第03讲 集合的基本运算(提升训练)(解析版)-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第03讲集合的基本运算

【提升训练】

一、单选题

1.已知集合知={。},N={x|以一4=0},若MflN=N,则实数。的值是（）

A.2B.-2C.2或一2D.0,2或一2

【答案】D

【分析】

根据MnN=N,所以NqM,N={d6—4=0}中，由于a的值不确定，考虑。的值是否为0,再

进行求解.

【详解】

因为A/nN=N，所以N=

当N=0时，a=0,符合题意；

当NO0时，N={x|ar-4=0}={&},

4

则一=a，解得a=土2,

a

综上，实数”的值是0或2或-2.

故选：D

【点睛】

注意题中。的取值是否为0的讨论是因为求根时，两边要同时除以。，故需讨论.

2.对于全集U的子集M，N,若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）.

A.（Q附）cNB.A/n（QjN）C.（牺）c（uN）D.McN

【答案】B

【分析】

根据题目给出的全集是U，M，N是全集的子集，M是N的真子集画出集合图形，由图形表示出三个

集合间的关系，从而看出是空集的选项.

【详解】

解：集合U,M.N的关系如图，

由图形看出，只有(QjN)l"是空集.

故选：B.

【点睛】

本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法,

数形结合解.

3.己知全集。=兄集合M={Xx2+x-2S0},集合N={y|y=jn},则(CuM)UN等于()

A.{小<-2或启0}B.{x|x>1}

C.{x|x<-1或1<g3}D.R

【答案】A

【分析】

解出不等式/+X-2W0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解.

【详解】

解不等式x2+x-2<0得：-2<x<1,CuM=(-8,—2)|J(1,+8)，

N={y|y=>j3-x}=[0,+oo),

(CuM)UN={x\x<-2或启0}.

故选：A

【点睛】

此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.

4.已知集合A={x|(x+2)(x-2)<5},B={x|log2(x-a)>l,ae?/1,若Ap|8=0,则。的可能取

值组成的集合为()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.N*

【答案】D

【分析】

解不等式确定集合A6,然后由交集的结果确定参数。的取值范围.

【详解】

A={x|(x+2)(x-2)<5}=何-3<x<3},

8={'log?(x—a)>l,aeN}={x[x>a+2,aeN},

因为An3=0,所以a+223，«>1.又aeN,•••aeN*.

故选：D.

【点睛】

本题考查由集合交集的结果求参数范围，解题时可先确定两个集合中的元素，然后分析交集的结果得出结

论.

5.设4={划卜一2|22},B={x||x-l|<«},若4口8=0，则&的取值范围为()

A.a<\B.0<a<lC.a<lD.0<a<3

【答案】C

【分析】

解集绝对值不等式求得A,B,结合A。8=0求得”的取值范围.

【详解】

由忖一2|22得x—2W—2或x—222,解得或x",所以人式—刀卜竹，”)，

山忖一1|<〃得一a<x—l<a,解得一a<x<l+a,所以3=(1—a,l+a).

当时，B=0,Ap\B=0,符合题意.

当。>0时，由于An3=0,所以<,,解得0<aKl.

l+a<4

综上所述，。的取值范围是a«l.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据交集的结果求参数的取值范围.

6.已知集合S={1,2,3,45,6},对于它的任一非空子集A,可以将A中的每一个元素氏都乘以(—1)及再

求和，例如A={2,3,5},则可求得和为(一1户2+(—1»3+(-1。5=-6,对S的所有非空子集,这些和

的总和为()

A.92B.96C.100D.192

【答案】B

【分析】

确定S中每个元素在其非空子集中出现的次数，然后根据这个规律求和.

【详解】

S的所有非空子集有26-1=63个，每个元素在2、=32个集合出现，

所以所求和的总和为32x[(—l)xl+(—1)2X2+(—1)3X3+(—1)4X4+(—1)5X5+(—1)6X6]=96.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的新定义，解题关键是确定S中每个兀素在其非空子集中出现的次数.考子集的概念与个数问

题，属于中档题.

