则

F(-x)=/(-x)+g(-x)Mx)+g(x)=F(x),

所以2x)为偶函数，即两个偶函数的和是偶函数.

如果寅X)和g(x)都是奇函数，则

2-x)=/(-x)+g(T)=-/(x)-g(x)=-F(x),

所以F(x)为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数.

⑵设F(x)=/(x>g(x).如果/(x)和g(x)都是偶函数，则

F(-x)=fi-x)-g(-x)=/(x)-g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.

如果加)和冢工)都是奇函数，则

网—x)=/(—x>g(—x)=[dx)][—g(x)]=/(x>g(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.

如果/(X)是偶函数，而g(x)是奇函数，则

E(-X)=/(T>g(T)4x)[-g(X)]=dx>g(X)=-A(X),

所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函

数？

(l)j-x2(l-x2);

(2)j^=3x2-?;

1_2

⑶片Hr；

1+x2

(4)尸G-l)(x+l);

(5)产sinx-cosx+1;

解(1)因为X—X)=(—X)2[1—(-X)2]=/(所以/(X)是偶函数.

⑵由X-X)=3(-X)2-(-X)3=3X2+X3可见段)既非奇函数又非偶函数.

(3)因为/(-、)=与理=户|=/(X)，所以於)是偶函数.

l+(-x)1+x

(4)因为X-x)=(-x)(-x-1)(-%+1)=-x(x+1)(x-1)=如)，所以人x)是奇函数.

(5)由/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sinx-cosx+1可见./(x)既非奇函数又非偶函数.

(6)因为〃-劝=在竽3=二贮=/(对，所以,危)是偶函数.

13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：

(l)y=cos(x-2);

解是周期函数,周期为1=2兀

(2)y=cos4x;

解是周期函数，周期为/=5.

(3)y=l+sin

解是周期函数，周期为1=2.

(4)y=xcosx;

解不是周期函数.

(5)y=sinx.

解是周期函数,周期为1=兀

14.求下列函数的反函数：

(i)j；=Vx+T;

解由y=y/x+i得1=歹3-1,所以尸Vx+1的反函数为P=X3-1.

⑵片修

解由尸公得、=悬，所以尸公的反函数为尸膏

(3)(ad-bc^O);

cx+d

解由尸纪若得，所以y="空的反函数为尸也辿

cx+dcy-acx+4cx-a

(4)y=2sin3x;

解由尸2sin3x得x=；arcsin^■，所以片2sin3x的反函数为尸garcsin5.

(5)y=l+ln(x+2);

解由尸l+ln(x+2)得-2,所以产l+ln(x+2)的反函数为y=ex~l-2.

2X

⑹尸

2¥+1

解由片高得4地2户,所以片三的反函数为尸log,4.

2"+11-y2"+11-x

15.设函数.危)在数集x上有定义，试证：函数7U)在x上有界的充分必要条件

是它在X上既有上界又有下界.

证明先证必要性.设函数7(x)在X上有界，则存在正数M使芥0区M即-峪

这就证明了大X)在X上有下界-"和上界M

再证充分性.设函数/(X)在X上有下界K］和上界&,即Ki软x)W七.取

止max{|K||,|七|},贝JMW格软x)WK24M

即\f{x}\<M.

这就证明了危)在X上有界.

16.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给

定自变量值xi和X2的函数值：

(1)y=〃,w=sinx,X|=---,%2="z"；

1o3

解尸sidx,凹=sin2专=§)2=：,y2=sin2件=(g)2=1

(2)尸sinu,u=2x,西二卷,巧=9；

8'4

解y=sin2x,yx=sin(2~)=sin--=^-,y2=sin(2~)=siny=1.

(3),〃=l+xyXi~12;

解.=J1+，，%=Jl+]2=后,%二，1+22=也.

(4)尸=0^2=1；

解y=e"2=/?=1,乃=*=e.

