高考数学一轮复习 （基础知识 高频考点 解题训练）集合教学案

第一节集合

基础如艰要打牢强双基固本源得基础分掌握程度

11ICHUZHISHIYAIII

［知识能否忆起］

一、元素与集合

1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

2.集合中元素与集合的关系：

元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为且和生

3.常见集合的符号表示：

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

表示NN*或N+ZQR

4.集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图.

二、集合间的基本关系

描述关系文字语言符号语言

集合相等集合力与集合6中的所有元素都相同A=B

间的子集A中任意一元素均为6中的元素/U8或8/

基本4中任意一元素均为6中的元素，且6中至

真子集/8或84

关系少有一个元素A中没有

空集是任何集合的子集0屋B

空集

空集是任何非空集合的真子集08（屏0）

三、集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为〃，则集合力的

符号表示AQB

补集为CM

•（3D

图形表示

意义{x且X目〃}{x|U,且短目}

［小题能否全取］

1.（2012•大纲全国卷）己知集合4={x|*是平行四边形},6={x|x是矩形},C={x|x

是正方形},〃={x|x是菱形},则（）

A.AQBB.区6

C.愿CD.AQD

解析：选B选项A错，应当是/£4选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是

正方形.选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形.选项D错，应当是图4

2.（2012•浙江高考）设集合4={x|1VXV4},集合6=3f—2x-3W0},则（腹8）

=（）

A.（1,4）B.（3,4）

C.（1,3）D.（1,2）U（3,4）

解析：选B因为良尻=3%>3,或*<一1},所以4C（（疝={x|3<x<4}.

3.（教材习题改编）/={1,2,3},6={xCR|*2_ax+l=0,a^A},贝时a的

值是（）

A.2B.2或3

C.1或3D.1或2

解析：选D验证a=l时6=。满足条件；验证a=2时归⑴也满足条件.

4.（2012•盐城模拟）如图，已知〃={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合/=

{2,3,4,5,6,8},5=［1,3,4,5,7},C=⑵4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴

影部分表示的集合为.（/wU

解析：阴影部分表示的集合为力ccn（［曲=H2,8}.

答案：⑵8}

5.（教材习题改编）已知全集〃={-2,-1,0,1,2},集合/=卜卜=《px,pGzj,

贝ll（i'A=.

解析：因为力=［xx=《Y，x,,

当〃=0时，x=—2：〃=1时不合题意；

〃=2时，x=2；〃=3时，x=l；

刀24时，前Z；〃=—1时，x=-1；

〃W-2时，墀Z.

故力={-2,2,1,-1},

又{—2,-1,0,1,2},所以［川={0}.

答案：⑻

I.正确理解集合的概念

研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用

描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分｛x|y=F(x)｝、｛y|尸/Xx)｝、

｛(x,y)|y=F(x)｝三者的不同.

2.注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集.在解题时，若未明确说明集

合非空时，要考虑到集合为空集的可能性.例如：AGB,则需考虑/=。和4两种可能的

情况.

."■高频考点要通关抓考点I学技法I得技高分I掌握程度

.hi,GAOPINKAOD1ANYAOTONGGUANJ_________J__________)

•«：!_________________________元素与集合

占典题导入

[例1](1)(2012•新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5},4={(筋y)\y^A,

x—pW⑷，则8中所含元素的个数为()

A.3B.6

C.8D.10

⑵已知集合"={1,勿},/V={〃，log2〃},若#=M则(/一〃严3=.

[自主解答](1)・・・5={(必一|x£4片4入一片⑷,J={1,2,3,4,5),

/.%=2,y=l；x=3,y=l,2；x=4,y=l,2,3；x=5,y=l,2,3,4.

—{(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

・••笈中所含元素的个数为10.

(2)由知

[n=L[n=nu

或

〔1og2〃=m[1og2〃=1,

W=0,[m=2,

[n=l[n=2,

故(/一〃>°巧=-1或(J.

[答案](1)D(2)—1或0

&由题悟法

1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在

求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性.

2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列

出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性.

务以题试法

1.(1)(2012•北京东城区模拟)设只0为两个非空实数集合，定义集合P+0={&+引a

GP,代功,若—{0,2,5},g{l,2,6},则。+0中元素的个数为()

A.9B.8

C.7I).6

(2)已知集合4={a—2,2a°+5a,12},且一3G4则a=________.