7.己知全集。=卜6叫％=〃,1<〃<2020},若集合A=B=U,A^B=<Z>,A,B的元素个数

相同，且对任意的neA,2"eB，则AU8的元素个数最多为()

A.20B.18C.16D.以上结果都不正确

【答案】C

【分析】

列举出符合条件的A,8的元素，利用A,8的元素个数相同，只需让4,8都取最大元素个数，即可得到AU8

的元素个数的最大值.

【详解】

­.■U={xeN\x=n,\<n<2020\,A^U,B^U,

〃£A,2〃£8,

=时，21=2G£/»即1£A2E3,

同理可得，2eA,4eB,

3eA,8eB,

4GA,16eB,

5eA,32eB,

6GA,64GB,

7eA,128eB,

8eA,256e8,

9GA512e8,

10eA,1024€B,

•••An3=0,A,8的元素个数相同，

，若AU8的元素个数最多，

则4={1,3,4,5,6,7,9,10},共8个元素，

8={2,8,16,32,64,128,512,1024},共8个元素，

.•.AuB的元素个数为8+8=16，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查集合与元素的关系，考查集合的交集、并集的运算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属

于中档题.

8.已知集合4=卜愀+4<巧，3={x|y=lnx},则A[J8=（）

A.{x|-l<x<0}B.{小>4}

C.{小<-1或x>0}D.{小<-1或x>4}

【答案】C

【分析】

解不等式确定集合A,根据对数函数性质确定集合3,再巾并集定义计算.

【详解】

4={巾1+4</}={小<一1或%>4},3={x[y=lnx}={x|x>0},

/.Au5={x[x<-1或x>0}.

故选：C

【点睛】

本题考查集合并集运算，考查解一元二次不等式，属于基础题.

9.已知全集0=11,A=N)=ln(l—x2»,8={小=4*-2},则Ap|低8)=()

A.(-1,0)B.(-1,0]C.(0,1)D.[0,1)

【答案】B

【分析】

根据对数函数和指数函数的性质确定集合A5,然后由集合运算法则计算.

【详解】

A=卜卜=ln(l-x2)}=同1-》2)0}={._]<x<]}=(_],]),

8={y|y=4i}={y|y>0}=(0,+oo),6*=(-8,0],

所以A「低町=(-1,0].

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的综合运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键.

10.集合4="eN,xeZ,,=-3y-4<o1,则4口3=()

A.{2,3}B.{2,3,4}C.{-1,2,3}D.{-1,2,3,4}

【答案】D

【分析】

根据集合的表小方法和一元二次不等式的解法求得集合A={-1,2,3,4},B={y|-l<y<4},再结合集

合的交集的运算，即可求解.

【详解】

6

山题意，集合4x-------GN,XEZ={-1,2,3,4),

5-x

8={小2_3丁-440}={引-1"«4},

所以Ac3={-1,2,3,4}.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合集合的表示方法，以及一元二次不等式的解法

求得集合A,B是解答的关键，着重:考查推理与运算能力.

11.设全集U=R，A=B={x|y=ln(l—x)},则图中阴影部分表示的集合为()

A.|x|x>11B.1x|0<x<11

C.1x|l<x<2}D.

【答案】C

【分析】

先解出集合A、3,并确定阴影部分区域所表示集合的意义，即可得出阴影部分区域所表示的集合.

【详解】

解不等式2**2)<1=2°，即％(%-2)<0,解得0<x<2,.•.A={x|0<x<2},

B={x[y=ln(l-x)}={邓-*>0}={x|x<l},则Ac8={x[0<x<l}.

图中阴影部分所表示的集合为{x|xGA目/eAc8}={x[l<x<2],故选C.

【点睛】

本题考查集合运算，解题的关键就是确定阴影部分所表示的集合的意义，考查运算求解能力，属于中等题.