(5)y=u2,“=e'x尸1,X2=-1.

2x2122(I)2

解y^e,y^e'=e,y2=e~=e~

17.设/(x)的定义域£>=[0,1],求下列各函数的定义域：

(1)滔；

解由得,区1,所以函数/*)的定义域为-I1].

(2)义sinx);

解由0<sinx<l得2〃胫区(2〃+1)乃(〃=0,±1,±2…)，所以函数/(sinx)的定义域为

[2〃石(2〃+1)用(〃=0,±1,±2…).

(3),/+。)(。>0);

解由0幺+。41得-4/金〈1-4,所以函数y(x+。)的定义域为|-a,l-a].

(4)/(x+a)+/(x-a)(a>0).

解由0£c+aWl且0女—应1得:当时，胫区1—a;当时，无解.因此

当0<«<1时函数的定义域为[a,1-0,当a>1时函数无意义.

1M<1

18.设/(》)={0|x|=l,g(x)-ex,求./[巡明和g[/(x)],并作出这两个函数的图形.

-1后>1

1EKIrix<o

解/[g(x)]=0|e*|=l,即/[g(x)]=«0x=0.

-1\ex\>\[-1x>0

e1|x|<l

g[/(x)]=e°|x|=1,即g[/(x)]=<

e-]|x|>l

19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角打40。(图1-37).当过水断面的面积

为定值％时，求湿周以2=/8+8。+8)与水深力之间的函数关系式，并指明其定义

域.

£^2-COS40\.

h+sin40

自变量〃的取值范围应由不等式组

。>0,务cot40°•/?〉()

确定，定义域为0<〃<JSoCot40°.

20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是

订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.

(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；

(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；

(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？

解⑴当0玄§00时,2=90.

令O.Ol(xo—lOO)=9O—75,得的=1600.因此当x>1600时,p=75.

当100<x<1600时,

p=90-(x-100)x0.01=91-0.0U

综合上述结果得到

-900<x<100

p-<91-0.Olx100<x<1600.

75x>1600

3Ox0<x<100

(2)P=(/?-60)x=J3lx-0.0k2100<x<1600.

15xx>1600

习题1-2

1.观察一般项如下的数列“〃｝的变化趋势，写出它们的极限:

⑴x〃=*；

解当〃-8时,5/-0,屈出=0.

(2)-=(-1)/;

n

解当8时=(—1)，J-0,lim(—1)/=0.

n〃一YI

(3)x„=2+—;

n

解当〃-8吐x,=2+4.2,lim(2+-V)=2.

怔〃一>00

解当〃->8时,X"=^4=1--^7-0,lim^1=1.

〃+1H+1〃—>00〃+1

⑸x„=〃(-1)".

解当〃-8时,X*〃(一1)”没有极限.

cos-^

2.设数列｛x〃｝的一•般项x”=-J.问limx”=?求出N,使当〃〉N时,X”与其极限

H〃一>8

之差的绝对值小于正数与当£0.001时,求出数N.

解limx=0.

W-400

|cos-^^||111

|xw-0|=——2_八.VQO,要使隔-0|<g只要上<£也就是.取N=白，

nnn£8

则Vn>N,有肉?-01<£.

当40.001时,％=冉=肘00.

£

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim4=0;

〃一»CO

分析要使』-0|=」<£，只须〃2」,即〃〉」.

证明因为VeOJNR4],当〃〉N时,有』-0|<£，所以lim-^=O.

⑵hm丁=5；

/?-Xx)2/77+1T2

分析要使I洌-a=—不<；<£，只须比<£，即〃>4.

2〃+122(2〃+1)4〃4/74E

证明因为VQOJN=R-],当〃〉N时，有I誓!-京£，所以lim等斗=?.

4e2〃+12«-><»2;?+12

(3)1而必也贮=1；

w—>oo/7

分析要使|安逵-4巧/一〃=/，只须〃〉

nn22n£

n(y/n+a+z?)