解析:(1)；尸+<?={a+b|aW尸,660,—{0,2,5},<?={1,2,6},.•.当a=0时，a

+8的值为1,2,6；当a=2时，@+8的值为3,4,8；当a=5时，a+6的值为6,7,11,

.+0={1,2,3,4,6,7,8,11},.•.尸+0中有8个元素.

(2)V-3GA

二一3=a-2或-3=2a2+5a.

・1十3

..a=­1或a=~~.

当a=-1时，a—2——3,2a2+5a——3.

与元素互异性矛盾，应舍去.

当a=一,时，a—2=一2a2+5a——3.

.•.a=一］满足条件.

答案：(1)B⑵一5

集合间的基本关系

各典题导入

［例2］⑴(2012•湖北高考)已知集合4={x，-3x+2=0,—R},8={川0<水5,x

SN),则满足条件/fa(=8的集合C的个数为()

A.1B.2

C.3D.4

(2)已知集合4={x|log2*<2},"=(一8,a),若£B,则实数a的取值范围是(c,

+8),其中。=.

［自主解答］⑴由f—3x+2=0得x=l或x=2,

."={1,2}.

由题意知6={1,2,3,4},.•.满足条件的，可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

(2)由logzW2,得0〈x<4,

即4={x|0〈启4},而8=(一8,口)，一----.\

6，61-

04ax

由于4U8,如图所示，则a>4,即c=4.

1答案](DD(2)4

&由题悟法

1.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；

二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.

2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进

而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.

否以题试法

2.(文)(2012•郑州模拟)已知集合4={2,3},B={x\aix-6=0},若氏A,则实数0

的值为()

A.3B.2

C.2或3D.0或2或3

解析：选D当朋=0时，B=oqA；

当*0时，由归性{2,3}可得

丝2或丝3,

mm

解得m=3或ni—2,

综上可得实数m=Q或2或3.

(理)已知集合4={y|了=可-f+2x},B=|x-m\<2013},若则卬的取

值范围是()

A.[-2012,2013]B.(-2012,2013)

C.[-2013,2Oil]D.(-2013,2011)

解析：选B集合/表示函数3=#—2对勺值域，由t=—x+2x=—(%—1)"+1^1,

可得0WJ<1,故{=[0,1].

集合8是不等式Ix-m\<2013的解集,解之得ni-2013〈矛〈0+2013,所以8=5—2013,

0+2013).

因为4c3=4所以

如图，由数轴可得

m-2013<0,

勿+2013>1,m-201301m+2013

解得一2012〈亦2013.

集合的基本运算

各典题导入

［例3］(1)(2011•江西高考)若全集勺{1,2,3,4,5,6},{2,3},,k{1,4},则集

合{5,6}等于()

A.B.MCN

c.(网u(C闻D.(［励n(［闻

(2)(2012•安徽合肥质检)设集合［={x|f+2x—8<0},8=

彷)B

{x|x<l},则图中阴影部分表示的集合为(

A.{x|xNl}B.5|一4〈水2}

C.{x\—8<A<1}D.{x|lWx<2}

［自主解答］⑴：MJ-3,4},

:.a题n(CW=C〃(MJ加={5,6}.

(2)V/+2^-8<0,

：.-4<x<2,

'.A—{x|—4<x<2},

又,：B={x|水1},

图中阴影部分表示的集合为4n(［而={x|lWx<2}.

［答案］(1)D(2)D

>>>一题多变

将例3⑴中的条件“，仁⑵3}”改为“J/DA-A”，试求满足条件的集合M的个数.

解：由机LkA,'得心4

含有2个元素的集合”有1个，含有3个元素的集合材有4个，

含有4个元素的集合"有6个，含有5个元素的集合"有4个，

含有6个元素的集合M有1个.

因此，满足条件的集合"有1+4+6+4+1=16个.

&由题悟法

1.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集

合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取

舍.

2.在解决有关108=。，/U6等集合问题时，一定先考虑/或8是否为空集，以防漏

解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3以题试法

3.(2012•锦州模拟)已知全集〃=R,集合{=3/-2x>0},6={x|y=lg(x—1)},

则山⑷n6等于()

A.{x\x>2,或水0}B.{x\KX2}

C.{x|l<xW2}D.{X|1WA<2}

解析:选CA—{x\x(x—2)>0)={x\x>2,或水解,

B={x|y=lg(x—1)}={x\%—1>0}={x\x>l},

luA={x\0WxW2}.

・・・(O)ns={x|i<^2}.