12.全集U=R,集合A=〈无言K。1,集合3={»1。82(龙一1)>2},图中阴影部分所表示的集合为

()

A.,0]U[4,5]B.(9,0)U(4,5]

C.(-oo,0)U[4,5]D.(-w,4]U(5,yo)

【答案】C

【分析】

由图可得，阴影部分表示的集合为Cu(AuB).求出集合A,3,Au3,即求C^AuB).

【详解】

:集合A={x|04x<4},8={x|x>5},

由论"〃图可知阴影部分对应的集合为Q(ADB),又AD3={X|0VX<4或X>5},

.•.Q(AU8)=(Y,0)34,5].

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的运算，属于基础题.

13.已知A={xeN|y=ln(d_x-2)},8={yeN|y=,则)

A.{1,2}B.{0,1}C.{1,2,3}D.0

【答案】A

【分析】

首先确定集合A3中的元素，然后再由集合的运算法则计算.

【详解】

由丁一工一2>0得xv-l或x>2,，A={xcN|x>2},dvA={0,1,2),

l-|x|>0,-l<x<l,0<l-|x|<l,.,.iwe屈We，即iWyWe,又yeN3.y=l或2,即3={1,2},

；.aA)n8={l,2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合中的元素.一定要注意代表元的形式，对于与函数有关的

数集，要注意是函数的定义域还是函数的值域.

14.已知集合4=卜|1<%<2},集合8=卜卜='加_上),若4口3=4,则m的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,4]C.[l,+oo)D.[4,+oo)

【答案】D

【分析】

由408=4可得出AqB,可知解出集合3,结合题意可得出关于实数加的不等式，由此可解

得实数用的取值范围.

【详解】

QAI8=4且4={川1<%<2},则A=.•.3H0.

若机<0,则加—工2<0,可得B=0，不合乎题意；

若加20,则8=[xy=\lm-x2^=<x<,

所以，V^>2,解得利24.

因此，实数加的取值范围是[4,+8).

故选：D.

【点睛】

本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于中等题.

15.高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门

课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课

程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至

少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多()

A.16B.17C.18D.19

【答案】C

【分析】

把学生50人看出一个集合U,选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合8,选择生物

颗的人数组成集合C,根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.

【详解】

把学生50人看出一个集合U,选择物理科的人数组成为集合A，

选择化学科的人数组成集合B,选择生物颗的人数组成集合C，

要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，

除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，

则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，

单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，

单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，

以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，

所以单选物理、化学的人数至多8人，

所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10+8=18人.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查

数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.

16.已知全集。=区，集合A={xeR|0<%,1},8={-1,0,1},则(孰4)。8=()

A.{-1}B.{1}C.{-1,0}D.{0,1}

【答案】C

【分析】

根据补集的运算，求得24={%|》40或*>1},再结合交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，全集U=R,集合A={xeR[O<x〈l},

可得电A={x|x<0或x>l},

又由集合3={-1,0,1},所以&A)CB={-1,0}.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关

键，着重考查了运算与求解能力.

17.己知集合A/={H-3Wx<4},N={xk2-2x-8W0},则()

A.Mp[N=RB.MDN={H-34X<4}

C.MoN={x|-2<x<4!D.M<JN={x\-2<x<4|

【答案】B

【分析】

先分别求出集合MN,由此能求出MuN,McN.

【详解】

,/M=^x|-3<x<41,-2x-8<o1={x|-2<x<4}

:.M<JN^{X\-3<X<4}

McN={x|—2Wx<4}

故选：B

【点睛】

本题考查了集合的交集和并集运算，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.

18.已知集合4={(工))|)=兀+1,xeR},集合3={(x,y)|y=f,xe/?},则集合ACB的子集个

数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有22=4个.

【详解】

由题意得，直线y=x+l与抛物线y=f有2个交点，故ACIB的子集有4个.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题.

19.己知集合4={0,1,2,3,4},8={幻》=2〃+1,〃64},则AflB等于（）

A.{1,3,5}B.{3}

C.{5,7,9}D.{1,3}

【答案】D

【分析】

首先求得集合B，然后进行交集运算即可.