证明因为VQO己N=S、，当V〃〉N时，有|\?土02-1|<£，所以lim近运=1.

£n②n

(4)lim0.999…9=1.

w—>oo'<'

〃个

分析要使|0.99…9—1|=焉<£,只须焉<£，即n>l+lgl.

证明因为V£>OmN=[l+lg』，当V〃〉N时，有|0.99…9-1|<£,所以

£

lim0.999・・・9=l.

w—>cov'

〃个

4.lim“"=a，证明lim%目a|.并举例说明:如果数歹U｛|x”|｝有极限，但数列｛》”｝未

W—>00W-400

必有极限.

证明因为lim〃“=a,所以VQOJNGN,当〃〉N时，有凡-水/从而

W—>00

\\un\-\a\\<\un-a\<£.

这就证明了lim|""|=|a|.

?7—><»

数列｛晶|｝有极限，但数列｛%"｝未必有极限.例如lim|(-l)"|=l,但lim(-l)"不存

〃一>8W->00

在.

5.设数列｛x〃｝有界，又limy„=0,iE:limxy=0.

“TOOW->00nn

证明因为数列%｝有界，所以存在M使V〃€Z,有％区

又1瓶为=0,所以\/£>0,封€、当”>N吐有从而当〃>N吐有

W—>ocM

尾4―0加/〃区MKI<"•信=£,

所以Iim%y〃=O.

.对于数列若。(左―

6{Xn}948),

证明:X”—>〃(〃->8).

证明因为MATfa(左38),、2#—>。(攵->8),所以V6>0,

小垣,当2hl〉2KLi时，有|物-1-水£；

三七,当242K2时，旬X21a|<£.

取N=max{2K「l,2K2},只要〃〉N,就有％-a|<&

因止匕x„->a(»—>00).

习题1-3

1.根据函数极限的定义证明：

(1)lim(3x-l)=8;

xf3

分析因为

|(3x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,

所以要使|(3x-1)-8|<£，只须|无—3K$.

证明因为V6>0,mS=g£，当0<|x—3|<b时,有

|(3X-1)-8|<£,

所以lim(3x-l)=8.

x->3

(2)lim(5x+2)=12;

xf2

分析因为

|(5x+2)-l2|=|5x-l0|=5|x—2|,

所以要使|(5x+2)-12|<&只须|x-2|<$.

证明因为V£>0JS=3,当0小-2|<3时，有

|(5x+2)-12|<f,

所以lim(5x+2)=12.

xf2

(3)lim号=-4;

x—>—2X+2

分析因为

I景一(一4)卜|七等%》+2"(-2爪

所以要使(-4)|<£，只须|X-(-2)|<£.

证明因为VQOJS=，当0<,一(一2)|<6时,有

制一)卜£，

所以加宾=4

(4)limy9=2.

1—2x+l

X2

分析因为

|kg£,2|=|i-2x-2b2|x-(-i)|

所以要使|与富一21<£，只须

证明因为VQOJ，当0VX—(—f]<3时，有

1-4x3|

2x+l।，

所以limFt=2.

x->-l2x+l

2.根据函数极限的定义证明:

3

(1)lim1+x1.

x->002x32'

分析因为

33

|1±^_1|=|l+x-x|=_1_

I2x32।'2x3।2|x|39

所以要使I翳-3卜£，只须总(£,即团晨.

证明因为VQOJ乂=蠹，当|x|>X时，有

l+x31

l+x31

所以lim=

x->oo"2-

sinx

(2)limn

x->+ooL

分析因为

Isinx_0

罕-0<£，只须<£，即X>-y.

证明因为V6>o,mX=合,当X>X时,有

1联。"€

所以lim用=0.

X—>4-001X

3.当x-2时，尸x2f4.问S等于多少，使当|%-2|<6时,[y-4|<0.001?

