基本不等式（解析版）-教案课件-人教版高中数学必修第一册

目录

基本不等式......................................................................2

考点1:常规基本不等式问题.........................................2

考点2:基本不等式易错点..........................................3

考点3:基本不等式常见变形.........................................5

课后作业：....................................................................9

专题04基本不等式

基本不等式

1.均值定理：如果。，beR（R+表示正实数），那么巴助力而，当且仅当时，有

2

等号成立.

此结论又称均值不等式或基本不等式.

2.均值不等式推广：疯占名，其中而W需要前提条件“，beR+.

2Y22

管叫做。，b的算术平均值，而叫做。，b的几何平均值，叫做平方平均值.

3.可以认为基本元素为断，a+b,a2+b\其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最

值.

考点1：常规基本不等式问题

例1.（1）已知%>0,则8%+'■的最小值为（）

2x

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：；X>0,/.8x+—..zjsx.—=4

2xv2%

当且仅当8x=2即x=工时取等号，

2x4

故选：C.

3

（2）已知0〈九v《，则x（3—5元）取最大值时工的值为（)

399

A.—B.—C.—D.

101052

3

【解答】解：0<x<|,

则式3—5x）=」x5M3—5工）„-x（^+3-5-）2=—,

55220

3

当且仅当5x=3-5x即x=士时取最大值

10

故选：A.

9

(3)已知函数y=x—4d-------(x>-1),当无二〃时，y取得最小值贝！］2。+36等于(

x+1

)

A.9B.7C.5D.3

【解答］解：x>T,，x+l>0,

99

y=x-4H-------=x+1H-----------5

犬+1x+1

..2Alx+1»--------5

Vx+1

=1,

9

当且仅当x+1=上，即x=2时取等号，

x+1

二y取得最小值b=l,此时x=a=2,

二.2a+3b=7.

故选：B.

考点2:基本不等式易错点

贝“二一+国的最小值是(

例2.(1)已知x+y=l,y>0,)

2|x|y+i

35

ABC.D.

-I-(44

【解答】解：由％+y=l,y>0得y=l—x〉0,

解得x<1且x。0,

①当0<x<l时，_1_+里」+上,

2\x\y+12xy+\

=-1-1---x=-x-+-2---x-1--x-,

2x2-x4x2-x

12-xx115

=一+(----+----x--+2x—=—,

44x2-x424

当且仅当人王-即x=2时取等号；

4x2—x3

1|x|1X

②当x<0时,r

2\x\y+12xy+1

1x2-x+x-x12-x-x、1,3

=-(z——+------x)=-----------+--------=——+(------+-------)...——+1=-

2x2—x-4x2—x4—4x2—x44

当且仅当七三=二上即x=-2时取等号.

—4x2,—x

综上可得，最小值士3

4

故选：C.

(2)已知。，be(0,+8),则下列不等式中不成立的是()

A.a+b—7^^..2^/5B.(♦+/?)(—I—)..4

y/abab

C.£^£..2疝D.^->4ab

yjaba+b

【解答】解：；〃，be(0,+oo)；

:,Aa+b.・2&,当a=〃时取“=”；

2y[ab+J—..2^/2,当ab=’时取"=

4ab2

a+b+}—^,y[ab+2^/5,当a=h=时取"=

yJabyjab2

・..该不等式成立；

B.a+b..24ab,当a=5时取“=”；

1+1..2；当时取“=”；

aby/ab

(“+»(▲+!)..4,当a=6时取“=”；

ab

该不等式成立；

C.4+/A.2ab,当。〃时取"=";

.竿=2岚,当a=6时取"="；

Yaby/ab

•••该不等式成立；

D.a+b..24ab,当a=Z?时取“=”；

•••---1------1;

a+b2y[ab

：.4^b,当。=6时取“=”；

a+b

该不等式不成立.

故选：D.

考点3：基本不等式常见变形

272

例3.已知8<”0,且而=1,则巴士幺取得最小值时，。+匕等于()

a-b

A.-710B.-46C.-73D.-72

【解答】解：ab=l

a2+b2{a-bf+2ab(a-b)2+21,、2

---------=-------------------=---------------=(a-b)-\---------

a—ba—ba—ba—b

b<a<0

:.匚或..2应(当且仅当a-b=/—)

a-ba-b

72

即且±2取得最小值时，满足<a—b=------

a-b

a-b

ab=l

..(a+b)2=(a—bp+4ab=6

b<a<0

:.a+b=—

故选：B.

例4.(1)已知正数a,8满足而=a+Z?+3,则〃。的最小值是()

A.9B.10C.11D.12

【解答】解：正数a，}满足质=。+"3,

..ab=a+b+3..2y[ab+3，

：.y/ab..3，：.ab..9，

当且仅当〃=b=3时取等号，

二.而的最小值为9.

故选：A.

