高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）专题强化训练一 直线方程综合高频考点必刷题(附答案)

专题强化训练一：直线方程常考综合考点必刷题一、单选题1．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理））设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022·江苏·高二单元测试）已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高二期中）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（

）．A． B．C． D．4．（2022·全国·高二单元测试）对于直线：（），现有下列说法：①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变；②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限；③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；④当取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（

）A． B． C． D．5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知直线l：，则下列结论正确的是（

）A．直线l的倾斜角是B．直线l在x轴上的截距为1C．若直线m：，则D．过与直线l平行的直线方程是6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝08．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期末）①直线在轴上的截距为；②直线的倾斜角为；③直线必过定点；④两条平行直线与间的距离为.以上四个命题中正确的命题个数为（

）A． B． C． D．9．（2022·浙江省杭州学军中学高二期末）原点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．10．（2021·四川省绵阳南山中学高二期中（理））在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（

）A． B．7 C．5 D．11．（2022·江苏·高二单元测试）已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2021·江苏·高二期中）已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．13．（2022·江苏·高二期末）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为A． B． C． D．14．（2019·湖北·随州市第一中学高二期中）已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（

）A． B． C． D．15．（2021·全国·高二单元测试）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题16．（2021·江苏苏州·高二期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，与都有公共点C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都不垂直17．（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高二期中）下列说法中，正确的是（

）A．直线在轴上的截距为B．直线的倾斜角为C．，，三点共线D．过点且在轴上的截距相等的直线方程为18．（2022·全国·高二单元测试）下列说法错误的是A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过，两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为19．（2021·全国·高二单元测试）下列说法正确的是（

）A．点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3）B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0D．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是820．（2021·山东枣庄·高二期中）下列说法正确的是（

）A．过，两点的直线方程为B．点关于直线的对称点为C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为21．（2021·福建省福州高级中学高二期中）已知直线，，则（

）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限22．（2022·全国·高二单元测试）已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（

）A．线段PQ的长度的最小值为B．当PQ最短时，直线PQ的方程是C．当PQ最短时P的坐标为D．线段PQ的长度可能是三、填空题23．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）若直线与直线互相垂直，则实数=_______24．（2021·浙江·高二单元测试）若直线的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_______.25．（2018·湖北湖北·高二期中（理））过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是______.26．（2021·天津河西·高二期中）直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为___________.27．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设点和，在直线：上找一点，使取到最小值，则这个最小值为__________28．（2021·江苏·高二单元测试）过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为______________.四、解答题29．（2021·北京市第四十三中学高二期中）已知平面内两点．（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程；（3）一束光线从点射向（2）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．30．（2021·重庆市朝阳中学高二期中）已知的三个顶点分别为，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.31．（2018·湖北湖北·高二期中（文））已知直线．（1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．32．（2022·全国·高二单元测试）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．33．（2020·安徽省太和第一中学高二期中）设直线的方程为.(1)求证:不论为何值，直线必过一定点;(2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长;(3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.34．（2021·湖北·沙市中学高二期中）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.（1）求点坐标；（2）求直线的方程.35．（2021·上海·复旦附中高二期末）已知点和点关于直线：对称．（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．参考答案：1．A【分析】由“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.【详解】解：若a＝－2，则直线l1：－2x＋2y－1＝0与直线l2：x－y＋4＝0平行；若“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件．故选：A2．D【分析】画出图形，由图可知，或，从而可求得答案【详解】因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，所以由图可知，或，因为或，所以或，故选：D3．B【分析】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．【详解】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选：B．4．C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．【详解】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确；故选：C5．D【分析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D.设要求直线的方程为，将代入即可.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；故选：D6．A【分析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.【详解】对直线，变形为，故其恒过定点，若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可.数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角；当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为.根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：.故选：A.7．B【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B．8．B【分析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.【详解】对于①，直线，令，则，直线在轴上的截距为-，则①错误；对于②，直线的斜率为，倾斜角为，则②正确；对于③直线，由点斜式方程可知直线必过定点，则③正确；对于④，两条平行直线与间的距离为，则④错误.故选：B.9．C【分析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；【详解】因为可化为，所以直线过直线与直线交点，联立可得所以直线过定点，当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，此时最大值为，故选：C.10．D【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.【详解】因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行，直线和之间的距离为：，和之间的距离为：，于是有：，故选：D11．A【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线l的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可【详解】可化为：设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有：x+y−2=02x−3y+1=0可得：为直线的定点则有：，此时为点P到直线l的最大距离若在直线上，则有：，即可得：不可能在直线上，则有：综上可得：故选：A12．A【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，从而得出l的斜率的取值范围,即得解【详解】设直线过定点，则直线可写成，令解得直线必过定点．，．直线与线段相交，由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是．故选：A【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．13．A【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8