解由于当x—>2时，|x-2|->0,故可设卜-2|<1,即l<x<3.

要使

1X2-4|=|X+2||X-2|<5|X-2|<0.001,

只要值一2（<*1=O.OOO2.

取应0.0002,则当0<W一2|<5时，就有|?-4|<0.001.

4.当x->8吐y=与二一1,问X等于多少，使当[x]>X时,『-1|<0.01?

xz+3

解要使I乎卜4^<0.01,只要曲底召=回7,故工=病7.

A十JA十JVU.U1

5.证明函数八丫）=区当x-0时极限为零.

证明因为

|/（x）-O|=||x|-O|=|x|=|x-O|,

所以要使1/（X）-O|<£,只须|x|<£.

因为对Vfi>OJ岸名使当0<|x-0|«5；时有

y（x）-o|=||x|-o|<f,

所以lim|x|=0.

6.求/（x）=7,*）=号当xf0时的左、右极限，并说明它们在xf0时的极限是

否存在.

证明因为

lim/(x)=lim—=lim1=1,

x—>0-x—>0-Xx—>0-

lim/(x)=lim—=lim1=1,

xfo+xfo+XXT0+

hm/(x)=Jn^/(x),

所以极限lim/(x)存在.

x->0

因为

limQ(x)=lim—=lim—=-l

x-^OXf0-Xx-»0-X

lim(p(x)=lim—=lim—=1,

%-o+XTO+xxfo+x

limlim(p{x),

XT。-X70+

所以极限lim°(x)不存在.

x->0

7.证明：若xf+oo及xf-8时，函数/⑺的极限都存在且都等于4则

limJ\x)=A.

X->00

证明因为limf(x)=A,lim/(x)=Z,所以VoO,

Xf-8XT+OO

引GO,使当x<-*时，有麻)-4|<用

三名〉0,使当x>小时，有1/(X)T|<£.

取*=11^{乂入}，则当恸〉X时，有贝X)-4|<£，即limJ\x)=A.

X—>co

8.根据极限的定义证明:函数人x)当xfxo时极限存在的充分必要条件是左极限、右

极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性.设/)7/(xfxo),则VO0己必0,使当0<户祀|<5时，有

\fix}-A\<e.

因止匕当xo—层x<xo和xo<x<xo+b时者B有

师)-/|<£.

这说明儿：)当XTX0时左右极限都存在并且都等于A.

再证明充分性.设./(xo-O)=/(xo+O)=4则V60,

3^>0,使当xo—石<x<xo时，有|危)一4(与

的>0,使当的44()+豆时，有|/(X)T|<£.

取员min{bi,期，则当0<卜-刈<5时，看xo-石<x<xo及xo<x<xo+力从而有

ld<£,

即/(x)—>4(x—>M)).

9.试给出xfoo时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.

解Xf8时函数极限的局部有界性的定理：如果寅X)当Xf8时的极限存在，则存在

X>0及M>Q使当|x|>X时,]

证明设人x)fZ(x-8),则对于小毕的0,当[x|>X时，有火x)T|<al.所以

监)|=a)7+4须x)—4|+⑷<1+⑷.

这就是说存在X〉0及％0,使当|x|>X时，l/(x)|<M其中属1+M].

习题1—4

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解不一定.

例如，当x70时,o(x)=2x,/x)=3x都是无穷小，但lim察,等!不是无穷小.

iop{x)3p(x)

2.根据定义证明：

(1)歹=上二?当％-3时为无穷小；

x+3

⑵产xsiJ当x70时为无穷小.

证明(1)当/3时3=|左，卜|x—3].因为VQOJM与当0<|x—3]<6时，有

1^1=|卫普|卡-3|<b=£,

所以当xf3时为无穷小.

x+3

(2)当收0时3=|R|sinJgx-O|.因为\7GO己人&当0小-0|<5时,有

|,y|=|x||sin—|<|x-O|<^=6,,

x

所以当x—O时y=xsin!为无穷小.

