因式分解-(七)学

第七讲因式分解

一、基础知识

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这

个多项式分解因式。分解因式最基本方法有：

(1)提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。

(2)运用公式法：

平方差：a2-b2-(a+b)(a-b)

完全平方：a2±2ab+b2-(a+b)2

立方和：ci3+b^—(a+—ab+Z?2)

立方差：a3-b3-{a-b){cr+ab+b2)

a2+b?+c~+2ab+2ac+2bc—(a+。+c)-

ci+b+—3abe—(a+b+c)(a?+投+c~—cib—be—ac)

(3)分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或

者可以用公式，这就是分组分解法。

(4)十字相乘法：一个二次三项式af+bx+c,若可以分解，则一定可以写成

(qx+q)(4计切的形式，它的系数可以写成［乂。，十字相乘法就是用试验的方法找

出十字线两端的数，其实就是分解系数a,b,c,使得：

"i02—a

℃=c

+a2cl-b

(5)双十字相乘法：对于某些二元二次六项式以2+匕孙+02+公+冲+/可以看作

22

关于x的多项式ax+(by+d)x+(cy+ey+f),先用十字相乘法将“常数项"cy?+ey+f

分解，再次利用十字相乘法将关于x的二次三项式分解。

(6)换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母代替

它，从而简化运算过程，分解以后要注意将新字母还原。

(7)待定系数法：若能断定多项式可分解为某几个因式，而这几个因式中的某些系数

尚未确定，就可以用一些字母来表示待定的系数。将这几个因式相乘以后，与多项式的系数

进行比较，就可以求出待定的系数

分解因式的步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式,

再看能否直接运用公式或十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其他方法。

注意事项：分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，结果一定是

乘积的形式，每一个因式都是整式，相同的因式的积要写成幕的形式。

二、典型例题

基础题(提公因式、十字相乘、基本公式)

例1.a3c一4/Z?c+4ab2c

例8.3a2—7a—6

例2.9a之-4b2+4bc-c2

例9.3X2-8X-3

例3.

例10.5X2+12X-9

例4.6ax2-9a2xy+2xy-3ay2

例11.X4+7X2-30

例5.a~(x-y)+b2(y-x)

例12.已知15/一47孙+28V=0,求

例6.X2+4y之-4xy-1

x

V的值

例7.(x+y)(x-y)+4(y—l)

提高题：（双十字相乘、换元法、待定系数

法）

例13.分解因式(f+5x+2)(x2+5x+3)-12

例14.分解因式(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+-

例15.分解因式(a—b)4+(a+b)4—(1—"下

双十字相乘法例题：

例16.分解因式3x?+4孙-4/+8x-8y-3

例17.分解因式必-y?-2x-4y-3

例18.分解因式2/-7q+6/+2x-y-12

例19.待定系数法分解因式2必—7孙+6y2+2x—y—12

例20.多项式x(x+l)(x+2)(x+3)+。恰好能够分解成两个二次整式的乘积(其中二次项

系数均为1,且一次项系数相同)，则p的最大值是多少？

例21.多项式12--10孙+2y2+llx-5y+机可以分解成两个一次因式的乘积，求m的

值。

三、课后练习题

1、如果多项式/+乙+!是一个完全平方式，那么k的值是

9

2、已知尤2+公一6可分解为两个一次因式的积，且a<0,则a的值为:

3、如果100/-加+49y2是一个完全平方式，那么k等于

4、将下列各式分解因式：

(1)2x2y-(xy+3y)

6.用双十字相乘法分解：

(2)x2-4y2-9z2-12yz4x2+2xy-2y2+4犬+7y-3

(3)%5+%4+x3+%2+x+1

7.用待定系数法分解：

(4)27X2-33X-202元之+3盯一9y2+14x-3y+20

5.用双十字相乘