―出■解题训练要―、高、>效'1<.An\iA()___抓__速__度__IJ___抓_规___范__IJ拒__绝_眼_高__手_低_II掌握程度

4级全员必做题

1.（2012•新课标全国卷）已知集合/={x|/—x—2<0},则（）

A.ABB.4力

C.A=BD.JA5=0

解析：选BA—{x|x2—x—2<0}={x\—1<A<2},

8={x|-l〈Kl},

所以6A.

2.（2012•山西四校联考）已知集合M={0,1},则满足机JA三{0,1,2）的集合N的个数

是（）

A.2B.3

C.4D.8

解析:选C依题意得,满足MU4{0,1,2}的集合”有足},{0,2},{1,2},{0,1,2}

共4个.

3.设集合占{3,log2a},Q={a,b\,若PDg{0},则户ug（）

A.{3,0}B.{3,0,1}

C.{3,0,2}D.{3,0,1,2}

解析：选B因为2C0={O},所以OCRlog2a=0,a=l,而OGQ,所以6=0.所以

AJg{3,0,1）.

4.(2012•辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)，集合A={0,1,3,5,8),集

合6=⑵4,5,6,8},则(CMn((必=()

A.{5,8}B.{7,9}

C.{0,1,3}D.⑵4,6}

解析：选B因为1U6={0,1,2,3,4,5,6,8},所以((/)D([曲=1(/U必={7,9}.

5.(2013•合肥质检)已知集合力={-2,-1,0,1,2),集合H|x|Wa},则满

足48的实数a的一个值为()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选D当a=0时，B={0}；

当a=l时，B—{—1,0,1}；

当a=2时，B={-2,-1,0,1,2}；

当a=3时，8={-3,-2,-1,0,1,2,3},

显然只有a=3时满足条件.

6.已知全集〃=R,集合1={X|3WA<7},5={X|V_7X+10<0},则。(/C皮=()

A.(一8,3)U(5,+8)B.(-8,3]U[5,+°0)

C.(一8,3)U[5,+8)D.(-8,3]U(5,+8)

解析：选C*2_7X+10〈0Q(X-2)•(x-5)<0=2<X<5,4n6={x|3Wx<5},

故面=(-8,3)U[5,+°°).

7.(2012•大纲全国卷)已知集合[={1,3,g},B={\,m},AUB=A,则如=()

A.0或4B.0或3

C.1或镉D.1或3

解析：选B法一：•.♦/1)8=4；.医儿又4={1,3,迎，8={1,而,:.m=3或m=

V®.

由加=,得勿=0或0=1.但/=1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故加=0或加

=3.

法二：・・,3={1,加},・・・RW1,J可排除选项C、D.

又当勿=3时，4={1,3,y13},B={1,3},满足4U8={1,3,/}=4故选B.

8.设S={x|K—l,或x>5},7={x|水水a+8},SUT=R,则&的取值范围是()

A.(—3,—1)B.[—3,—1]

C.(—8,—3]U(―1,+8)D.(—8,—3)U(―1,+8)

解析：选A在数轴上表示两个集合，因为SUT=R,由图可

I.

a-15a+8x

fa<—1,

得,c、「解得

〔a+8>5,

9.若集合R,A=［x\x+2>0},8={x|x'l},则4n（［㈤=

解析：由题意得（必=（-8,1）,

又因为A—{x|x+2>0}—{x|x>—2},

于是（【由=（-2,1）.

答案：（一2,1）

10.（2012•武汉适应性训练）已知48均为集合。'={1,2,3,4,5,6}的子集，且/C8

=⑶，^LtB）ClA—{1},（CMn（］近={2,4},则6。（［"）=.

解析:依题意及韦恩图得,8n(CM={5,6}.

答案：{5,6}

11.已知R是实数集，游=卜|刘,N={y\y=yjx-l},

则yvn（["力=.

解析：材={才|水0,或x>2},所以[w=[o,2],

又A-[o,+8）,所以小n（[*=[0,2].

答案：[0,2]

12.（2012•吉林模拟）已知〃=R,集合力=3/一万一2=0},B={x\/nx+l=0}rBQ（C

uA）=0,则m=________.

解析：4={—1,2},3=0时，加=0；8={—1}时，m=l；6=⑵时，/n=—1.

答案：0,1,-1

13.(2012•苏北四市调研)已知集合4={x|f+aW(a+l)x,a《R},存在a《R,使得

集合A中所有整数元素的和为28,则实数a的取值范围是.