②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．14．A【详解】分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线与直线平行，所以，又直线在轴上的截距为，所以，解得，所以，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.15．A【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，由，解得或（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．故选A．【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．16．AC【分析】给出特殊值可以确定选项AC的正误，由直线恒过定点可判断选项B的正误，利用直线垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程可确定选项D的正误.【详解】逐一考查所给的选项：A.存在，使得的方程为，其倾斜角为90°，故选项不正确．B直线过定点，直线过定点，故B是正确的．C.当时，直线的方程为，即，与都重合，选项C错误；D.两直线垂直，则：，方程无解，故对任意的，与都不垂直，选项D正确．故选：AC.【点睛】本题主要考查两条直线之间的位置关系，直线恒过定点及其应用，直线垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．BC【分析】结合直线截距的意义、直线倾斜角和斜率的概念以及平面共线向量的运算依次判断选项即可.【详解】A：直线在y轴上的截距为-3，故A错误；B：，所以直线的斜率为，则倾斜角，故B正确；C：由可得，所以，A、B、C三点共线，故C正确；D：过点且在x、y轴截距相等的直线方程为或，故D错误.故选：BC18．ACD【分析】对于A．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D．过原点的直线也满足条件．【详解】解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误，对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确，对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误，对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误，故选：ACD．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大．19．ACD【解析】通过对称性判断A；两点式方程的体积判断B；截距式方程判断C，三角形的面积判断D；【详解】点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），所以A正确；当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），两点的直线方程为，所以B不正确；经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，所以正确；直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：8，所以D正确；故选：ACD.【点睛】本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法，直线的位置关系的判断，是基本知识的考查.20．BC【解析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误．【详解】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；对于B：点

(0,2)

与

(1,1)

的中点坐标，

满足直线方程,

并且两点的斜率为：

−1,

所以点

(0,2)

关于直线

y=x+1

的对称点为

(1,1)

，所以

B

正确；对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：

2,−2,

直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C

正确；

对于D：经过点

(1,1)

且在

x

轴和

y

轴上截距都相等的直线方程为

x+y−2=0

或

y=x

，所以

D

不正确；故选：BC.【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的情况，属于基础题．21．BD【分析】A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.【详解】，当，即，即直线恒过点，故A不正确；若，则有，解得：，故B正确；若，则有，得，故C不正确；若直线不经过第三象限，则当时，，，解得：，当时，直线，也不过第三象限，综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.故选：BD22．AC【分析】当PQ垂直直线时，PQ最短，即可判断A、D，设出P坐标，根据最短使PQ与直线垂直求解P坐标，即可判断C，由两点式求出直线方程，即可判断B．【详解】解：当PQ垂直直线时，PQ最短，Q到直线的距离为，故A正确；故PQ的长度范围为，，故D错误；设，则，解得，故P为，故C正确；此时直线PQ的方程是，即，故B错误，故选：AC．23．【详解】：，即24．【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为正切函数在上单调递增，所以，当时，，所以斜率【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.25．【解析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点，可得在以为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．【详解】解：由直线化为，令，解得，所以直线过定点，因为为垂足，所以为直角三角形，斜边为，所以在以为直径的圆上运动，由点可知以为直径的圆圆心为，半径为，则的取值范围，又因为，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．26．【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.【详解】∵直线，∴，由，得，∴直线恒过定点，可设直线方程为，则，，又，即，当且仅当时取等号，∴，当面积最小时，直线的方程为，即.故答案为：.27．【解析】求出点关于直线：的对称点为，连结，则交直线于点，点即为所求的点，此时，.【详解】解：设点关于直线：的对称点为线段的中点在上则又，解得，故答案为：【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，属于中档题.28．【解析】设两交点分别为，，利用中点为原点求解a,b，得到A点坐标，即得解.【详解】设两交点分别为，，则故点，所以直线的方程为.故答案为：【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.29．（1）；（2）；（3）.【分析】(1)先求的中点坐标为，利用两直线垂直，则，再利用点斜式写出直线方程即可；（2）利用两直线平行，则，再利用点斜式写出直线方程即可；（3）先利用点关于直线的对称点求关于直线的对称点，的中点在直线上，，则斜率乘积为1，联立方程可解，，再利用点斜式写出直线方程即可.【详解】（1），，∴的中点坐标为，，∴的中垂线斜率为，∴由点斜式可得，∴的中垂线方程为；（2）由点斜式，∴直线的方程，（3）设关于直线的对称点，∴，解得，∴，，由点斜式可得，整理得∴反射光线所在的直线方程为.30．（1）；（2）.【分析】（1）直接由两点式求边所在直线的方程；（2）求出点的坐标为（－4，2），再利用两点式求中线所在直线的方程.【详解】（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；（2）由题意，得点的坐标为（－4，2），由两点式，得所在直线的方程为，即.31．（1）证明见解析；（2）面积的最小值为4，直线的方程为．【分析】（1）先将直线方程化成点斜式，求得、的值，可得定点坐标，再根据定点在第一象限，可得直线始终经过第一象限；（2）法一：先求得、的坐标，可得的面积为表达式，再利用基本不等式，求得的最小值及此时的值，进而得到此时直线的方程．法二：设直线的方程为，则，直线过定点，所以，利用基本不等式求得，则可得的最小值及此时的的值，进而得到此时直线的方程．【详解】（1）因为直线，即，令，求得，，即直线过定点且在第一象限，所以无论取何值，直线始终经过第一象限．（2）方法一：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以，令，解得；令，得，即，，∴，∵，∴，则，当且仅当，也即时，取得等号，则，∴，从而的最小值为4，此时直线的方程为，即．方法二：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，设，，设直线的方程为，则，又直线过定点，所以，又因为，，所以，即：，所以，∴，即的最小值为4，此时，解得，，所以直线的方程为，即：．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题和直线方程，涉及三角形的面积、截距的定义，以及利用基本不等式求面积最值，考查计算能力．32．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.【详解】（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上