高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)第三章圆锥曲线的方程基础检测卷(原卷版+解析)

第三章圆锥曲线的方程基础检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（

）A． B．C． D．2．在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（

）．A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支3．抛物线的焦点到直线的距离是（

）A． B．2 C．3 D．14．焦点在轴上，且，的椭圆的标准方程为（

）A． B．或C．或 D．5．已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．6．设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（

）A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆7．已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（

）A． B．C． D．18．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知曲线，下列结论正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是双曲线，其焦点在轴上C．若，则是圆D．若，，则是两条直线10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（

）．A．若，则B．若，则C．若，则PB平分D．若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线11．对于曲线，下面四个说法正确的是（

）A．曲线不可能是椭圆B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件12．已知双曲线经过点，则（

）A．的实轴长为 B．的焦距为C．的离心率为 D．的渐近线方程是三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．若抛物线的准线与圆相切，则___________.14．双曲线的虚轴长为___________.15．直线3x－y＋3＝0被双曲线的两条渐近线所截得的线段的中点坐标为______．16．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上x，长轴长为4，焦距为2；(2)一个焦点坐标为，短轴长为2．18．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点.(1)求的值；(2)求证：OM⊥ON.19．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)求抛物线的标准方程.20．已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)求直线的方程.21．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，且经过点．(1)求满足条件的椭圆方程；(2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率．22．已知抛物线的焦点为A，以为圆心，长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，点P是MN的中点．求：(1)的取值范围；(2)的值．第三章圆锥曲线的方程基础检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出双曲线的标准方程即得解.【详解】解：由题意知，，所以双曲线的标准方程为，双曲线的渐近线方程为，即.故选：D．2．在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（

）．A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支【答案】B【分析】由判断出正确答案.【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，且满足，所以动点P的轨迹是一条射线.如图所示，在线段的延长线上.故选：B3．抛物线的焦点到直线的距离是（

）A． B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，再利用点到直线距离公式即可求解.【详解】由抛物线得焦点，点到直线的距离.故选：D.4．焦点在轴上，且，的椭圆的标准方程为（

）A． B．或C．或 D．【答案】D【分析】根据椭圆标准方程的定义求解即可.【详解】由于，，且焦点在轴上，故椭圆的标准方程为.故选：D.5．已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的一个顶点求出双曲线方程，再根据渐近线的方程求出的值，综合选项即可得答案.【详解】解：由题意得：双曲线的一个顶点是，焦点在轴上，设双曲线方程为，渐近线方程为，，，该双曲线的标准方程为

．故选：C6．设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（

）A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆【答案】A【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹.【详解】解：设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，圆与圆外切，与直线相切，到直线的距离，即动点到定点的距离等于到定直线的距离由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.故选：A7．已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（

）A． B．C． D．1【答案】C【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.【详解】由已知可得，，则，所以，则离心率．故选：C.8．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个【答案】D【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解.【详解】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知曲线，下列结论正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是双曲线，其焦点在轴上C．若，则是圆D．若，，则是两条直线【答案】AB【分析】根据各曲线的标准方程分别判断即可.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，对于B，因为，所以可化为，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故B正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，若，不是圆，故C错误；对于D，若，，则可化为，当时，无意义，当时，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D错误；故选：AB.10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（

）．A．若，则B．若，则C．若，则PB平分D．若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线【答案】ACD【分析】运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案．【详解】对于选项，若，则抛物线,的焦点为,由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确；对于选项,若，则抛物线,的焦点为,由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项不正确；对于选项,时，∵，∴，又∵，∴平分，选项正确；对于选项，若，则抛物线,的焦点为,延长交直线于点，则，由选项可知，则M，B，Q三点共线，故正确；故选：．11．对于曲线，下面四个说法正确的是（

）A．曲线不可能是椭圆B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件【答案】CD【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；对于B选项，因为或，所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，又因为，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.故选：CD.12．已知双曲线经过点，则（

）A．的实轴长为 B．的焦距为C．的离心率为 D．的渐近线方程是【答案】BC【分析】根据双曲线经过点,可得双曲线标准方程，根据双曲线的简单几何性质即可逐一判断.【详解】由题意得，得即双曲线方程为．所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是故BC正确，AD错误，故选：BC三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．若抛物线的准线与圆相切，则___________.【答案】或0【分析】先求得抛物线的准线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得.【详解】抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径，由于圆与准线相切，所以，解得或0.故答案为：或014．双曲线的虚轴长为___________.【答案】【分析】由双曲线方程直接求解即可．【详解】双曲线的虚轴长为故答案为：15．直线3x－y＋3＝0被双曲线的两条渐近线所截得的线段的中点坐标为______．【答案】【分析】先求双曲线的渐近线方程，进而求交点坐标及线段的中点坐标.【详解】∵，即，则且焦点在轴上∴双曲线的两条渐近线方程为联立方程，解得，即交点坐标为同理可得与的交点坐标为∴中点坐标为故答案为：.16．已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.【答案】##【分析】由抛物线的性质以及三角形中几何关系，利用正弦定理即可求解.【详解】过作准线的垂线，垂足为，易知：，可得，如图所示：在中，可得，，由抛物线的性质可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以.故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上x，长轴长为4，焦距为2；(2)一个焦点坐标为，短轴长为2．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据长轴长求出，根据焦距求出，从而求出，写出椭圆方程；（2）根据焦点坐标与短轴长求出b，c，从而求出a，写出椭圆方程.（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为（），∵长轴长为4，焦距为2，∴，，∴，，∴，∴椭圆的方程为；（2）焦点坐标为，短轴长为2，设椭圆的方程为（），∴，，∴，∴椭圆的方程为．18．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点.(1)求的值；(2)求证：OM⊥ON.【答案】(1)4(2)证明见解析【分析】（1）设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；（2）求出的值结合（1）中求出的值，直接证明即可.(1)直线l的方程为，直线与抛物线联立得，消去y可得，其中，由韦达定理得；(2)证明：，，所以，又∵，∴.设OM，ON的斜率分别为，，则，，有，则OM⊥ON.19．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)求抛物线的标准方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，然后可得；（2）由双曲线右焦点与抛物线的焦点相同可解.(1)因为双曲线过点，所以

所以，得又因为，所以所以双曲线的渐近线方程(2)由（1）得所以

所以双曲线的右焦点是所以抛物线的焦点是所以，所以所以抛物线的标准方程20．已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.(1)求椭圆的方程；(2)求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题可知，，，根据的关系求出，即可写出椭圆的方程；（2）先设出直线，联立可得出中点的坐标，再根据为等腰三角形知，解得中点坐标，即可写出直线方程．（1）由已知得，而，解得，所以，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，由得设、的坐标分别为，，中点为，则，，因为是等腰的底边，所以．所以的斜率为，解得，即，所以直线的方程为，即．21．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，且经过点．(1)求满足条件的椭圆方程；(2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率．【答案】(1)(2)长半轴的长为，顶点坐标为、、、，离心率为．【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解椭圆方程；