3.根据定义证明:函数歹="为当x->0时的无穷大.问x应满足什么条件，能使

X

M>w4?

证明分析|田=|"|=|2+工2土一2,要使％>M只须=一2〉阳,即因<而」.

IIIIxrxI/

证明因为7朋>09=应3,使当0小-0|<3时，有|星”\>M,

所以当x-0时，函数y=修是无穷大.

取AMOt则旌/港.当0命-01<，运时,M>w4.

4.求下列极限并说明理由:

18X

⑵啊w

解⑴因为红也=2+工而当Xf8时上是无穷小，所以lim至±1=2.

XXXXT8X

⑵因为宫二D而当…时x为无穷小,所以端41.

5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:

加).8X%)->-KO,/(X)->-00

VQO,眸0,使

X—>XQ当0<|x-x()|<3H寸，

有恒]/(X)T|<£.

X—>x()+

X—>Xo-

%>o,mx>o,使当w>x时，

Xf00

有恒|/(x)|>K

尢f+00

X->-00

解

火x)f4<x)foo义x)f+oo为X)T-8

Vfi>O,H^O,使VMM),班0,使V论0口£0,使VM>0,眸0,使

当O<|x-xo|<<SI寸，当0cAxo|<<5H寸，当0<|x-x（）|<<5ll寸，当O<,-xo|<<5n寸，

有恒火X)T1|<&有恒火x)|>M有恒加）〉M有恒加)<-〃.

VQO,眸0,使V止0,睁0,使V%0,眸0,使V陆0,眸0,使

.+

x—>Xo当O<x-xo<^寸，当O<x—xo<（5H寸，当0<x-x（）<施t,当O<x—xo<搦寸，

有恒火工）—4|<&有恒］/（x）|>M有恒/（x）〉M有恒./（x）<-M

Vfi>0,3^0,使V孙0己立0,使V心0曲0,使V%0,协0,使

X->Xo-当0<x（）-x<<5n寸，当O<xo-x<^t,当O<xo-x<冽寸，当0<x（）_x<<5n寸，

有恒火X）必|<£有恒麻）|〉M有恒｛x）〉M有恒｛x）<-M

"0,小0,使"0,犯0,使VQO,王bO,使V£>0,3A>0,使

X一8当|x|>X时，有恒当恸〉X时，有恒当|x|>X时，有恒当恸〉X时，有恒

\f{x)-A\<£.Xx）>MAx）<~M.

Vfi>0,i¥>0,使VQO,少>0,使Vi>0,3A>0,®VQO,少>0,使

xf+8当X>xnt有恒当x〉X时，有恒当x〉X时，有恒当x>X时，有恒

\/[X)-A\<£.网1>〃Ax>M.

"0,小0,使V£>0,3A>0,使V£>0,3A>0,使V£>0,3^0,使

Xf-00当x<-X时，有恒当x<-X时，有恒当x<-X时，有恒当次-X时,有恒

\f{x)-A\<£.mi>M.氏x)>M.

6.函数尸COSX在(-8,+8)内是否有界？这个函数是否为当Xf+8时的无穷大？

为什么？

解函数产XCOSX在(-00,+00)内无界.

这是因为VA/〉O,在(-8,+8)内总能找到这样的x,使得［y(x)|〉M例如

yQk力=2k兀cos2km2k兀(k=0,1,2,…)，

当k充分大时，就旬y(2左砌〉M

当Xf+oo时,函藏尸XC0SX不是无穷大.

这是因为VMSO,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的X,都有欣x)|〉M

例如

M24万+5)=(2左7+5)cos(2左1+5)=0(左=0,1,2,-),

对任何大的N,当k充分大时，总有x=2版'+5>N,但［y(x)l=0<M

7.证明:函数片Lin^在区间(0,1］上无界，但这函数不是当x70+时的无穷大.

