高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.6指数函数与对数函数(能力提升卷)(原卷版+解析)

专题4.6指数函数与对数函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1，aA．a>0，b<−1 B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1 D．0<a<1，−1<b<02．（2021·全国·高一课时练习）已知a=ln13，b=30.3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b3．（2020·北京·高考真题）已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0A．(−1,1) B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(0,1) D．(−∞,0)∪(1,+∞)【答案】D4．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知4a=8，2m=9n=6A．52 B．18 C．15．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95A．60 B．63 C．66 D．696．（2022·全国·高三专题练习）若a=log23，b=log34，c=log45A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a7．（2022·全国·高一课时练习）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在12B．是奇函数，且在−1C．是偶函数，且在−∞，D．是奇函数，且在−∞，8．（2022·全国·高三专题练习）若不等式log21+2x+(1−a)A．[0,+∞) B．[1,+∞) C．(−∞,0] D．(−∞,1].多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·江苏常州·高一期中）以下运算中正确的是（

）A．若lg2=m,lg3=n，则logC．若a+a−1=14，则a10．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）下列结论中，正确的是（

）A．函数y=2B．函数y=ax2C．若am>D．函数f(x)=ax−211．（黑龙江省联考2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知e是自然对数的底数，函数f(x)=e−x满足不等式f(3n−2m)+f(2−n)>0，则下列结论正确的是（

）A．em>2en C．ln(m−n)>0 D．12．（2021·福建·莆田第四中学高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2．已知函数f(x)=ex1+exA．g(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{−1,0,1}填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021·全国·高一课时练习）若alog43=14．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=2x+2,x≤1,15．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知函数f(x)=ln(x2−1)+16．（2022·上海·高一专题练习）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=x解答题（共6小题，满分70分）17．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝ax−1ax+1（1）若f(2)＝35，求f(x（2）讨论f(x)奇偶性．18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数fx=logax+1(1)判断并证明函数fx(2)若a=2，求函数y=f219．（2021·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=logax，g(x)=loga(2x+m−2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a的值.（2）当a>1时，不等式f(x)<2g(x)在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.20．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）（1）已知函数gx=a+1x−2+1a>0的图像恒过定点A，且点（2）已知−1≤log1221．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））已知函数fx(1)判断并证明fx(2)若fk⋅3x+f322．（2022·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=4log2x+1log(1)求函数f(x)在区间(1,+∞(2)求函数g(x)在区间[1,2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1,+∞)，∃x专题4.6指数函数与对数函数（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=logax−b（a>0且a≠1，aA．a>0，b<−1 B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1 D．0<a<1，−1<b<0【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数fx=又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=1+b>0，即b>−1又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以−1<b<0，故选：D2．（2021·全国·高一课时练习）已知a=ln13，b=30.3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b【答案】C【解析】分别将a,b,c与0,1比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.【详解】因为a=ln13<ln1=0故选：C3．（2020·北京·高考真题）已知函数f(x)=2x−x−1，则不等式f(x)>0A．(−1,1) B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(0,1) D．(−∞,0)∪(1,+∞)【答案】D【分析】作出函数y=2x和【详解】因为fx=2x−x−1在同一直角坐标系中作出y=2x和两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或所以不等式fx>0的解集为：故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.4．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知4a=8，2m=9n=6A．52 B．18 C．1【答案】A【分析】运用对数运算性质及换底公式即可获解.【详解】4a=8，∴a=log∴m=log26∴1m=∴b=∴a+b=故选：A5．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】将t=t∗代入函数It=K【详解】∵It=K1+e所以，0.23t∗−53故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6．（2022·全国·高三专题练习）若a=log23，b=log34，c=log45A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a【答案】D【解析】根据对数函数的性质可得a>1,b>1，c>1，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出a,c的大小关系，a,b分别与中间值32比较，得出a>32>b>1，b,c分别与中间值【详解】解：由题意，log23>log22=1即a>1,b>1，c>1，∵c=log而a=log23>∵a=log23>即a>3又∵54=而44>35，则同理，∵54=而45>54，则综上得：a>3所以c<b<a.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查对数的大小比较，考查对数函数单调性的应用和对数的运算性质，与中间值1，32，54比较，以及运用公式7．（2022·全国·高一课时练习）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在12B．是奇函数，且在−1C．是偶函数，且在−∞，D．是奇函数，且在−∞，【答案】B【分析】先求出fx的定义域结合奇偶函数的定义判断fx的奇偶性，设t＝|2x+12x−1|，则y＝lnt，【详解】解：由2x+1≠02x−1≠0，得x≠±1又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝ln|2x+12x−1∵2x+12x−1=1+2可得内层函数t＝|2x+12x−1在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−又对数式y＝lnt由复合函数的单调性可得，f（x）在（−12，在（﹣∞，−12），（故选：B．8．（2022·全国·高三专题练习）若不等式log21+2x+(1−a)A．[0,+∞) B．[1,+∞) C．(−∞,0] D．(−∞,1].【答案】D【分析】先将不等式化简，进而参变分离转化为求函数最值问题，最后解得答案.【详解】题设不等式化为log21+21+2x≥a⋅易知y=13x+2所以由不等式a≤13x故选：D.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·江苏常州·高一期中）以下运算中正确的是（

）A．若lg2=m,lg3=n，则logC．若a+a−1=14，则a【答案】ABD【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可.【详解】对选项A，log5对选项B，13对选项C，因为a+a−1=14因为a+a所以a1对选项D，4=1−故选：ABD10．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）下列结论中，正确的是（

