高中数学：基本不等式知识点总结

高中数学：基本不等式知识点总结

命题趋势

基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参

数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也

会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时，要

注意"拆、拼、凑"等技巧，特别要注意应用条件，只

有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能

会导致结果错误.

知识网络

基本不等式成立的条件a>0,/?>0

基本不等

式：等号成立.的条件

当且仅当

疝3

2时取等号.

a2—b22ab(abER).

ba-cu,口、

一+7之2(a,b同rj)-以上不等式等

几个重要ab

号成立的条件

的不等式(a+h\

Clb<(a,bwR)

\-J均为a=》.

2

m(ti,b€R)

设a>0,/>>0,则a,b的算术平均数为

算术平均

―,几何平均数为疝，基本不等式可

数与几何2

叙述为两个正数的算术平均数不小于它们

平均数

的几何平均数.

如果积xy是定值〃，那么当且仅当x-y时，

利用基本

x+y有最小值2J5.（简记：积定和最小）

不等式求

如果x+y是定值P，那么当且仅当x=y

最值问题

时，xy有最大值上.（简记：和定积最大）

4

§

数学思想在不等式问题中的体现

1、分类讨论思想

例1.已知不等式k(x-2)>x+6,(1)求该不等式中x的集

合；(2)若1不是不等式的解，。是不等式的解，求k

的取值范围。

解：(1)(k-l)x>2k+6

f2k+6\

当k>l时，解集为产

当k=l时，解集为。

f.2k+61

当k〈l时，解集为产

f-k<1+6

(2)12k>6

所以-7£k<-3

小结：当一次项系数为。时，不等式成为两个常数比较

大小的形式，与X取值无关。

因此，不等式的解集为R(不等式成立时)或。(不等式

不成立时)。

2、转化与化归思想

例2.已知a,b,C为正整数，且a?+M+c2+48<4a+6b+12c,

fii1ybe

求仁十/9的值。

解：因为不等式两边均为正整数，所以不等式

22+1)2+(?+48<42+66+12(:与不等式22+62+(?+48+1442+66+12£：等

价，这个等价不等式又可转化为

222

a-4a+b-6b+c-12c+49<0o

(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2<0

a-2=0,b-3=0,c-6=0

即a=2,b=3,c=6

小结：将等式与不等式对应等价转化，是转化数学问题

的常用且非常有效的手段。

3、换元思想

_1_<25+122<1

例3.解不等式12xVx+1~6

解：若令后T=t则X=t2_l

*.*x>-1,且Xw0

，t>。且t工1

1t-11

，不等式化为12(t2-l)t6、

即12(t+l)t6、

/.6<(t+l)t<12(t>o,t*l)

解得2MtM3

从而2s历iS3

BP4<x+l<9

・••不等式的解集是{X|3WX«8}

4、数形结合思想

例4.设a<0为常数，解不等式E装+2x>a。

解：不等式转化为E装>a-2x

令函数，依）=Va2-ax和g（x）=a-2x

其图象如图所示

由Ja，-ax=a-2x

解得x=1酶=。（舍去）

7

.•.两个函数图象的交点为pg-?

由图知，当彳时，函数？=曲)的图象位于函数丫=取)的

图象的上方

・•・不等式的解集是伊”才

小结：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用

的技巧。

通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式

或基本不等式，

通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直

观、形象的图象关系。

对含有参数的不等式，运用图象法，还可以使得分类标

准更加明晰。

5、方程思想

例5.已知一a-=\求证M24ac(a,b,ceR)

分析：结论可以转化为产-4“加，恰好是一元二次方程

有实根的必要条件。

解：由已知可化为

ax?+bx+c=O有实根2,从而需要判别式ANO,即M^4ac成

立。

6、构造思想

810350

例6.解不等式而k二T-X-〜

分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维

来做，运算较繁杂。

但注意到(x+以+x+llx+lj+U+1J,且题中出现X3+5X,

启示我们构造函数f(x)=x3+5X去投石问路。

解：将原不等式化为Q9”QJ)>X3+5X

令f(x)=x3+5x

则不等式等价于《等>3)

f(x)=x3+5x在R上为增函数

2

•••原不等式等价于二I八

解得或x<-2

7、整体思想

例7.已知做”会一,且-4Wf(l)W-L-M⑵W5,求f⑶的范

围。

解:令f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=(m+4n)a-(m+n)c

r4q1-2

m+n=18

可得r=3

.f(3)=1f(2)-|f(l)

••JJ

又-4Wf(l)4-L-l4f(2)45

可解得-lWf(3)W20

小结：题中f(l)=a-c,f⑵=4a-c,且-444^2)45是四个

整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整

体结构。

四

典型例题精选

题型一对公式的简单运用

例1.（教材改编）设x>0,y>（）,且.r+y=18,则外

的最大值为（）

A.80B.77C.81D.82

【解析】vx>0>j>0,

二平之后（平）、81，

当且仅当x=y=9时，何取得最大值81.

故选C.

【答案】C

例2.a>0,b>0»ab—(a~\~b)=1,则a+b的最小

值是.

【解析】根据基本关系式竽J,

所以原式转化为不等式(若j—(a+3之1,

设a+b=f,所以7-4f-4N0,

解得壮2+2近，

所以最小值是2+20.

【答案】2+2近

【小结】首先利用基木不等式一定要注意“一正、二定、

二相等”.其次用基本不等式解决一些简单的最值问题

如第：题，出现〃0-("+力=1,求0+人的最值就保

留a+人，对ab运用基本不等式，类似的也可求。人的

最值.