XX

证明函数片在区间(0周上无界.这是因为

V朋SO,在(0,1］中总可以找到点使Mx。〉"例如当

4=一一(D,1,2,…)

2k/r+-

2

时，有

y(Xk)=2k兀,

当k充分大时,y(x/〉M

当x10+时,函数尸Lii不是无穷大.这是因为

XX

V论0,对所有的ao,总可以找到这样的点使0<Q<a但y(/)<M例如可取

々=.(旌0,1，2,…)，

2k兀

当k充分大时也<a但V(XA)=2Z;zsin2A々0<Af

习题1-5

1.计算下列极限：

⑴li呼瞥；

XT2X-3

解隔。=头=-9.

12x-32-3

2

⑵如曷v;

解%黑

⑶*#产；

解强舍明尚磊刊啧H=o-

(4)1加以.2/+工

J3X2+2X

解4x3-2x2+x

lim=lim4A-^-2X+1=1

io3x2+2xx->o3x+22

(x+h)2-x2

⑸修

h

解Hm(x+*'=lim"+2"+*-，=iim(2x+0)=2x.

。-»ohgoh〃->o

(6)lim(2--+^2);

x->8xx，

解lim(2--+4r)=2-lim-+lim4r=2.

X-XX>XXZXT8XXT8X2

x2-l

(7)lim

XT82x2-x-l

⑻」粤年T

2

解lim户:手，=0（分子次数低于分母次数,极限为零）.

XT8X,一3廿一1

x+x

或lim产+?=lim£=0.

Xf0cx4—3%2-]X78]__2___1

手一彳

一6x+8.

⑼喏一5x+4'

Hm率6x+8=M手-沪？=】而号督4•

-v^4x2—5x+4Xf4(x—l)(x—4)Xf4X—14—13

(10)lim(l+i)(2—V);

XT8XX

解lim(l+-)(2-4r)=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.

X->00XXZx->8Xx->ooxz

(11)lim(l+[+J+…+')；

w-»oo242〃

解lim(l+^+4+••■+—)=Hm—=2.

«->oov242〃i1

1-2

l+2+3d---F(〃-1)

(12)hm------z-L--；

W—>00n

(〃一1)〃

/f-n「1+2+3+…+(〃-1)「21rA7—11

角阜hm-------z--——L=iim-气-=±hm.

〃->8〃―>002W->00Yl2

(13)lim(〃+l)("+?(〃+3)

…5〃3

解lim("+D”?(〃+3=3(分子与分母的次数相同,极限为

最高次项系数之比).

或Hm(»+1)(»+2)(»+3)=1iim(1+l)(1+2)(1+3)=l

7?->005w—>00Y\RYl5

(14)lim(_L_3);

Il1-X1一炉

解出±-i5)=四;靠^3厂即需案3)

=-limx+2_]

%->11+x+x2

2.计算下列极限：

⑴啊谒

解因为lim牛|4=2=0,所以lim业率=8.

12炉+2工216x-»2(x-2)2

Y2

(2);

XT82x+l

丫2

解lim-^-=oo(因为分子次数高于分母次数).

x->oo2x4-1

(3)lim(2x3-4x+l).

X->00

解lim(2y3_x+l)=8(因为分子次数高于分母次数).

X->00

3.计算下列极限：

(1)limx2sin—;

xfOx

解limx2sin1=0(当xf0时*是无穷小，而sin1是有界变量).

x->0XX

⑵lim箜皿.

v->oox

解limarctanx=1而Larctanx=O(当x—>8时J是无穷小，

xf8xx-»8Xx

而arctanx是有界变量).

4.证明本节定理3中的(2).

