近两年北京中考数学试题及答案2023

2023年北京中考数学真题及答案

考生须知

1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000

用科学记数法表示应为（）

A.23.9xlO7B.2.39x10sC.2.39xlO9D.0.239xlO9

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

D.

3.如图，ZAOC=ZBOD=9009NAOD=126。，则/3OC的大小为（）

D.63°

4.己知则下列结论正确的是（）

A.-\<-a<a<\B.-ci<—1<1<cz

C.—a<—1<。<1D.-\<—a<\<a

5.若关于x的一元二次方程f—3x+机=0有两个相等的实数根，则实数小的值为（）

99

A.-9B.——C.-D.9

44

6.十二边形的外用和为（）

A.30°B.150°C.360°D.1800。

7.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是

（）

A.一B.-C.；D.—

4324

8.如图，点力、氏C在同一条线上，点8在点4,C之间，点〃，《在直线”1同侧，AB<BC,

ZA=/C=9（）。，/\EAB^/\BCD,连接弧设BC=h,DE=c,给出下面三个

结论：①a+b<c；②。+h>\/a2+b2：③正（4+》）>c；

AaBbC

上述结论中，所有正确结论的序号是（)

A.①②B.①③C.②③D.①②③

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9.若代数式台有意义，则实数，的取值范围是

10.分解因式：x2y-/=

31

口.方程工节二与的解为

⑵在平面直角坐标系X0Y中，若函数y=§ZN0）的图象经过点A（-3,2）和B（〃?,-2）,则勿

的值为

13.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡

进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下:

使用寿命xv10001000<x<16001600<x<22002200<x<2800x22800

灯泡只数51012176

根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为_____只.

BE

14.如图，直线4）,a'交于点0,ABiiEF^iCD.若AO=2,OF=\,尸£>=2.则=的值

15.如图，是。的半径，BC是。的弦，8c于点〃，AE是。的切线，AE交

OC的延长线于点发若ZAOC=45。，BC=2,则线段4E的长为

16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需4

B,C,D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,〃须在工序/完成后进行，工序K须在工序6,〃都完成后进行，工序尸须在工序

C,〃都完成后进行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFG

所需时间/分钟99797102

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要

分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟.

三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20—21题，每题6分，第22—23题，

每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应

写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：4sin60°+（；j+|-2|-V12.

〉x+2

18.解不答式组：，丁.

5x-3<5+x

2x+4y

19.己知x+2y-l=0求代数式的值.

x?+4孙+4/

20.如图，在YABCD中，点反尸分别在8C,A。上，BE=DF,AC=EF.

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)AE=BE,AB=2,tanZACB=-,求BC的长.

2

21.对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地

头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6:4,左、右边的宽相等,

均为天头长与地头长的和的某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm,宽为27cm.若

要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.（书法作品选自《启功法书》）

装裱后的宽天头

t

天头长

——

斗

畴

装

1裱

0灾11

0后

c

的边f照一浊

m迷

长

随1ft

t

嗔长

▼

一

<-27cm->

边的宽

22.在平面直角坐标系X。），中，函数^=丘+。伏*0）的图象经过点4（0,1）和矶1,2）,与过

点（0,4）且平行于x轴的线交于点C.

（1）求该函数的解析式及点C的坐标;

(2)当x<3时，对于x的每一个值，函数y=§x+”的值大于函数y=丘+。(％#0)的值且小

于4,直接写出〃的值.

23.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm),数据整理如下:

a.16名学生的身高：

161,162,162,164,165,165,165,166,

166,167,168,168,170,172,172,175

6.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

166.75mn

(1)写出表中山,〃的值;

(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据

172,他们的身高的方差为菅.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与己确定的

三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于3瞪2,其次要求所选的两名学生与己确定的三

名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为

和.

24.如图，圆内接四边形Ai5co的对角线AC,BD交干点、E,平分/A3C,

NBAC=ZADB.

，A

(1)求证08平分/4X7,并求，84。的大小；

(2)过点C作C户〃AD交A8的延长线于点E.若AC=AO,BF=2,求此圆半径的长.

25.某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略.部分内容如下.

每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为

0.990

方案一：采用一次清洗的方式.

结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990.

方案二：采用两次清洗的方式.

记第一次用水量为4个单位质量，第二次用水量为4个单位质量，总用水量为&+毛)个单

位质量，两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如下：

411.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

40.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

X+x2

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

0.990.980.990.990.990.990.990.980.990.990.99

C

09000008000

对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容.