【详解】

由题意可得：3={1,3,5,7,9},则4口8={1,3}.

故选D

【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20.设4={幻炉-8%+15=0},3={x|or—1=0},若4n8=8,求实数〃组成的集合的子集个数有

A.2B.3C.4D.8

【答案】D

【分析】

先解方程得集合A,再根据AnB=8得5uA，最后根据包含关系求实数”，即得结果.

【详解】

A={x|x2-8x4-15=0}={3,5},

因为An8=8,所以BuA,

因此3=0,{3},{5},对应实数a的值为0,2,,，其组成的集合的子集个数有23=8,选D.

35

【点睛】

本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.

21.已知集合A={x|x-2K0},B={x|log,x<2},则403=

A.(0,2]B.(-oo,2]C.(0,2)D.(-8,4)

【答案】A

【分析】

解一元一次不等式以及对数不等式得到集合A和3.结合交集的定义计算即可.

【详解】

由题可得集合A=(-8,2],8=(0,4),所以AcB=(0,2],故选A.

【点睛】

本题主要考查了不等式的解法以及交集的运算，需注意对数函数的定义域，属于基础题.

22.设常数a《R,集合A={x|(x-1)(x-a)>0},B={x|x>a-1},若AUB=R,则a的取值范围为()

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

【答案】B

【详解】

试题分析：当砒=：!时，篇=舞，此时4_坪=成成立，当蝴:£1时，/.=阚揶瞰3白湾工，当14f康=密

时，潮7喧：1=>相喧色，即[以耳，当谢,《：工时，盘=久存碱，-咻翎]，当漕=密时，潮一工上谢恒成立，

所以”的取值范围为卜凝渭j,故选B.

考点：集合的关系

23.已知M,N都是U的子集，则图中的阴影部分表示()

A.MUN

B.CU(MUN)

C.(CuM)AN

D.Cu(MClN)

【答案】B

【分析】

观察图形可知，图中非阴影部分所表示的集合是AU8,从而得出图中阴影部分所表示的集合.

【详解】

由题意，图中非阴影部分所表示的集合是AUB，

所以图中阴影部分所表示的集合为AU8的补集，

即图中阴影部分所表示的集合为孰(AU8),故选B.

【点睛】

本题主要考查集合的venn图的表示及应用，其中venn图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与

集合之间的关系，熟记venn图的含义是解答的关键.

24.己知全集。=1<,集合4={尤［x<—1或x>4},B={%|-2<%<3},那么阴影部分表示的集合为

A.{x|-2<x<4}B.{x|x<3gJtr>4}

C.{x|-2<%<-1}D.{x|-l<x<3}

【答案】D

【分析】

由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CuA)cB,求出计算得到答案

【详解】

阴影部分表示的集合为(C0A)cB,

A={x|-4}

CUA={x\-1<x<4}

*/B={x|-2<x<3}

.,.(CuA)c3={%[-1<x<3}

故选。

【点睛】

本题上要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题

25.已知集合4=卜9-x-2>0},则&A=

A.{x|-l<x<2}B.|x|-l<x<2}

C.{X|X<-1}D{X|X〉2}D.{X|X4-1}U{X|XN2}

【答案】B

【详解】

分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出V一工一2>0的解集，从而求得集合A,之后根据集合补集

中元素的特征，求得结果.

详解：解不等式f一彳一2>0得x<—1或x>2，

所以A={x|x<-1或x>2},

所以可以求得CRA={X|-1«XV2},故选B.

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确

一元：次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

26.设A、B是非空集合，定义：AXB={X|XGAU3且xeAcB}.