（2）已知%>0,y>。，且4—+/+2%+y=6,贝!12九+y最大值是

【解答】解：4x2+y2..（2x+y）2,

2

6=4x2+y1+2.x+y...（2苫；））2y,

+x+

令2x+y=f>0,上式化为产+2r—12,0,解得0</,,而一1.

的最大值即2x+y最大值是履-1.

故答案为：^/13—1.

（3）若实数X，，满足―+y2+孙=],则X+y的最大值是（）

A.6B.4C.空D.-

33

【解答】解：，实数x,y满足尤,+9+孙=1,即（尤+y）2=l+孙.

再由。号R可得+初,1+(号广

解得(X+y)2,,g,

>+y―,故x+y的最大值为久1,

333

故选：C.

例5.(1)已知a>0,b>0,4a+b=2,则工+工的最小值是()

ab

9

A.4B.-C.5D.9

2

【解答】解：a>0,b>0,4Q+〃=2,

11111、“7、

-+-=-(-+-)(4a+b)

ab2ab

ab33

故选：B.

(2)若正数x,y满足3x+y=5孙，则4x+3y的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：一正数x,y满足3x+y=5孙，

.3x+y_31_

..----------1----1j

5xy5y5x

31

.14x+3y=(4尤+3y)(—+—)

jy5x

1312x3y13。12x3y<

——+——+——+2——=5

55y5x5'5y5x

当且仅当出=电即％=」且y=l时取等号,

5y5x2

4x+3y的最小值是5

故选：D.

例6.(1)设1>0,y>0，且％2+g_=l,求xJl+3?的最大值.

2

［解答］解：尤>0,y>0，且炉+匕=1,

2

xJ1+/=+y2

血(A/2X)2+(7TT7)2

，，――*T

22

—夜2%2+/+1

=—•----------

22

V22+13A/2

=—•---=----

224

当且仅当缶=炉手即》=曰且>=乎时取等号，

.•“加产的最大值为手

(2)设贝。/+1_+_1—的最小值是()

aba(a-Z?)

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：+—d------------ab+—+a(a-Z?)H------------..4

aba(a-b)aba(a-b)

，1

ab=—

当且仅当ab］取等号

a(a-b)=----------

a(a-b)

a=A/2

2

cr+—+---的最小值为4

aba(a—b)

故选：D.

例7.设正实数x,y,z满足f_3孙+4V-z=0.则当现取得最大值时，2+工-2的最

zxyz

大值为()

9

A.0B.1C.-D.3

【解答】解：,x2-3xy+4y2-z=0,

z=x2-3xy+4y2,又x,y,z均为正实数,

xy_xy_11

(当且仅当x=2y时取"=)-

z孙+4、1+”―3"2fz

yXNyx

(当小=1，此时，x=2,

z

/.z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3x2yxy+4y2=2y2,

7171111

/.-+---=-+--4=-(--l)2+l,,b当且仅当y=l时取得“=”，满足题意.

%Vzyyyy

±2+工1一42的最大值为i.

xyz

故选：B.

f+5

例&(1)函数/(x)=兴工(xeR)的最小值为()

y/x2+4

A.2B.3C.2&D.2.5

【解答】解：令公Jd+4g.2),贝Uy=r+1在［2,+oo)上单调递增,

2

:.t=2,即x=0,函数/(x)=今Y+』5(xeR)的最小值为2.5,

故选：D.

(2)已知%>工，则函数为=一+"+1的最小值为

22x-l

【解答］解：>-,/.2x-l>0,

x2

,「』+］」(21)2+口―1)+；

17

二—(2x—1)+-------+1.

’2x-l2x—l44(21)

当且仅当!(2元-1)=--一，即x=匕且时取得最小值.

44(21)2

故答案为：—+i.

2

(3)函数)=正包的最大值为

2x+5

【解答】解：设”77适,

贝!]*=产-2,(f>0)

当且仅当/=交时取最值.

2

.11—夜

2t2+-2垃4

t

一为丁

即原函数的最大值为变.

4

故答案为包.

4

课后作业:

1.若a>0,b>0,—+—=2,则a+4〃的最小值为()

ab

97

A.-B.4C.-D.3

22

【解答】解：因为a>0,b>0,-+-=2,

ab

11114/7r?19

贝i」a+4b=(a+4b)(—+—)x—=—(——+—+5)..L(4+5)=—,

ab22ab22

当且仅当竺=@且!+J_=2,即4=3,6=3时取等号.

abab24

故选：A.

2.已知加，neR,m2+H2=100,则机九的最大值是()

A.100B.50C.20D.10

【解答】解：由/+/=100,可得：100..2加几，解得m/i;,50,当且仅当加=〃=±5^/5时

取等号.

则mn的最大值是50.

故选：B.

3.实数x,y,x>-l9且满足砂+y=-%+3,则x+y的最小值是（)

A.1B.0