（I）选出。是0.990的所有数据组，并划“J”；

（11）通过分析（I）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量占和总用水量％+%

之间的关系，在平面直角坐标系X0Y中画出此函数的图象；

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

■>

O12345678910111213x

结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个单位质

量（精确到个位）时，总用水量最小.

根据以上实验数据和结果，解决下列问题：

（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约

个单位质量（结果保留小数点后一位）；

（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位

质量，则清洗后的清洁度C0.990（填”或）.

26.在平面直角坐标系xOy中，”（占,乂），是抛物线y=G?+fer+c（a>0）上任意

两点，设抛物线的对称轴为x=r.

（1）若对于X|=l,彳2=2有弘=乃，求，的值；

⑵若对于都有求f的取值范围.

27.在ABC中、ZB=ZC=<z（O0<a<45°）,AM_LBC于点肌〃是线段MC上的动点（不

与点M,。重合)，将线段DM绕点〃顺时针旋转功得到线段DE.

(1)如图1,当点V在线段AC上时，求证：〃是MC的中点；

(2)如图2,若在线段上存在点尸(不与点8,"重合)满足。尸=Z)C,连接AE,EF,

直接写出一心的大小，并证明.

28.在平面直角坐标系直办，中，。的半径为1.对于。的弦A3和O外一点。给出如下

定义：

若直线C4,C8中一条经过点0,另一条是。的切线，则称点。是弦的“关联点”.

(F)\(/?历、

⑴如图，点A(-l,0),B[--—,B2―,--—

\7\7

①在点G(—1,1),C2(-V2,0),C3(o,夜)中，弦A片的“关联点”是.

②若点。是弦A8?的''关联点"，直接写出OC的长；

(2)已知点M(0,3),N华•,().对于线段MN上一点S,存在。的弦PQ,使得点S是

弦PQ的“关联点”，记PQ的长为力，当点S在线段MN上运动时，直接写出广的取值范围.

参考答案

1.B

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为ax10",其中14H<10,〃为

整数，且〃比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【详解】解：239000000=2.39xIO8，

故选：B.

2.A

【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可.

【详解】解：A既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合要求；

B不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；

C是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；

D是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求：

故选：A.

3.C

【分析】由NAOC=N8O£>=90。，ZAOZ)=126°,可求出NC8的度数，再根据角与角之

间的关系求解.

【详解】；/AOC=9()°,ZAOD=126°,

：.Z.COD=ZAOD-ZAOC=36°,

,/ZB6>£)=90°,

ZBOC=ZBOD-ZCOD=9()。-36°=54°.

故选：C.

4.B

【分析】由可得。>1,则。>(),根据不等式的性质求解即可.

【详解】解：a-l>()得则a>(),

-a<-1,

—a<—1<1<。，

故选：B.

5.C

【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得A=(),进而即可求解.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程/一3犬+根=0有两个相等的实数根，

，A=b2-4ac=9—4/n=0.

9

解得：m=~.

4

故选：C.

6.C

【分析】根据多边形的外角和为360。进行解答即可.

【详解】解：..•多边形的外角和为360。

十二边形的外角和是360°.

故选：C.

7.A

【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理.

第一次正面反面

【详解】AA

第二次正面反面正面反面

如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为：.

故选：A

8.D

【分析】如图，过八作于F,则四边形ACZ)尸是矩形，则。尸=AC=a+6,由

DF<DE,可得〃+6<c,进而可判断①的正误；由△E4Bg/\3C£>,可得BE=BD,

CD=AB=a,AE=BC=b,ZABE=NCDB,则/EM=9()。，△3DE是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BE=y/AB2+AE2=y/a2+b2•由可得a+b>yja2+b2>进

而可判断②的正误；由勾股定理得。严=84+8炉，即。2=2(/+^),则

c=<6(a+b),进而可判断③的正误.

【详解】解：如图，过。作OF_LAE于F,则四边形ACD尸是矩形，

■:DF<DE,

/.a+b<c,①正确，故符合要求；

■:/XEAB四乙BCD,

:.BE=BD,CD=AB=a,AE=BC=b,ZABE=Z.CDB,

■:ZCBD+ZCDB=90°,

/.ZCBD+ZABE=9Q°fZEBD=90°,

・・・△比坦是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BE=4AB2+AE2=y/a2+b2.

,:AB^rAE>BE,

・・・〃+人〉J?寿，②正确，故符合要求;

由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即/=2(cr+的，

c=-72xy/a2+b2<y/2(«+&),③正确，故符合要求；

故选：D.