已知A={x|y=,2x—♦},B={x|x)l},则AxB等于

A.[0,l]u（2,+oo）B.[0,l）u（2,+oo）C.[0,1]D.[0,2]

【答案】A

【详解】

求出集合A中的函数的定义域得到:

2x-x2>0.B|Jx（2-x）>0

x>0x<0

可化为《或<

2—x202-x<0

解得0WxW2,即4={冰）WxW2}=[0,2]

,/8={x|x）l}

AuB=[o,+8）,AcB=（1,2]

则AxB=[04]u(2,+oo)

故选A

27.设函数y=j4-x2的定义域A，函数y=ln(l-x)的定义域为B,则AcB=

A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)

【答案】D

【详解】

由4一％220得一2Wx«2,由i-x>0得x<l,

故AAB={x|—2WxW2}fl{x|x<l}={x|—2Wx<l},选D.

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

28.已知集合人={123,4},B={2,4,6,8},则Af]B中元素的个数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

由题意可得403={2,4},故4门8中元素的个数为2,所以选B.

【名师点睛】集合基本运算的关注点：

(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题

的前提.

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解

决.

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

29.已知集合q={%€尺|1<%<3},0=1€/?，24},则255。)=

A.[2,3JB.(-2,3]C.[1,2)D.(-00,-2]U[1,+oo)

【答案】B

【详解】

有由题意可得：&。={工|一2<%<2},

则人偏。”(-2,3].

本题选择B选项.

30.设集合U={L2,3,4,5,6},A={1,3,5},3={3,4,5},则距（AuB）=

A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}

【答案】A

【详解】

试题分析：因为AD3={L3,5}U{3,4,5}={1,3,4,5},所以瘠（ADB）={1,3,4,5}={2,6},选A.

【考点】集合的运算

【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算是必

考考点，也是考生必定得分的题目之一.

31.已知全集令={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合3={1,3,4,6,7},则集合Ac电5=

A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}

【答案】A

【详解】

电3={2,5,8},所以Ac，,5={2,5},故选A.

考点：集合的运算.

32.已知集合4={。,刈刀2+;/<1,乂”2},6={（羽刈,区2,3〈2,乂丁wZ},定义集合

A㊉3={（芯+.,y+必）I（玉,,）wA（赴,必）e3},则A㊉8中元素的个数为

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

【详解】

因为集合力={（X,y）|x2+y2«l,x,yeZ},所以集合.感中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，

集合8={。4小区2,|）归2//€2}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形/勰题中的整点，集

合488={（3+*2，乂+>,2）|（.rl,^l）€A,（.v,,）€B}的元素可看作正方形其蹴稿）,中的整点（除去四个

顶点），即7'着号一埋=媚个.

考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.

33.设集合A/={/〃wZ|-3</〃<2},?/={neZ|-1<n<3},则McN=

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【详解】

试题分析：依题意“={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},,MnN={-1,0,1).

考点：集合的运算

34.已知集合P={x|y=Jx+2,xw尺yw/?}，Q={>,|x2+y2=4,xe/?,ye/?},则PcQ=()

A.{-2,1}B.{(-2,0),(1,例C.0D.Q

【答案】D

【分析】

求函数的定义域求得集合p.求y的范围求得集合。，由此求得两个集合的交集.

【详解】

由x+220得x之一2,即。=[—对于f+J=4,ye[—2,2],也即Q=[—2,2],所以PcQ=Q.

故选D.

【点睛】

本小题主要考查两个集合的交集，考查函数的定义域和曲线的坐标的取值范围，属于基础题.

35.设/={1,2,3,4,},A与8是/的子集，若Ap|B={l,3},则称（A,B）为一个“理想配集”.那么符合此

条件的“理想配集”（规定（A5）与（8,4）是两个不同的“理想配集”的个数是（）

A.16B.9C.8D.4

【答案】B

【分析】

根据题意，子集A和5不可以互换，从子集A分类讨论，结合计数原理，即可求解.

【详解】

由题意，对子集A分类讨论：

当集合A={1,3},集合5可以是{L2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4中结果；

当集合A={1,2,3},集合8可以是{1,3,4},{1,3},共2种结果；

当集合A={1,3,4},集合3可以是{1,2,3},{1,3},共2种结果；

当集合A={1,2,3,4},集合5可以是{1,3},共1种结果，

根据计数原理，可得共有4+2+2+1=9种结果.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答

值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.

