高中数学立体几何：空间距离的各种计算(含答案)

中学数学立体几何空间距离

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂

线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

3.直线与平面的距离

假如一条直线和一个平面平行，则直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上随意一点

到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.

4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公

垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】如图，在空间四边形中，，E、尸分别是、的中点.

(1)求证：是和的公垂线；

(2)求和间的距离；

【规范解答】(1)证明：连结，，由已知可得.

又因为，所以_L交于后

例1题图

同理1•交于点F.

所以是和的公垂线.

⑵在△中，^-a-a,

22

所以222/心即旦

22

由(1)知是、的公垂线段，所以和间的距离为克

2

【例2】如图，正四面体的棱长为1,求异面直线、之间的距离.

设中点为反连、.

例2题图

同理_L.

，J_平面.设的中点为£连，则L

同理可证，....是异面直线、的距离.

•••、的距离是走.

【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）假如两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的

距离.

（3）假如两条异面直线分别在两个相互平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例3】如图⑴，正四面体的棱长为1,求：/到平面的距离；/\

过/作，平面于。，连并延长与相交于£,连.^厂/

*0是△的外心.又==,例3题图

二。是△的中心，

逅力到平面的距离是逅.

又=1,且N90°,>JAB2-BO

【例4】在梯形中〃，N53a且/乎，又_1平面，

求：（1）二面角-一力的大小；（2）点力到平面的距离.

【规范解答】（1）作，于£连结，

•.•，平面，，，_L,

/.N就是二面角P——A的平面角.

在△中，Z90°,/也3a,当，

5V5

在△中/曳=越=立，.•./月.

AF3a33

（2）、•，平面，又，,

J_平面，作_L,则_L,_L平面，•••_L,

【例5】如图，所示的多面体是由底面为的长方体被截面F所截面而得到的，其中4,2,产3,

1.(I)求的长；(II)求点C到平面F的距离.

解法1：(I)过E作交।于H,则1,,且.

'：//„,

..zzcl.

A12.BF=-JBD2+DF2=2瓜

(ID延长CE与交于G,连，

则平面F与平面相交于.

过C作，，垂足为M,连GM,

由三垂线定理可知J_CM由于上面弓，

且u面F,所以平面面G.

在△GCM中，作J_”垂足为Q,则的长即为C到面F的距离.

解法2：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(2,4,0),

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C(0,4,3).设F(0,0,z).

V,F为手行四边形，

()设〃।为面F的法向量，显然不垂直于平面故可设=(x,y,l)

又CG=(0,0,3)，设CC［与"］的夹角为a,则cosa=岂1nl—=皿至.

ICC.I.IMJ33

AC到平面F的距离为d=|西|cose=3x=士咨.

【例6】正三棱柱ABC-A冏G的底面边长为8,对角线81c=10,D是的中点。

(1)求点用到直线的距离.(2)求直线到平面G8力的距离.

解：(1)连结，B、D,由三垂线定理可得：B.DLAC,

所以用。就是心点到直线的距离。

2222

在Rt\B［BD中BBi=7^,C-fiC=A/10-8=6,BD=473.

(2)因为与平面G交于AC的中点D,

设81Cc8G=E,贝所以AB1平面GBD,

所以人为到平面G的距离等于A点到平面酬

的距离，等于C点到平面G的距离，也就等于三棱

锥C-BDC\的局,---^C-BDC,=Vc「BDC,

・《偈8%=卜凶女“|，••/=喑，即直线儆到平面G的距离是哈•

【解后归纳】求空间距离留意三点：

1.常规遵循一作二证三计算的步骤；

2.多用转化的思想求线面和面面距离；

3.体积法是一种很好的求空间距离的方法.

【范例4］如图，在长方体।中，尸1,2,点E在棱上移动.

(1)证明：D|E_LAD

(2)当E为的中点时，求点E到面।的距离；

(3)等于何值时，二面角D―D的大小为巴.

4

解析：法1

(1)面u，A.D1),AA.DID.E

(2)设点E到面।的距离为力，在中，尸石，尸血，

故SM小=；•也.^5—而5郎支=3.4七.8。=；.

(3)过D作，于H,连DJL,则DHL

4为二面角D,一—D的平面角.

设，则2—x

法2：以D为坐标原点，直线、、।分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设，则儿(1,0,

1),E(0,0,1),E(l,x,0),A(l,0,0),C(0,2,0).

(1)因麻=(1,(),1),(1,%_1)=0,所1^5^IZ^E.

(2)因为E为的中点，则E(1,1,0),

从而麻=(1,1,—1),々=(-1,2,0),AD；=(-1,0,1),

设平面।的法向量为〃=3,&c),

=0,(-a2b=0a=2b

"於+

得

n.AD^O,\-a+c=Q

从而;；=(2,1,2),所以点E到平面,C的距离为〃=12a=马士2

33

(3)设平面Di的法向量〃=(a,4c),

,/?-D,C=0,2b-c=0人［

由一_1=＞《令1,/.2,2—x,

n-CE=0,a+b(x-2)=0.