题型二：条件最值问题

例3.己知为正数，且x+y=2,则2+1•的最小

xy

值为()

A.2B.—+y/2

C.>/2D.2-72

【解析】—+—=—(X4-¥)*(—+—)

xy2xy

=l(3+r2-+-)>l(3+2>/2)=-+V2,

2xy22

当且仅当x+y=2且红=土(x>0,y>0),

xy

即、二4一2及，y=20—2时取等号.故选B.

例4.(2014•重庆高考文9)若log4(3(7+4b)=log2J茄,

则a+h的最小值是()

A.6+2>/3B.7+25/3

C.6+4>/3D.7+45/3

【解析】由题意，。匕>0且3〃+4。>0,

所以。>0,6>0.

又log4(36/+4b)=log24ab,

~43

所以+4/?=<7/2,所以一"I■—=1.

ab

所以a+0=(a+0)(4+；)=7+竺+

>7+2^--y=7+4>/3,

当且仅当竺=加，即。=4+26，O=3+2j5时,

ab

等号成立.故选D.

【小结】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元

法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代

入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变

形，利用常数"1"代换的方法构造和或积为常数的式

子，然后利用基本不等式求解最值.

2

题型三形如/（%）="£+二”的取值范围问题

X

r?+r+4

例5,⑴当x>0时，求函数y二^^士二的最小值;

x

x'—41+5

(2)若x>2,求的最小值.

x—2

【解析】(1)由于x>0,

所以函数,，='+生士4=x+g+2之2犀+226,

XXVX

4

当且仅当％=—时等号成立.

X

又因为x>0,

所以当x=2时)，=-/一+^-+―4取得最小值6.

x

(2)因为x>2,

所以二4-5二(r2)：1=(x_2)+—>2,

x-2%-2x—2

当且仅当x-2=—时等号成立.

x-2

又因为x>2,

所以当x=3时『一一十5取得最小值2.

x-2

r2+Y+n

例6.已知函数=—二^,xe[l,+8).

X

(1)当4=1时，求函数.〃X)的最小值：

(2)若对任意土c[l,+8),/(幻＞0恒成立，试求实数

a的取值范围.

【分析】(I)分离常数，判定函数的单调性，进而求最

值；(2)分析题意，研究分子恒成立.的条件即可，再利

用二次函数的单调性求最值.

【解析】(1)当〃=工时，f(x)=x+—+2,

22x

因为f(X)在区间[1,+8)上为增函数,

7

所以/(x)在区间[1,+8)的最小值为/⑴=].

(2)在区间［1,+8)上，/U)---二^>0恒成'工

X

U>X24-2X+67>0恒成立.

令y=x2+lx+a,xG［1,+8),

y=x2+2A+a=(A+I)2+a-1在［l,+8)递增，

；•当x=l时,=3+a.

于是当且仅当);由=3+4>0时，函数/(x)恒成立，

故a>-3.

【小结】看好形式上的特点，分子分母同时除以自变

量x,或通过其他变形出现基本不等式的可用情况，

如积为定值的形式.需要注意的是等号成立的条件，

如果不成立，则需转化为对勾函数的知识，运用求导

并结合其图像解题.

题型四多变量综合

例7.（2013•山东高考理12）设正实数A,V,Z满足

.?-3.v'+4/-z=0.则当£取得最大值时，

o1o

--1------的最大值为（）

xyz

9

A.0B.1C.-D.3

4

［解析］由x2-3炉+4）?一z=0，得z=f-3xy+4y:.

所以且=12^_r

zx-3;ty+4y

当且仅当e二曳，即x=2），时取等号.

此时Z=2y2,卢）max=L

—2T--1---2------2-----卜1----2-----

>'3'12yy肛

----F1-----

2y2y=].故选B.

2

/

题型五利用基本不等式证明

例8.设〃>0/>0,4+〃=1.求证：+-+—>8.

abab

【证明】•••a>(),/?>0,4+匕=1,

11111a+b

.・.一十-+—=-«|—H----------

ab

11

=—।—

ab

=21+

当且仅当a=b=:,取“=”号,

2

111

故I；—।—I---28o

abab

例9.若实数x,y,z满足f+）?+/=],求

肛+穴+工x的取值范围.

【证明】xy+yz-^-zx

<、+)2j+X"

2

又•.•2Cq，+”+zx)

=(x+y+z)2-(x2+y2+z2)>0-1=-L

1

/.xy'+vz+zx>----

''2

【小结】基本不等式具有将"和式"转化为"积式”和将

"积式"转化为"和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）

的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两

边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

题型六基本不等式应用题

例10.某兴趣小组要测量电视塔的高度〃（单位：

〃。如图所示，垂直放置的标杆的高度”=4小，仰角

ZABE=a,/ADE=〃.

⑴该小组己测得•组a、夕的值,兜出了tana=1.24,

tan夕=1.20,请据此算出，的值：

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到

电视塔的距离d（单位：，"），使a与夕之差较大，可以

提高测量精度.若电视塔的实际高度为125机，试问d

为多少时，a-/3最大？

【分析】此题关键要找出。点的位置，清楚“一夕最大

时tan（a一4）也最大.

Ap4rnr

【解析】(I)因为tana=——,tan尸=—=

BADADI3

AE=H、

UfJA

则区4=---------，OA=----------,DB=----------，

tanatan0tan(3

因为/M=Q8+4A,

所a”以--H--=---4-+--H--

tai)ptailptana

代入tana=1.24,tan/?=1.20,得