36.已知集合A={（x,y）|x2+V=i,x,ywZ},B={U,y）||x|<3,|y|<3,x,yeZ）,定义集合

A㊉8={（尤］+%2，乂+%）1（%，%）€4,（工2，%）€8},则A㊉8中元素的个数为（）

A.77B.49C.45D.30

【答案】A

【分析】

根据题意，利用数形结合表示出集合AB燃后根据新定义中集合A㊉5中元素的构成，用平面的点表示即可.

【详解】

因为集合人={（乂丫），+丫2=1,兑丫€2},所以集合A中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点（包括

边界），集合B={（x,y）l|x|43，M43,x,yeZ}中有7*7=49个元素（即49个点）：即图中正方形A6CD中

的整点,

集合A㊉3=｛（%+/,X+%）I（X，M）w4（々,％）eB）的元素可看作正方形EFGH中的整点（除去四

个顶点），即9x9-4=77个.

二A㊉8含有77个元素.

故选：A.

关键点点睛：本题的解题关键是利用数形结合表示集合的几何意义，从而得解.

二、多选题

37.（多选）若非空数集M满足任意X,ye",都有x+yeM,x-yeM,则称M为“优集”.已知A,3

是优集，则下列命题中正确的是（）

A.4nB是优集B.AU8是优集

C.若AUB是优集，则4口3或8=AD.若AU8是优集，则是优集

【答案】ACD

【分析】

结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.

【详解】

对于A中，任取

因为集合A,B是优集，则x+yeA,x+yeB,则x+yeAplB,

x-yeAx-yeB,则x-yeAnB,所以A正确；

对于B中，取A=[x\x=2k,kwZ},B={x\x=3m,meZ},

则A={x|x=2后或x=3k,k&Z},

令x=3,y=2,则x-y=5eA(JB,所以B不正确；

对于C中，任取xeA,ye8,可得

因为AU8是优集，则x+yeAUax-ywAUB.

若x+ye8,则x=(x+y)-ye8,此时Au8：

若x+yeA,则x=(x+y)-yeA,此时

所以C正确；

对于D中，AU3是优集，可得A=则AC|B=A为优集；

或8=则=8为优集，所以4nB是优集，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】

解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的

问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用

的集合的性质的一些因素.

38.若非空集合G和G上的二元运算“㊉”满足：①Va,0eG,a㊉beG；®3ZGG,对VaeG,

a㊉/=/㊉a=a：③m/wG,使VaeG，BbeG,有a㊉。=/=匕㊉a；④Va,dceG,

(a㊉份㊉c=a㊉3㊉c),则称(G,㊉)构成一个群.下列选项对应的(G,㊉)构成一个群的是()

A.集合G为自然数集，“㊉”为整数的加法运算

B.集合G为正有理数集，“㊉”为有理数的乘法运算

C.集合G={—1,1,为虚数单位)，“㊉”为复数的乘法运算

D.集合G={0,1,2,3,4,5,6},“㊉”为求两整数之和被7除的余数

【答案】BCD

【分析】

根据新定义，判断各选项中(G,㊉)是否满足题中4个条件即可得.

【详解】

A.G=N时，不满足③，若/=0,则由1+8=0得人=一1纪G，若/eN*=N,则在G中设。>/,由

。+人=/得。=/—a<0eG，所以(N,+)不能构成群；

B.G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然leG,对任意aeG，

。㊉1=。=1㊉。，③对任意正有理数”，!也是正有理数，Fl.a©-=l=-©a,即/=1，④有理数的

aaa

乘数满足结合律，B中可构造群；

C.6={-1,1,一，,斗《为虚数单位)，①可验证G中任意两数(可相等)的乘积仍然属于G；②/=1，满足

任意aeG,有。㊉1=1㊉a；③/=1，满足任意aeG，存在力eG，有a㊉。=。㊉a=l，实质上有

-lx(-l)=lxl=/x(-z)=l;④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；

D.G={0,1,2,3,4,5,6),①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于G，②/=0,满足对

任意awG，a㊉/=/㊉。，③/=1，/=0,0+0=0，1+6=2+5=3+4=7除以7余数为0；④加

法满足交换律，乂a+方除以7的余数等于。除以7的余数加b除以7的余数的和再除以7所得余数，因此

Va,b,ceG,(a㊉b)㊉c=a㊉(b㊉c),D中可构造群;

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的4个条

件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论.

