高中数学：导学案：导数的概念

1.1.2导数的概念学案

【学习目标】

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；

3.会求函数在某点的导数.

【重点难点】瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.

【学习内容】

一、创设情景

探究：计算运动员在OWEW奂这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

(1)运动员在这段时间内使静止的吗？

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

二、学习新知

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在

某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，f=2时的瞬时速

度是多少？考察r=2附近的情况：

时，在［2+4,2］这段时间内Az>0时，在［2.2+&］这段时间内」

,二:(2)-次2+拉)_4.9A?+133-_-(2+4)--(2)_-4.9A”-13.14

2-(2+AZ)-4-(2+A/)-2A/

二Y.她-13.1=-494-13.1

当4=一0.01时，4=73.051；~当4=0.01时，4=73.051；.

当4=-0.001时，△£=-13.0951；•当&=0.001时，4=-13.0951,,

当&=一0.001时，=-13.09951；当4=0.001时，4=-13.09951；~

当4=-0.0001时，A/=-13.09995b~当4=0.0001时，AZ=-13.099951；。

当4=-0.00001时，△/=-13.09995b.当4=0.00001时，4=-13.099951；.

.......•

思考：当加趋近于0时,平均速度;有什么样的变化趋势？

结论：

2.导数的概念

从函数y=f(x)在l=%。处的瞬时变化率是：

lim&^上&2=limM

Axf0AvAx->0Ax

我们称它为函数y=/(%)在％=玉)出的导数，

»

记作/'(/)或yL=/

即/'(%)=lim

-Ax

说明：(i)导数即为函数y=/(%)在％=玉)处的瞬时变化率；

⑵Ar=%-%0,当Ax—0时，%7%,所以

/'(%)=lim/(幻一X%。)

Xf与x-x0

三、典例分析

例1(1)求函数y=3/在％=1处的导数.

(2)求函数/(x)=--+X在》=—1附近的平均变化率，并求出该点处的导

数.

分析：先求寸=Ay=/(/+Ar)-/(x0),再求空，最后求lim—.

Ax小―。Ar

解：⑴

⑵

例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加

热,如果第劝时，原油的温度(单位：。C)为Cx)==-7x+15(04x48),计

算第2/z时和第6/z时,原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：

注：一般地，/(4)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.

四、课堂练习

1.质点运动规律为s=产+3,求质点在1=3的瞬时速度为.

2.求曲线y=f(x)-/在x=l时的导数.

3.例2中,计算第3力时和第5/1时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

五.【课堂小结与反思】

【课后作业与练习】

1.自变量由X。变到为时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（）

A在区间上的平均变化率

B在/处的变化率

C在玉处的变化率

D在区间［%,再］上的导数

2.下列各式中正确的是（）

/(4-©)-/(%)

AyL「lim

ADAr

f(x-Ar)-/(Ax)

B/(xo)=lim0

AVTOAA-

/(x+Ar)+/(x)

C川『二lim00

Ar->0Ar

/U)-/(%()-Ax)

D/(x())=lim()

AsOAr

3.设/（x）=ox+4,若/⑴=2,则a的值（）

A2B.-2

C3D-3

4.任一做直线运动的物体，其位移s与时间，的关系是s=3f-〃，则物体的初速

度是（）

A0B3

C-2D3-2t

_1

5.函数'=%+：,在X=1处的导数是

6.y=x3—1,当％=2时,］而丝=

7.(1)已知f(x)在尤=4处的导数为A,求lin/6