习题1-6

1.计算下列极限:

(l)limsin^;

xrOx

解lim酗处=&lim迎"="

x-»OXx—OOK

⑵[im典逛;

x—OX

tan3xsin3x.l

解lim=31im=3

x->oxa。3xcos3x

(3)lim吟;

x—osin5x

解㈣磊=吧si2n…2x5旧x2525

(4)limxcotx;

x->0

解limxcotx=lim-7^-cosx=lim-^-limcosx=l.

x->oxrOsmxx->osinxx-»o

(5)limk£os2x;

Dxsinx

解1加上”迎=1沁上等区=1而细口=21加(血)2=2.

x->0xsinxX->OX2XT。X2-V->Ox'

或1沛上空迎=1面空丘=21im血=2.

xfoxsinxxfoxsinxxfox

(6)lim2〃sin今(x为不等于零的常数).

sin—

解lim2nsin—=lim—^・x=x.

nTs2"8X

F

2.计算下列极限：

\_

x->0

士(-1)

解lim(l-x)x=lim[l+(-x)](_x)={lim[l+(-x)]("^}-1=e"1

1

⑵呵(1+2/;

X—0

1J_2J_

解lim(l+2xA=lim(l+2x)三=[lim(l+2x)^]2=e2.

x->0.v->0xf0

⑶lim(l±42x；

18X

解lim(归B)2x=[lim(l+L)x]2=e2

x->8XX->00X

(4)lim(1」产/为正整数).

x->oox

解lim(1-1)^=lim(1+-^)(T)F)=e-«

X->00Xx->oo-X

3.根据函数极限的定义,证明极限存在的准则r.

证明仅对XfXO的情形加以证明.

设£为任一给定的正数，由于limg(x)=Z,故由定义知，对£>0,存在31〉0,使

XTX0

得当0<|>劭|<在时，恒有庾)-川<£,即

A-£<g(X)<A+£.

由于lim/z(x)=J,故由定义知，对£>0,存在近>0,使得当0cA劭|<而时，恒有

\h(x)-A\<£,即

A-£<h(x)<A+£.

取应min{bi,历},则当O<«-Xo|〈例寸，

A-£<g(x)<A+£^A-£<h(x)<A+£

同时成立，又因为

g(x)^/(x)</?(x),

所以A-£<f^X)<A+£,

即阿-/|<£,

因此lim/(x)=Z.

XfXo

证明仅对XfX。的情形加以证明.

因为

limg(x)=A,limh(x)=A,

XTX°X—

所以对任一给定的£>0,存在必0,使得当O<|x—xo|<加寸，恒有

\g(x)-A\<£R\h(j^-A\<£,

即A-£<g(x)<A+sRA-e<h(x)<A+s.

又因为g(x)g(x)W〃(x),

所以A-£<f(x)<A+£,

即\f{x)-A\<£,

因此lim/(x)=J.

4.利用极限存在准则证明：

⑴limQ=l;

证明因为1<151<1+工，

vnn

而1/1=1且1旧(1+1)=1,

cow—>oo77

由极限存在准则I,lim、Q=l.

〃TQOV〃

⑵]im)=1；

〃一>8〃/+24+〃乃

证明因为

〃211,,1、/〃2

------<-----1--7~~-1----1--5--------)<~~5---，

n-\-n7in+7i〃乙+21〃'+〃乃〃/+九

22

而lim-^---=1,lim——=1,

所以lim。一+丁]・+…—)=1.

(3)数列啦,)2+&,12+亚章,…的极限存在;

证明X]=，,x”+]=j2+x”(〃=1,2,3,…).

先证明数列｛x〃｝有界.

当〃=1时w=痣<2，假定〃=左时x*<2,则当〃="+1时，

Xk+i=j2+x%<-2+2=2,

所以x“<2(〃=l,2,3,…b即数歹(J｛/｝有界.

再证明数列单调增.因为

_不_2+x“一瘾_—(.x„—2)(xw+l)

J2+X.+X”J2+x”+x”

而为；-2<0/"+1>0,所以X"+|—X">0,即数歹I」｛%｝单调增.