39.设非空集合SUR.若x,yWS,都有x+»x-y,xy&S,则称S是封闭集.下列结论正确的是()

A.有理数集。是封闭集

B.若S是封闭集，则S一定是无限集

C.S={x|x=a+wZ}一定是封闭集

D.若S，Sz是封闭集，则S2一定是封闭集

【答案】AC

【分析】

直接利用定义性问题和集合的运算的应用判断A、8、C、。的结论.

【详解】

解：对于A：有理数集。，相加，相减，相乘还为有理数，故A正确；

对于8：若5={0},则0±0=0,0x0=0,此时，故S为封闭集，故8错误;

对于C:S=S={x|x=a+&eZ},任取a2+\[?.b2eS.

所以q+'flbf+«2+5/2/2,=(a,+a2)+y/2(bt+b2)eS<4+及4—%—及瓦=(q—%)+—%)eS,

(«,+y/2bt)(a,+y/2b2)=(ata2+2b}b2)+夜(a也+bta2)eS.»故C正确;

对于。：若S1,S?是封闭集，设4，4€号，a2,b2eS2,

则4+〃,q-b^afyeS,,%+b2,a2-b2,a2b2eS2,

但是q+4,4+4不一定属于SU'，所以不一定是封闭集，故。错误；

故选：AC.

40.设4={x|x2-2x-3=0},B={x|ar-l=0},若408=8,则。的取值可以是()

1

A.0B.1C.-1D.-

3

【答案】ACD

【分析】

山408=8可得B=A,求出集合A,讨论a=0和。A0，即可得”的值.

【详解】

A={X|X2-2X-3=0}={X|(X—3)(X+1)=0}={—1,3},

由4口8=8可得8=A,

当a=0时，3=0,满足所以a=0符合题意；

当a#0时，8={%|公一1=0}=6={1},

由则工=-1或工=3,可得：。=一1或。=',

aa3

综上所述：实数a的值可以为：一1，0,-

3

故选：ACD

【点睛】

易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：0是任何集合的子集，所以要分

集合8=0和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.

41.定义A-B={X|XGA,且A*6=（A-6）D（6-A）叫做集合的对称差，若集合

21।

A={y|y=x+2,—1Kx<3},yy=-,-<%<B,则以下说法正确的是（）

A.B=[2,10]B.A-3=[l,2）

C.A*B=（1,2]D（5,10]D.A*B=B*A

【答案】ABD

【分析】

根据反比例函数的性质可判断8=[2,10]是否正确;然后先分别计算A-5.5—A，判断B选项是否正确，

然后计算A*3与B*A，判断D选项是否成立.

【详解】

21

:A={y[y=x+2,-1<X<3}=[1,5],B=<yy=-,-<%<1>=[2,10],故A正确：

x5

:定义A—8={x|xeA且xe8},

AA-B=[l,2）,B-A=（5,10],故B正确;

A*B=（A-B）u（B-A）=[l,2）o（5,10],故C错误;

B*A=（B-A）u（A-B）=[l,2）u（5,10],所以A*B=3*A，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题.解答时，根据题意化筒集合然

后结合新定义计算法则计算即可得出答案.

42.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出

发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了

无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将

有理数集。划分为两个非空的子集M与N,且满足MuN=Q,McN=0,M中的每一个元素都

小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={x\x<0},N={小>0}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.〃没有最大元素，N也没有最小元素

【答案】BD

【分析】

根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案.

