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文档简介
目录
基本不等式......................................................................2
考点1:常规基本不等式问题.........................................2
考点2:基本不等式易错点..........................................3
考点3:基本不等式常见变形.........................................5
课后作业:....................................................................9
专题04基本不等式
基本不等式
1.均值定理:如果。,beR(R+表示正实数),那么巴助力而,当且仅当时,有
2
等号成立.
此结论又称均值不等式或基本不等式.
2.均值不等式推广:疯占名,其中而W需要前提条件“,beR+.
2Y22
管叫做。,b的算术平均值,而叫做。,b的几何平均值,叫做平方平均值.
3.可以认为基本元素为断,a+b,a2+b\其中任意一个为定值,都可以求其它两个的最
值.
考点1:常规基本不等式问题
例1.(1)已知%>0,则8%+'■的最小值为()
2x
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:;X>0,/.8x+—..zjsx.—=4
2xv2%
当且仅当8x=2即x=工时取等号,
2x4
故选:C.
3
(2)已知0〈九v《,则x(3—5元)取最大值时工的值为()
399
A.—B.—C.—D.
101052
3
【解答】解:0<x<|,
则式3—5x)=」x5M3—5工)„-x(^+3-5-)2=—,
55220
3
当且仅当5x=3-5x即x=士时取最大值
10
故选:A.
9
(3)已知函数y=x—4d-------(x>-1),当无二〃时,y取得最小值贝!]2。+36等于(
x+1
)
A.9B.7C.5D.3
【解答]解:x>T,,x+l>0,
99
y=x-4H-------=x+1H-----------5
犬+1x+1
..2Alx+1»--------5
Vx+1
=1,
9
当且仅当x+1=上,即x=2时取等号,
x+1
二y取得最小值b=l,此时x=a=2,
二.2a+3b=7.
故选:B.
考点2:基本不等式易错点
贝“二一+国的最小值是(
例2.(1)已知x+y=l,y>0,)
2|x|y+i
35
ABC.D.
-I-(44
【解答】解:由%+y=l,y>0得y=l—x〉0,
解得x<1且x。0,
①当0<x<l时,_1_+里」+上,
2\x\y+12xy+\
=-1-1---x=-x-+-2---x-1--x-,
2x2-x4x2-x
12-xx115
=一+(----+----x--+2x—=—,
44x2-x424
当且仅当人王-即x=2时取等号;
4x2—x3
1|x|1X
②当x<0时,r
2\x\y+12xy+1
1x2-x+x-x12-x-x、1,3
=-(z——+------x)=-----------+--------=——+(------+-------)...——+1=-
2x2—x-4x2—x4—4x2—x44
当且仅当七三=二上即x=-2时取等号.
—4x2,—x
综上可得,最小值士3
4
故选:C.
(2)已知。,be(0,+8),则下列不等式中不成立的是()
A.a+b—7^^..2^/5B.(♦+/?)(—I—)..4
y/abab
C.£^£..2疝D.^->4ab
yjaba+b
【解答】解:;〃,be(0,+oo);
:,Aa+b.・2&,当a=〃时取“=”;
2y[ab+J—..2^/2,当ab=’时取"=
4ab2
a+b+}—^,y[ab+2^/5,当a=h=时取"=
yJabyjab2
・..该不等式成立;
B.a+b..24ab,当a=5时取“=”;
1+1..2;当时取“=”;
aby/ab
(“+»(▲+!)..4,当a=6时取“=”;
ab
该不等式成立;
C.4+/A.2ab,当。〃时取"=";
.竿=2岚,当a=6时取"=";
Yaby/ab
•••该不等式成立;
D.a+b..24ab,当a=Z?时取“=”;
•••---1------1;
a+b2y[ab
:.4^b,当。=6时取“=”;
a+b
该不等式不成立.
故选:D.
考点3:基本不等式常见变形
272
例3.已知8<”0,且而=1,则巴士幺取得最小值时,。+匕等于()
a-b
A.-710B.-46C.-73D.-72
【解答】解:ab=l
a2+b2{a-bf+2ab(a-b)2+21,、2
---------=-------------------=---------------=(a-b)-\---------
a—ba—ba—ba—b
b<a<0
:.匚或..2应(当且仅当a-b=/—)
a-ba-b
72
即且±2取得最小值时,满足<a—b=------
a-b
a-b
ab=l
..(a+b)2=(a—bp+4ab=6
b<a<0
:.a+b=—
故选:B.
例4.(1)已知正数a,8满足而=a+Z?+3,则〃。的最小值是()
A.9B.10C.11D.12
【解答】解:正数a,}满足质=。+"3,
..ab=a+b+3..2y[ab+3,
:.y/ab..3,:.ab..9,
当且仅当〃=b=3时取等号,
二.而的最小值为9.
故选:A.