9.xw2

【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可.

【详解】解：若代数式三有意义，则犬-2A0,

x-2

解得：x42,

故答案为：xw2.

10.y(x+y)(x-y)

【详解】试题分析：原式提公因式得：y((-/)=y(x+y)(x-y)

11.x=\

【分析】方程两边同时乘以2x(5x+l)化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验.

【详解】解：方程两边同时乘以2x(5x+l),得6x=5x+l,

解得：x=\,

经检验，x=l是原方程的解，

故答案为：x=l.

12.3

【分析】先把点力坐标代入求出反比例函数解析式，再把点6代入即可求出勿的值.

k

【详解】解：•.•函数y=?心0)的图象经过点A(-3,2)和8(以-2)

，把点4(—3,2)代入得A:=—3x2=—6,

...反比例函数解析式为y=a,

X

把点8(肛一2)代入得：-2=心，

m

解得：m=3,

故答案为：3.

13.460

【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可.

【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为

1000x^-=460（只）,

故答案为：460.

2

14.

2

【分析】由平行线分线段成比例可得，嘿=器吃患若C

得出BO=2OE,

uBE2OE+OE3

EC=2OE从而耘=

2OE2

【详解】

ABEFCD,AO=2fOF=1,

BOAOJI

~OE~~OF~~i

BO=2OE,

OEOF\

^C~~FD~2

EC=2OE,

BE_2OE+OE_3

'~EC~2OE~2；

3

故答案为：

2

15.5/2

【分析】根据0AL3C,得出NO£>C=90。，DC=^BC=1,根据等腰直角三角形的性质

得出OC=J^OC=亚，即。4=OC=应，根据N04£=9O。，ZAOC=45°,得出AAOE为

等腰直角三角形，即可得出AE=QA=&.

【详解】解：

AZODC=90°,DC=-BC=\.

2

•.・ZAOC=45°,

・・..OZX7为等腰直角三角形，

•"oc=yfioc=V2>

:.OA=OC=>/2.

是，。的切线，

ZOAE=90°,

'：ZAOC=45°,

：."OE为等腰直角三角形，

•"AE=OA=5/2•

故答案为：近.

16.5328

【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名

学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序4乙学生同时做工序员然后甲学生做工

序•D,乙学生同时做工序C,乙学生工序。完成后接着做工序G；最后甲学生做工序反乙学

生同时做工序E然后可得答案.

【详解】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分钟），

即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；

假设这两名学生为甲、乙，

•••工序C,〃须在工序4完成后进行，工序£须在工序氏〃都完成后进行，且工序48都

需要9分钟完成，

，甲学生做工序儿乙学生同时做工序反需要9分钟,

然后甲学生做工序〃乙学生同时做工序G乙学生工序。完成后接着做工序G,需要9分

钟，

最后甲学生做工序反乙学生同时做工序E需要10分钟，

若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10=28（分钟），

故答案为：53,28；

17.5

【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数累，绝对值和二次根式的性质化简，然后

计算即可.

【详解】解：原式=4x且+3+2-26

2

=26+3+2-26

=5.

18.1<x<2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集.

【详解】“>亍°

5x-3<5+x®

解不等式①得：x>l

解不等式②得：%<2

，不等式的解集为：l<x<2

19.2

【分析】先将分式进行化简，再将x+2y-l=0变形整体代入化简好的分式计算即可.

（

【详解】解：原式2=x+=2yf}=二2^'

由x+2y-\=0可得x+2y=1,

将x+2），=l代入原式可得，原式='2=2.

20.（1）见解析

⑵3五

【分析】（1）利用平行四边形的性质求出AF=EC,证明四边形AEb是平行四边形，然

后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；

（2）证明qABE是等腰直角三角形，可得4E=BE=&，然后再解直角三角形求出EC即

可.

【详解】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

AAD=BC,AD//BC,

"：BE=DF,

：.AF=EC,

，四边形AECF是平行四边形，

,?AC=EF,

平行四边形AECF是矩形；

（2）解：由（1）知四边形AECF是矩形，

ZAEC=ZAEB=90°,

"：AE=BE,AB=2,

二ABE是等腰直角三角形，

：.AE=BE=JAB=&,

2

Ap1

又・.・tanZAC8=—=-,

EC2

.721

••---=-,

EC2

，EC=2B

・•・BC=BE+EC=6+2近=3五.

21.边的宽为4cm,天头长为24OT7

【分析】设天头长为xcm,则地头长为「xcm,边的宽为京卜+彳工cm=±xcm,再分别表

示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可.