）A．函数y=2B．函数y=ax2C．若am>D．函数f(x)=ax−2【答案】BD【解析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.【详解】选项A.根据指数函数的定义，可得y=2选项B.当a>1时，y=ax选项C.当0<a<1时，函数y=ax单调递减，由am选项D.由f(2)=a2−2−3=−2，可得f(x)故选：BD【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题.11．（黑龙江省联考2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知e是自然对数的底数，函数f(x)=e−x满足不等式f(3n−2m)+f(2−n)>0，则下列结论正确的是（

）A．em>2en C．ln(m−n)>0 D．【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到m>n+1，利用不等式的性质即可一一判断.【详解】fx的定义域为R，f所以fx因为y=e−x=1e所以fx在R又f3n−2m+f2−n>0，则f3n−2m>−f2−n因为y=ex在R上是增函数，所以因为n>−1，所以m+1>m>n+1>0，所以n+1m+1因为y=lnx在所以lnm−n>ln取m=1，n=−3，满足m>n+1，但m2022故选:ABC．12．（2021·福建·莆田第四中学高一阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2．已知函数f(x)=ex1+exA．g(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{−1,0,1}【答案】BC【解析】计算g(−1),g(1)得出g(1)≠g(−1),g(1)≠−g(−1)判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证f(x)是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出f(x)在R上是增函数，判断选项C正确；由y=ex的范围，利用不等式的关系，可求出【详解】根据题意知，f(x)=e∵g(1)=[f(1)]=eg(−1)=[f(−1)]=1∴g(1)≠g(−1),g(1)≠−g(−1)，∴函数g(x)既不是奇函数也不是偶函数，A错误；∵f(−x)=e∴f(x)是奇函数，B正确；∵y=ex在R上是增函数，由复合函数的单调性知f(x)=1∵ex>0，∴1+∴−12<f(x)<故选：BC.【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数gx=f填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021·全国·高一课时练习）若alog43=【答案】6【分析】首先利用换底公式表示a=log32【详解】由条件得a=12log故答案为：614．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=2x+2,x≤1,【答案】1,17【分析】根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出fx=4时【详解】解：因为fx当x∈−∞,1时，易知f当x∈1,+∞时，fx作出fx由图可知，f1=4，因为fx在−∞,a上的最大值为4，所以a故答案为：1,1715．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知函数f(x)=ln(x2−1)+【答案】(−∞,−2)∪(1,+∞)【分析】由奇偶性定义可判断出fx为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到fx在1,+∞上单调递增，由偶函数性质知其在【详解】由x2−1>0，解得：x<−1或x>1，故函数的定义域为又f−x∴fx为(−∞,−1)∪(1,+∞)当x>1时，y=ln设t=2x>2∵y=t+1t在2,+∞上单调递增，∴y=2∴fx在1,+∞上单调递增，又fx为偶函数，∴fx由f(x+1)<f(2x)可知x+1<2xx+1故答案为：(−∞,−2)∪(1,+∞).【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.16．（2022·上海·高一专题练习）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=x【答案】1【分析】先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【详解】解：BM=MN=NA，点A(1,0)，B(0,1)，所以MN23,1α=αβ=故答案为：1.解答题（共6小题，满分70分）17．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝ax−1ax+1（1）若f(2)＝35，求f(x（2）讨论f(x)奇偶性．【答案】（1）fx【分析】（1）根据f2=3【详解】解：（1）∵fx=a即a2−1a即fx（2）因为f(x)的定义域为R，且f−x所以f(x)是奇函数．18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数fx=logax+1(1)判断并证明函数fx(2)若a=2，求函数y=f2【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2)0,+∞【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义判断并证明作答.（2）利用指数函数的值域，对数函数定义及性质求解作答.（1）函数fx依题意，x+1x−1>0，解得x<−1或x>1，即fx又f−x所以函数fx（2）当a＝2时，fx=log2x+1则有22x−1∈0,+∞，即1+2所以y=f2x的值域是19．（2021·全国·高一单元测试）已知函数f(x)=logax，g(x)=loga(2x+m−2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为2，求实数a的值.（2）当a>1时，不等式f(x)<2g(x)在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）a=30；（2）m>0【分析】（1）由题设可得F(x)=loga[x(2x+4)]，讨论a>1、0<a<1，结合已知最大值求参数a（2）由对数函数的性质可得m>0，再由对数函数的单调性可得m>−2x+x+2，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得【详解】（1）m=6，g(x)=loga(2x+4)，则F(x)=f(x)+g(x)=当a>1时，[F(x)]max=F(3)=log当0<a<1时，[F(x)]max=F(1)=log综上，a=30（2）要使g(x)在[1,3]上有意义，则2+m−2>0，解得m>0.由f(x)<2g(x)，即logax<log∴x<(2x+m−2)2，即x<2x+m−2令t=x，t∈[1,3]，记ℎ(t)=−2∴[ℎ(t)]min=ℎ(3综上，m>0.20．（2022·辽宁·义县高级中学高二阶段练习）（1）已知函数gx=a+1x−2+1a>0的图像恒过定点A，且点（2）已知−1≤log12【答案】（1）3,+∞；（2）ymin=1，【分析】（1）结合指数函数性质首先求a的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设t=1【详解】（1）由题意知定点A的坐标为2,2，∴2=log32+a∴gx∴由gx>3得，∴2x−2∴x−2>1.∴x>3.∴不等式gx>3的解集为（2）由−1≤