【详解】

对选项A,因为"={x|x<0},N={x|x>0},A/UN={X|X00}HQ,

故A错误；

对选项B,设用={X€。忸<0},N={xeQ|xN0},满足戴德金分割，

则M中没有最大元素，N有一个最小元素0,故B正确；

对选项C,若M有一个最大元素，N有一个最小元素，

则不能同时满足MuN=Q,McN=0,故C错误；

对选项D,设知=卜€°卜<&},7V={xee|x>V2},满足戴德金分割，

此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.

故选：BD

【点睛】

本题主要考查集合的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.

43.对任意A,BjR,记=APlB},并称A㊉B为集合A,B的对称差.例如,

若人={1,2,3},8={2,3,4},则A38={1,4},下列命题中，为真命题的是()

A.若A,B=R且A㊉B=B,则A=0

B.若A,BqR且A㊉3=0,则A=8

C.若4,8=R且A㊉8=则A=3

D.存在A,B7R,使得A㊉8=瘵4㊉RB

【答案】ABD

【分析】

根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可.

【详解】

解：对于A选项，因为A㊉B=B,所以8={x|xe任AcB},

所以A=目.8中的元素不能出现在A「B中，因此4=0,即选项A正确；

对于8选项，因为A㊉8=0,所以0={x|xeAu6,x史AcB},

即AUB与AC8是相同的，所以A=B，即选项8正确；

对于C选项，因为A㊉所以{x|xeAcB}qA,

所以即选项C错误；

对于O选项，设A={%,<2},8={x|x>l},则AUB=R，Ac6={x[l<x<2},

所以A㊉3={xWl或x22},乂AA={x|x22},

（解）u（/）={小W1或北2},（翻）n（*）=o,

所以（寤4）u（涉）={小W1或xN2},

因此A㊉3=瘵4㊉RB,即。正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查新定义，考查了交、并、补集的混合运算，属于中档题.考查了学生的转化与化归能力，逻辑

推理能力.

44.对任意A,B7R,记A㊉8={x|xeAU2,xeACB},并称A㊉B为集合A,B的对称差.例如，若A={1,

2,3},8={2,3,4},则4缶8={1,4},下列命题中，为真命题的是（）

A.若A,BGR且4㊉B=B,则4=0

B.若A,81/?且4㊉8=0,则A=B

C.若A,BCR且A㊉则A1B

D.存在A,8NR,使得A㊉8=4A㊉

E.存在A,B£R,使得A㊉8。6㊉A

【答案】ABD

【分析】

根据新定义判断.

【详解】

根据定义A㊉8=[(瘵4)nB]U[An(RB)],

A.若A㊉B=B，则伞4口5=8,Ar\dKB-0,dKAQ5=B=>Sc6KA,Ar\dRB-0^A^B,

AA=0,A正确；

B.若A㊉B=0,则。AnB=0,Ac«8=0,AC\B=A=B,B正确；

C.若A㊉8=A,则4408=0,An'8qA,则B=C错；

D.A=B时，A㊉8=0,(腕)㊉(R8)=0=A㊉8,D正确；

E.由定义，人㊉3=[(瘵KB)]=B㊉A,E错.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算.

45.设集合M={x|(x—a)(x—3)=0},N={x|(x—4)(x—1)=0},则下列说法不正确的是()

A.若MuN有4个元素，则MPIN#。B.若MnN#0,则MuN有4个元素

C.若MUN={1,3,4},则MDNJ0D.若MPINJ0,则M|JN={1,3,4}

【答案】ABC

【分析】

首先解方程得到：M={3,“}或M={3},N=壮,4}.针对a分类讨论McN,MuN即可.

【详解】

(1)当a=3时，M={3},MAN=0,MUN={1,3,4}；

(2)当a=l时，M={1,3},MDN={1},MUN={1,3,4}；

(3)当a=4时，M={3,4},A/nN={4},MUN={l,3,4}：

(4)当。工1,3,4时，M={3,a},MAN=0,MUN={l,3,4,a}；

故A,B,C,不正确，。正确

故选：ABC

【点睛】

本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中