【详解】解：设天头长为xcm,

由题意天头长与地头长的比是6:4,可知地头长为：xcm,

边的宽为Ux+|cm=2-rcm,

3）o

装裱后的长为（■jx+x+100卜m=（；x+100）cm,

装裱后的宽为（，+%+27）cm=（3+27卜m,

由题意可得：：X+100=（$+27）X4

解得x=24,

—x=4,

6

答：边的宽为4cm,天头长为24cm.

22.⑴y=x+l,C（3,4）；

⑵n=2.

【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点。的纵坐标为4,代入函数解

析式求出点。的横坐标即可；

（2）根据函数图象得出当y=〃过点（3,4）时满足题意，代入（3,4）求出〃的值即可.

【详解】（1）解：把点4（0,1）,8（1,2）代入y="+仅%#0）得:[+6=2,

，该函数的解析式为y=x+i,

由题意知点C的纵坐标为4,

当y=x+l=4时，

解得：x-3,

，C（3,4）；

（2）解：由（1）知：当x=3时，y=x+l=4,

2

因为当x<3时，函数丫=了+〃的值大于函数y=x+i的值且小于4,

所以如图所示，当丫=芸+〃过点（3,4）时满足题意，

代入（3,4）得：4=jx3+«,

⑵甲组

(3)170,172

【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可;

(2)计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；

(3)根据要求,身高的平均数尽可能大且方差小于532,结合其余学生的身高即可做出选择.

【详解】(1)解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161,162,162,164,165,165,

165,166,166,167,168,168,170,172,172,175,

出现次数最多的数是165,出现了3次，即众数”=165,

16个数据中的第8和第9个数据分别是166,166,

»/JL.MU166+166

..中位数tn=------------=166,

2

/.727=166,H=165;

(2)解：甲组身高的平均数为[(162+165+165+166+166)=164.8,

甲组身高的方差为

([(162-164.8)2+(165-164.8)2+(165-164.8)2+(166-164.8)2+066—164.8)2]=2.16

乙组身高的平均数为[(161+162+164+165+175)=165.4,

乙组身高的方差为

1[(161-165.4)2+(162-165.4)2+(164-165.4)2+(165-165.4)2+(175-165.4)2]=25.04,

25.04>2.16

.•.舞台呈现效果更好的是甲组,

故答案为：甲组；

(3)解：168,168,172的平均数为3(168+168+172)=169：

•••所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于3三2,

二数据的差别较小，数据才稳定，

可供选择的有：170,172,

且选择170,172时，平均数会增大,

故答案为：170,172.

24.(1)见解析，ZBAD=90°

⑵4

【分析】(1)根据已知得出AB=BC，则ZADB=NCDB,即可证明08平分N4JC,进而

根据3。平分/ABC,得出AQ=C£>，推出BAO=88,得出8£)是直径，进而可得

NB4Q=9()°；

(2)根据(1)的结论结合已知条件得出，NF=9()。，ZMOC是等边三角形，进而得出

NCDB=1ZADC=30。，由是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得BC=《8D,

22

在Rt^BFC中，根据含30度角的直角三角形的性质求得8c的长，进而即可求解.

【详解】(1)解：VZBAC=ZADB

AB=BC>

：.ZADB=ZCDB,即OB平分NAPC.

平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

AD=CD<

•*-AB+AD=BC+CD^BPBAD=BCD>

：.BO是直径，

O

,ZBAD=9();

(2)解：：ZR4T>=9()°,CF//AD,

：.ZF+/BAD=180°,则NF=90°.

AD=CD>

・・・AD=DC.

・.・AC=ADf

：.AC=AD=CD,

・・・A4OC是等边三角形，则NADC=60。.

•/平分NADC,

.・・ZCDB=-ZADC=30°.

2

•/BO是直径，

.・.N5a)=90。，则

2

・・,四边形48C。是圆内接四边形，

・・・ZADC+ZABC=180°,则ZABC=120°,

・・・ZFBC=60°,

・・・ZFCB=90°-6()°=30°,

・・.FB=-BC.

2

,:BF=2,

：.BC=4f

：.BD=2BC=8.

・.•8。是直径，

・•・此圆半径的长为130=4.

2

25.(I)见解析；(II)见解析，4；(1)11.3；(2)<

【分析】(I)直接在表格中标记即可；

(H)根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一

次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小;

（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量,

计算即可：

（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗

后的清洁度能达到0.990,若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990.

