苏教版2019版高中数学必修第一册第3章不等式知识点清单

苏教版2019版高中数学必修第一册

第3章不等式知识点清单

目录

第三章不等式

3.1不等式的基本性质

3.2基本不等式

3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

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第三章不等式

3.1不等式的基本性质

一、两实数大小关系的基本事实

1.a>b=a-b>0；a=b=a-b=O；a<b=a-b<0.

二、不等式的基本性质

性质1:若a>b则b<a.

性质2:若a>bb>c,贝Ua>c.

性质3:若a>b贝a+c>b+c.

性质4:若a>bc>0,贝ac>bc；若a>b,c<0,贝ac<bc.

性质5:若a>bc>d,贝1Ja+c>b+d.

性质6:若a>b>0,c>d>0,贝Uac>bd.

特别地,若a>b>0,贝ljabblnEN)

三、比较实数（代数式）的大小

作差比较法作商比较法

a-b>0=a>b；

a>0,b>0且(>10a>b；

依据a-b<0=a<b；

a>0,b>0且今a<b

a-b=0=a=b

应用范围作差后可化为积或商的形式同号两数（式）比较大小

①作差；①作商；

②变形；②变形；

步骤

③判断符号；③判断商与1的大小关系；

④下结论④下结论

①分解因式；

变形②平方后作差；

按照同类的项进行分组

技巧③配方法；

④分子（分母）有理化

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四、利用不等式的性质求代数式的取值范围

利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问

题，对于这类问题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，

在一个解题过程中多次进行这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围.解决此类问

题，可先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过一次不等关系的

运算求得待求式的取值范围.

五、利用不等式的性质证明不等式

利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形时,

一要考虑已知不等式与未知不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形要等价，三要

注意性质使用的前提条件.

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3.2基本不等式

一、两个重要不等式

不等式变形等号成立的条件注意

,_^a2+b2

abW,

2

a2+b2^2ab当且仅当a二b时，等号成立a,bER

abw”)

基本不等式：

府w处a+b^2Vab当且仅当a二b时，等号成立a,bNO

2

二、基本不等式与最值

1.对于正数a,b

(1)和a+b为定值s时，积ab有最大值，当且仅当a二b二时取得最大值；

⑵积ab为定值p时，和a+b有最小值，当且仅当a二b二即时取得最小值.

2.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件

一正——各项均为正数.

二定——和或积为定值.

三相等一一等号成立的条件.

3.基本不等式链

已知a,b为正实数，则后盾》学三疝三最(当且仅当a二b时，等号成立)，

Yab

其中、母称为平方平均数，蜉称为算术平均数，府称为几何平均数，二称为

'22

调和平均数.

三、利用基本不等式求无附加条件的最值

1.利用基本不等式求最值的注意事项

⑴一正：各项必须都是正值.

若各项都是正数，则可以直接用基本不等式求最值；若各项都是负数，则可以整

体提出负号，化为正数，再用基本不等式求最值；若有些项为正数，有些项为负数,

则不可以用基本不等式求最值.

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⑵二定：各项之和或各项之积为定值.

解决利用基本不等式求最值问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，常见的凑项技

巧：

①拆（裂项、拆项）：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离一一分离成整

式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式

凑定值创造条件.

②并（分组并项）：分组后，各组可以单独应用基本不等式或先对一组应用基本不等式，

再在组与组之间应用基本不等式得出最值.

③配（配式、配系数）：根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相

乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，积式中的各项之和为定值.

（3）三相等：必须验证取等号时条件是否成立，若等号不成立，则不能用基本不等式求

最大（小）值.

四、利用基本不等式求有限制条件的最值

利用基本不等式求有限制条件的最值常见的解法是换（常值代换、变量代换），首

先对条件变形，以进行代换，再构造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知

ax+by=m（a,b,x,y均为正数），求的最小值”和"已知：+£=m（a,b,x,y均为

正数），求x+y的最小值”两种类型.

五、利用基本不等式证明不等式

1.利用基本不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通

过将

“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果.证明不等

式常用的变形技巧：

⑴拆分、配凑：将所要证明的不等式先拆分成几部分，再利用基本不等式证明.

⑵常值代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子，将“常值”

代入

后再利用基本不等式证明.

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2.多次运用基本不等式时，需要注意两点：一是不等号方向要一致，二是等号要能同

时取到.

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3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

一、二次函数的零点

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a片0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(aX0)当函数值取

零时自变量x的值，即二次函数y=ax2+bx+c(aX0)的图象与x轴交点的横坐标，也称

为二次函数y=ax'+bx+cg/O)的零点.

二、一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式.

2.一元二次不等式的一般形式

ax2+bx+c>0(^0)^^ax2+bx+c<0(^0)(a,b,c均为常数，且a声0).

三、三个“二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系

判别式△=b?-4ac△>0△二0△<0

iI

yyy卜

二次函数y=ax2+bx+c

(a>0)的图象x\0/x2X

\/zy—/v*/y

0AJJ-A^2，40X

有两个相等的

一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相异的实数根

实数根没有实数根

(

(a>0)的根Xi,X2X1<X2)b

…二-石

(-8，-£)U

一元二次

ax2+bx+c>0(a>0)(-00,X1)U(X2,+00)二,+8)R

不等式的

解集

2

ax+bx+c<0(a>0)(X1,x2)00

注意：当一元二次不等式的二次项系数为负时，可化为正数再求解.

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四、一元二次不等式的解法

L解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

⑴化标准：通过对不等式的变形，使不等号右侧为0,左侧的二次项系数为正.

⑵判别式：对不等号左侧因式分解，若不易分解，则计算其对应方程的判别式.

⑶求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

⑷画草图：根据一元二次方程根的情况画出其对应的二次函数图象的草图.

⑸写解集：根据图象写出不等式的解集.

2.解含参数的一元二次不等式

⑴不改变解题步骤.

⑵根据运算的需要进行分类讨论：

①讨论二次项系数当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数与0的大小关系，

然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；

②讨论不等式对应方程根的个数：当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,

讨论判别式△与0的关系；

③讨论两根的大小：确定方程有两根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形

式.

五、三个“二次”之间的关系

1.三个“二次”之间的关系

⑴在三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元

二次方程和一元二次不等式的形式来解决.

⑵研究一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二

次函数的图象及性质来解决相关问题.

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2.应用三个“二次”之间的关系解题的思路

已知以a,b,c为参数的不等式（如ax