，?V22_V2

〃=(2-x,l,2).依题意cos工=L

2个(x-2)2+52

4\n\-\DD{|

x,=2+y/3(不合,舍去),x2=2-V3.

...25时，二面角D「D的大小为全

•对应训练分阶提升

一、基础夯实

1.把边长为a的正△沿高线折成60°的二面角，则点力到的距离是()

nV6nV15

D.—ciC.—ci.---a

234

2.△中，9,15,N120°.△所在平面外一点〃到三个顶点4、B、。的距离都是14,则点夕

到平面a的距离为()

A.7B.9C.11D.13

3.从平面a外一点〃向a引两条斜线为斜足,它们与a所成角的差是45。，它们在a内的射

影长分别是2和12,则尸到a的距离是()

A.4B.3或4C.6D.4或6

4.空间四点4B、C、〃中，每两点所连线段的长都等于a,动点尸在线段上，动点0在线

段上，则夕与0的最短距离为()

B.旦aC.2

K.-a

222

5.在四面体—中，、、两两垂直是面内一点，且点物到三个面、、的距离分别为2、3、6,则

点"到顶点户的距离是)

A.7B.8C.9D.10

6.如图,将锐角为60°,边长为a的菱形沿较短的对角线折成60°的二面角，则与的距离

是)

A.%C.名

B手2

＞。到平面的距离为d，点8到平

,<1<^2〈水1

8.如图所示,在平面a的同侧有三点力、B、C,△的重心为G假如4B、C、G到平面a的

距离分别为a、b、c、d,则等于)

D.以上都不对

」的点啮嗡啮啜=2,

为距离是)

6第9题图

10.二面角aB等于60°,平面a内一点A到平面B的距离的长为4,则点B到a的距离

为

11.在60°的二面角a—/—B中，［WaJ_/于C,夕£B,J_/于〃，又收，贝lj4、夕两点

间距离为

12.设平面Q外两点火和耳到平面a的距离分别为4和1,与平面。所成的角是60。，则线

段的长是.

13.在直角坐标系中，已知4(3,2)(-32)沿y轴把直角坐标系折成平面角为a的二面角力一一B

后，Z90°,则a的值是.

三、实力提高

14.在边长为a的菱形中，Z60°,，平面，£是的中点，求点右到平

面的距离.

15.在直三棱柱一45C中，N为直角，侧面।与侧面।所成的二面角为60°为i上的点.

Z/Jn=30°,/尸90°,.

(1)求与侧面।所成角的正切值.

(2)求顶点4到面।的距离.B

人4一十；一1,nc.

16.已知斜三棱柱一44C的侧面儿与底面垂直.Z90

CCl

(1)求侧棱4/与底面所成角的大小；

第15题图

(2)求侧面为与底面所成二面角的大小；

(3)求顶点。到侧面人的距离.

在棱长为a的正方体一48K〃中，E、尸分别为棱与的中点，与交于〃

(1)求二面角B、——8的大小.

(2)试在棱6》上找一点M,使D\M1面并证明你的结论.

(3)求点〃到面।的距离.

D\------------，Ci

空间的距离习题解名

1折后.•.点4到的距离为F

、，AEB

2792+152-2x9xl5cosl20°=21.第17题图

•••△外接圆半径"二=76，

2sinl20°

•••点户到a的距离为J142-(7•2=7.

3设，a垂足为，/6,/丫，则8-丫=45°,

叱说『丫）45。

绽开左边并整理得-1024=0,解得%=6k4.

4只0的最短距离即为异面直线与间的距离，当夕为的中点，。为的中点时符合题意.

5722+32+62=7.

6取的中点。连、，作，于其则为所求，.•.叵.

2

7点。到平面的距离，=也，

2

点6到平面的距离“=^^=且，

FI3

・・•旦克＜1,・・・&＜水1.

32

db+c

8，X又二^=L；.3d

2b+c3

a-------

2

9设的中点为。

邛，点［到平面的距离为a

2

10.2作，于C,连，则，,

/.Z6O0,又，平面,

...平面，平面a,作，于〃则，*

•••的长即为所求,得2.

11.43ayja2+<72+(>/2a)2-2-a^-cos60°=J5a・

12.2百或底第13题图解

3

当点48在a同侧时，」_=26；

sin60°

当点4、8在a异侧时，=_=竺四

sin6003

13.1如图〃=yloA2+OB2=72(22+32)=726

；_Ly轴'CJ_y轴,

.•./9”为二面角力一一8的平面角.

N6'”=a,在△夕"中'〃3,

4

B'B"=426-4?=M,由余弦定理易知Ia9-

14.如图，将点£到平面的距离转化成线面距，再转化成点面距.

连、，设、交于，则〃平面，

.•.上任一点到平面的距离相等.

作T1A旦而囱缶汉

•.•平面，平面，

过。作，平面，则GG,

又N60°,,

：.-60°=叵.

24

点评：若干脆过E作平面的垂线，垂足难以确定.在解答求距离时，要留意距离之间的相互

转化有的能起到意想不到的效果.