因为数列｛x“｝单调增加有上界，所以此数列是有极限的.

(4)lim^/i+x=l;

xf0

证明当|x区1时，则有

l+X<14-|x|<(l+|x|)W,

1+x>1—|x|>(l-|x|)w,

从而有1-|X|<A/1+X<1+|X|.

因为lim(l-|x|)=lim(14-|x|)=l,

x-»0x->0

根据夹逼准则，有

lim购+x=l.

XT0

(5)limM：]=L

x-»0+

证明因为1〈山△，所以l—x<M占ML

XXXX

又因为lim(l-x)=lim又1,根据夹逼准则，有limA(-]=1.

x->0+x->0+10+X

习题1-7

1.当Xf0时,2r-x2与x2-x3相比，哪一个是高阶无穷小?

232

解因为limF==limP=0,

^->o2x-x2-o2-x

所以当x.0时J是高阶无穷小，即X2-X3^O(2X-X2).

2.当xf1时，无穷小1-x和(1)1-只(2)；(1-7)是否同阶？是否等价?

解(1)因为=lim』叫+x+x)=[而(1+彳+/)=3,

1-xHl-xx-»l

所以当Xf1时，1-x和l-d是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.

-y(l-X2).

(2)因为lim^-------=glim(l+x)=l,

x—>11-X2x—>1

所以当Xf1时，l-x和4(i)是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.

3.证明：当x―0时，有：

(1)arctanx〜x;

v-2

(2)secx-1〜-.

证明(1)因为limCretanx=]jm-)=1(提示:令”=arctanx,则当xf0时,y-0),

x—oxy->0tany

所以当x-0时，arctanx-x.

ii2sin2g2sing

(2)因为limse^-1=21im1~cosx=limlim(——=1,

XTO1丫2x->0X2COSX戈->0X2X

2T2

v2

所以当xf0时,secx-1〜-—・

4,利用等价无穷小的性质，求下列极限:

tan3x.

⑴蚂2x9

⑵㈣需系(凡加为正整数);

tanx-sinx

⑶㈣sin,x

(4)lim------s-inx-ta---n--x----.

7劭+N-l)(Vl+sinx-l)

解⑴㈣噌=㈣亲?

1n=m

⑵㈣"!衅』0n>m.

00n<m

.■sinx(-----1),-^x2i

tanxsinxcos

(3)lim~=ijm-----c^x,---=1加一-^---=—.

-v-»osin'xx—osin、A->Ocosxsin^xA-^O%2COSX2

(4)因为

sinx-tanx=tanx(cosx-l)=-2tanxsin2^-~-2x-(^)2=-^-x3(x—>0),

31+x2_]=/x----(x-0),

#(1+.2)2+Vl+x2+13

Vl+sinx—1=「sin工-----sinx〜x(x—>0),

Vl+sinx+1

_X%3

所以hmsinx-.Xdm2_3

^°(V1+X2-l)(Vl+sinx-l)Xf°，x2.x

5.证明无穷小的等价关系具有下列性质：

(1)。〜a(自反性)；

(2)若a〜B，则上0(对称性)；

(3)若a~p,(i~y,则a〜乂传递性).

证明(1)lim2=1,所以a~a;

a

(2)若a〜/3,则lim3=l,从而lim2=l.因此后a;

pa

(3)若a〜以分％lima=lim2」im,=l.因此a~y.

YYP

习题1-8

1.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形：

//、1炉O<X<1

⑴/叫2Tly2；

解已知多项式函数是连续函数，所以函数/(X)在［0,1)和(1,2］内是连续的.

在％=1处,因为川)=1,并且

lim/(x)=limx2=l,lim/(x)=lim(2-x)=l.

Xfi-X->1+X->1+

所以lim/(x)=l,从而函数/(x)在x=l处是连续的.

X->1

综上所述，函数｛x)在［0,2］上是连续函数.

⑵.&)=｛：