解析：不等式？+aW(a+l)x可化为(x—a)(x-l)〈0,由题意知不等式的解集为

{xllWxWa}.A中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为

-----3一=28,所以7Wa<8,即实数a的取值范围是［7,8).

答案：［7,8)

14.(2012•安徽名校模拟)设集合S={1,2,3,…，〃},若厄S,把才的所有元素的

乘枳称为X的容量(若才中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量

为0).若才的容量为奇(偶)数，则称乃为S,的奇(偶)子集.则S,的所有奇子集的容量之和

为.

解析：•••S={1,2,3,4},...X=。，⑴，⑵,{3},⑷,{1,2},{1,3},{1,4},⑵3},

{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.其中是奇子集的为才

={1},{3},{1,3},其容量分别为1,3,3,所以S的所有奇子集的容量之和为7.

答案：7

B级重点选做题

1.(2012•杭州十四中月考)若集合[={/y=lgx,得WxWlOB-(—2,—

1,1,2},全集〃=R,则下列结论正确的是()

A.B.(DJ)U5=[-l,1]

C.4U8=(-2,2)D.([MnQ]-2,2]

解析：选AVxe-^7,10,AyGL-l,1],

：.AC\B={~\,1}.

2.设/是自然数集的一个非空子集，对于AG/,如果N44且，息4,那么4是/的

一个“酷元”，给定S={xGN)=lg(36-f)},设厄S,且集合必中的两个元素都是“酷

元”，那么这样的集合〃有()

A.3个B.4个

C.5个D.6个

解析：选C由36—f>0,解得一6〈水6.又因为xGN,所以S={0,1,2,3,4,5}.

依题意，可知若k是集合〃的“酷元”是指如与qz都不属于集合屈显然4=0,1都不

是“酷元”.

若4=2,则2=4；若4=4,则、/1=2.所以2与4不同时在集合M中，才能成为“酷

元”.

显然3与5都是集合S中的“酷元”.

综上，若集合材中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：

(1)只选3与5,即4(3,5}；

(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即4{3,2}或{3,中或{5,2}或{5,4}.

所以满足条件的集合M共有5个.

3.(2013•河北质检)已知全集〃=R,集合g{x|x+aeO},/V=31ogz(x—

若(。血={x|x=l,或x23},那么()

A.a=—1B.后1

C.a=lD.心1

解析：选A由题意得"={x|x2—a},A—[x\KX3),所以{x|xWl,或xN3},

又始([戒={x|*=l,或x23},因此一a=l,a=-1.

4.给定集合4若对于任意abGA,有且己一6£4则称集合力为闭集合,

给出如下三个结论：

①集合4={-4,—2,0,2,4}为闭集合；

②集合[={〃|"=34，ACZ}为闭集合；

③若集合4,4为闭集合，则4U4为闭集合.

其中正确结论的序号是一

解析：①中，-4+(―2)=-6建4,所以不正确；

②中设〃1,mGA,〃1=3%，ni—iki,k\,ki^l,则"+小^/，m—aGA,所以②正确；

③令4={-4,0,4},4={-2,0,2},则4,4为闭集合，但4U4不是闭集合，所以

③不正确.

答案：②

5.已知集合4={x|J—2*—3W0,xGR},8={x|®—2W疟勿+2}.

(1)若/C8=[l,3],求实数卬的值；

(2)若/UG8,求实数小的取值范围.

解：/={x|—1W后3},6={x|以一2<*<m+2}.

f/z?-2=l,

⑴•••如8=[1,3],—得卬=3.

[勿十233,

(2)[仍={x|x<0—2,或x>z»+2}.

•；忙QB,.•.而一2>3或/2V—1.

.,.m>5或ffl<—3.

即明的取值范围为(-00,—3)U(5,+°°).

6.(2012•衡水模拟)设全集/=R,已知集合物={x|(x+3)t0},"={x[*+x-6=0}.

(1)求(。协

(2)记集合4=([励C/M已知集合6={x|a—1W运5—a,aGR},若8U4=4,求实数

a的取值范围.

解：⑴；M=3(叶3)<0}={-3},

N=33+太-6=0}={-3,2},

[iM—{x|xGR且xW—3},

((MH^={2}.

⑵4=([而m4⑵，

'：AUB=A,.•.医4.•.8=0或8={2},

当归o时，a-l>5-a,，a>3；

[a—1=2,

当Q⑵时，Lc解得a=3,

[5—a=2,

综上所述，所求a的取值范围为{Ha23}.

建特备选题

1.现有含三个元素的集合，既可以表示为卜，1