(2)已知%>0,y>。,且4—+/+2%+y=6,贝!12九+y最大值是
【解答】解:4x2+y2..(2x+y)2,
2
6=4x2+y1+2.x+y...(2苫;))2y,
+x+
令2x+y=f>0,上式化为产+2r—12,0,解得0</,,而一1.
的最大值即2x+y最大值是履-1.
故答案为:^/13—1.
(3)若实数X,,满足―+y2+孙=],则X+y的最大值是()
A.6B.4C.空D.-
33
【解答】解:,实数x,y满足尤,+9+孙=1,即(尤+y)2=l+孙.
再由。号R可得+初,1+(号广
解得(X+y)2,,g,
>+y―,故x+y的最大值为久1,
333
故选:C.
例5.(1)已知a>0,b>0,4a+b=2,则工+工的最小值是()
ab
9
A.4B.-C.5D.9
2
【解答】解:a>0,b>0,4Q+〃=2,
11111、“7、
-+-=-(-+-)(4a+b)
ab2ab
ab33
故选:B.
(2)若正数x,y满足3x+y=5孙,则4x+3y的最小值是()
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:一正数x,y满足3x+y=5孙,
.3x+y_31_
..----------1----1j
5xy5y5x
31
.14x+3y=(4尤+3y)(—+—)
jy5x
1312x3y13。12x3y<
——+——+——+2——=5
55y5x5'5y5x
当且仅当出=电即%=」且y=l时取等号,
5y5x2
4x+3y的最小值是5
故选:D.
例6.(1)设1>0,y>0,且%2+g_=l,求xJl+3?的最大值.
2
[解答]解:尤>0,y>0,且炉+匕=1,
2
xJ1+/=+y2
血(A/2X)2+(7TT7)2
,,――*T
22
—夜2%2+/+1
=—•----------
22
V22+13A/2
=—•---=----
224
当且仅当缶=炉手即》=曰且>=乎时取等号,
.•“加产的最大值为手
(2)设贝。/+1_+_1—的最小值是()
aba(a-Z?)
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:+—d------------ab+—+a(a-Z?)H------------..4
aba(a-b)aba(a-b)
,1
ab=—
当且仅当ab]取等号
a(a-b)=----------
a(a-b)
a=A/2
2
cr+—+---的最小值为4
aba(a—b)
故选:D.
例7.设正实数x,y,z满足f_3孙+4V-z=0.则当现取得最大值时,2+工-2的最
zxyz
大值为()
9
A.0B.1C.-D.3
【解答】解:,x2-3xy+4y2-z=0,
z=x2-3xy+4y2,又x,y,z均为正实数,
xy_xy_11
(当且仅当x=2y时取"=)-
z孙+4、1+”―3"2fz
yXNyx
(当小=1,此时,x=2,
z
/.z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3x2yxy+4y2=2y2,
7171111
/.-+---=-+--4=-(--l)2+l,,b当且仅当y=l时取得“=”,满足题意.
%Vzyyyy
±2+工1一42的最大值为i.
xyz
故选:B.
f+5
例&(1)函数/(x)=兴工(xeR)的最小值为()
y/x2+4
A.2B.3C.2&D.2.5
【解答】解:令公Jd+4g.2),贝Uy=r+1在[2,+oo)上单调递增,
2
:.t=2,即x=0,函数/(x)=今Y+』5(xeR)的最小值为2.5,
故选:D.
(2)已知%>工,则函数为=一+"+1的最小值为
22x-l
【解答]解:>-,/.2x-l>0,
x2
,「』+]」(21)2+口―1)+;
17
二—(2x—1)+-------+1.
’2x-l2x—l44(21)
当且仅当!(2元-1)=--一,即x=匕且时取得最小值.
44(21)2
故答案为:—+i.
2
(3)函数)=正包的最大值为
2x+5
【解答】解:设”77适,
贝!]*=产-2,(f>0)
当且仅当/=交时取最值.
2
.11—夜
2t2+-2垃4
t
一为丁
即原函数的最大值为变.
4
故答案为包.
4
课后作业:
1.若a>0,b>0,—+—=2,则a+4〃的最小值为()
ab
97
A.-B.4C.-D.3
22
【解答】解:因为a>0,b>0,-+-=2,
ab
11114/7r?19
贝i」a+4b=(a+4b)(—+—)x—=—(——+—+5)..L(4+5)=—,
ab22ab22
当且仅当竺=@且!+J_=2,即4=3,6=3时取等号.
abab24
故选:A.
2.已知加,neR,m2+H2=100,则机九的最大值是()
A.100B.50C.20D.10
【解答】解:由/+/=100,可得:100..2加几,解得m/i;,50,当且仅当加=〃=±5^/5时
取等号.
则mn的最大值是50.
故选:B.
3.实数x,y,x>-l9且满足砂+y=-%+3,则x+y的最小值是()
A.1B.0
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