15.(1),三棱柱一45G为直三棱柱，N为二面角与一।一G的平面角，

.•.Z60°.

又•••/为直角，•••，侧面i.

连，则是在侧面।上的射影.

••.N为与侧面।所成的角.

且/尸90°,ZA,=30°,所以N60°.

设，则正〃/,2,

33

所以

2

即与侧面।所成的角的正切值为乙

2

⑵过力作J_,垂足为M则〃面i.

二•面，面”且过A作J_,垂足为〃，

则是N到面।的距离，也就是4到面।的距离.

•.心，且N30°,

2

,区且N60°,•••立a・

412

AiG

:./昱aX叵〃(本题还可用等积法).

1252

16.(1)如图所示，作垂足为D,由面4」面,得4〃_1_面

N4为44与面所成的角

.,•N445°为所求.

(2)作_1垂足为区连AE则由面,得4反L,

.•.N4是面4与面所成二面角的平面角.

由己知，得〃，又〃是的中点22也

当N4坐亚故N460°为所求.

DE

(3)连结48,依据定义，点。到面儿的距离，即为三棱锥C-Ai的高h.

由-用1得—名1—△•A\D

33

§P-x2忘.力=2x2五x6,...有为所求.

33

17.⑴如图连结切〃，,BJI,

•.•底面为正方形，

二对角线，.

又•••£、/分别为、的中点第17题图解

又\,棱58,底面，与面，I.2

又BiBC正面、D\D,与面以〃

_1_面\D\D.

而身方与面i〃〃，反面i〃〃，_L.

.•./刀为二面角B、——6的平面角.

在45中，5也”，

4

:./B、晅=2五.

BH

:.52五.

二面角5----8的大小为2拉.

(2)在棱58上取中点M,连〃必

则〃秋L面..连结CM

,:_1_面DD,〃也旦面\D\D.

工以ML

又•••〃&，面即

.”也为〃"在面尻内的射影.

在正方形为中，以£分别为8/和的中点，

由平面几何学问B旌CM

于是，由三垂线定理可知身户，〃”，

而身店面”与面1,n/,

⑶设〃也与面।交于N点,则为点〃到面।的距离,

复面“ML面1,

:.B、NLD\M.

在中，由射影定理D\B；、N・DM

而DB曰M=J./）：+8”=|«

・"I需手

即点〃到面।的距离为%

中学数学立体几何空间距离的计算(学生版)

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂

线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

3.直线与平面的距离

假如一条直线和一个平面平行，则直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上随意一点

到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.

4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公

垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】如图，在空间四边形中，，E、尸分别是、的中点.

⑴求证：是和的公垂线；(2)求和间的距离；

【例2】如图，正四面体的棱长为1,求异面直线、之间的距离.

【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：

(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.例例题鄙I

(2)假如两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的

距离.

(3)假如两条异面直线分别在两个相互平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例7】如图，正四面体的棱长为1,求：4到平面的距离;

【例8】在梯形中〃，N13a且/£,又_1平面，

求：(1)二面角产一一[的大小；(2)点火到平面的距离.例3题图

【例9】如图，所示的多面体是由底面为的长方体被截面F所截面而得到的，其中4,2,尸3,

1.(I)求的长；(II)求点C到平面F的距离.

【例10】正三棱柱"C-ABC的底面边长为8,对角线BC=10,D是的中点。

(1)求点名到直线的距离.(2)求直线到平面的距离.

【解后归纳】求空间距离留意三点：

1.常规遵循一作二证三计算的步骤；2.多用转化的思想求线面和面面距离；

3.体积法是一种很好的求空间距离的方法.

【例11]如图，在长方体।中，尸1,2,点E在棱上移动.

(1)证明：DELAD；(2)当E为的中点时，求点E到面।的距离；

(3)等于何值时，二面角D——D的大小为

4

•对应训练分阶提升

一、基础夯实

1.把边长为a的正△沿高线折成60°的二面角，则点力到的距离是（）

V6「石n而

R•--ciU.—a.---ci

234

2.△中，9,15,N120°.△所在平面外一点户到三个顶点4、B、。的距离都是14,则点户

到平面a的距离为（）

A.7B.9C.11D.13

3.从平面a外一点尸向a引两条斜线为斜足,它们与a所成角的差是45°,它们在a内的射

影长分别是2和12,则尸到a的距离是（）

A.4B.3或4C,6D.4或6

4.空间四点4B、C,〃中，每两点所连线段的长都等于a,动点〃在线段上，动点0在线

段上，则夕与0的最短距离为（）

「石

AA.—1dnD.V2Clv.Cl

222

5.在四面体尸一中，、、两两垂直是面内一点，且点"到三个面、、的距离分别为2、3、6,则

点〃到顶点户的距离是（）

A.7B.8C.9D.10

6.如图，将锐角为60°,边长为a的菱形沿较短的对角线折成60°的二面角，则与的距离

是

与

3逅

A.4-2D.4