【详解】（I）表格如下:

X111.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

xx+x2

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

0.990.980.990.990.990.990.990.980.990.990.99

C09000008000

VJJVVJJJJ

（11）函数图象如下:

由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小;

（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量,

19-7.7=11.3,

即可节水约11.3个单位质量；

（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后

的清洁度能达到0.990,

第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C<0.99（）,

故答案为：<.

3

26.（l）r=-

⑵心

2

【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；

（2）根据题意可得（知几）离对称轴更近，则（孙匕）与（4,％）的中点在对称轴的

右侧，根据对称性求得:〈三等<],进而根据三手■>「，即可求解.

【详解】（1）解：：对于再=1,须=2有必=%，

.•.抛物线的对称轴为直线x=土芋=1，

♦.•抛物线的对称轴为x=f.

.•.I.

2，

（2）解:•.•当0<为<1,1<X2<2,

"：%<%，4>（），

，（X],几）离对称轴更近，%,<%2,则（孙匕）与（巧，％）的中点在对称轴的右侧，

2

即彳

'<2.

27.(1)见解析

(2)ZAEF=90°,证明见解析

【分析】(1)由旋转的性质得O0=£)E,ZMDE=2a,利用三角形外角的性质求出

ZDEC=a=ZC,可得DE=DC,等量代换得到DM=Z)C即可；

(2)延长FE到〃使庄=叩，连接CH,AH,可得ZJE是V兄〃的中位线，然后求出

/B=/ACH,设DM=DE=m,CD=n,求出BF=2m=C〃，证明AABFwAC〃(SAS),

得到=再根据等腰三角形三线合一证明即可.

【详解】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE,ZMDE=2a,

'：ZC=a,

：.ZDEC=ZMDE-ZC=a,

，NC=/DEC,

：.DE=DC,

：.DM=DC,即〃是MC的中点；

(2)ZA£,F=90°；

证明：如图2,延长FE到修使FE=EH,连接“，AH,

DF=DC,

，DE是V/W的中位线，

ADE//CH,CH=2DE,

由旋转的性质得：DM=DE,AMDE=1a,

：.ZFCH=2a,

■:NB=4C=a,

：.ZACH=a,ABC是等腰三角形，

：・NB=NACH,AB=ACf

设DM=DE=m,CD=n,则C4=2/九，CM=m+n,

DF=CD=n,

/.FM=DF-DM=n-m,

•?AM1.BC9

/.BM=CM=m+n,

BF=BM-FM=m+n-{n-iri)=2m,

：.CH=BF,

AB=AC

在尸和一ACH中，＜ZB=ZACH,

BF=CH

A.ABF=；.AC//(SAS),

:.AF=AH,

,:FE=EH,

：.AEA.FH.即NAEF=90。.

A

⑵14竽或孚

【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可:

(2)根据M(0,3),N两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点材和经过

点。的MN的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可.

【详解】（D解：①由关联点的定义可知，若直线CACB中一经过点0,另一条是.。的

切线，则称点C是弦48的“关联点”，

•点-4，等），0,（-1,1）,C2（-V2,0）,C3（0,\/2）,

...直线4G经过点0,且BC?与O相切，

.♦.G是弦的“关联点”，

又•••G（T，1）和A（T，0）横坐标相等，与A-争当都位于直线y=-x上,

\/

AG与。O相切，耳G经过点0,

.：却是弦的“关联点”.

②:A（-1,0）,B2号，一号,

\/

设C（a,b）,如下图所示，共有两种情况，

a、若G鸟与：O相切，AC经过点0,

=-J?

则GB,、AC1所在直线为：厂-xr

y=0

解得：G（夜，o）,

/.0C\=O,

6、若AC?与：O相切，Cz4经过点0,

[x=—1

则C2B,、ACz所在直线为：

[y=-x

解得：C2（-l,l）,

0c2=行，

综上，OC=42.

（2）解：•.•线段MN上一点S,存在；O的弦尸Q,使得点S是弦PQ的“关联点”，

又♦.•弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M（0,3）,N,OM>ON,

.••S共有2种情况，分别位于点〃和经过点。的MN的垂直平分线上，如图所示,

①当S位于点M（0,3）时，MP为。的切线，作R/_LOA/,

VM（0,3）,。的半径为1,且为，。的切线,

：.OPLMP,

'：PJLOM,

:._MP81POJ,

/.---=----，即—=3,

OJOP0J

解得。/=:,

.••根据勾股定理得，PJ=^PO2-OJ2=—,

33

根据勾股定理，PQI/QF+QJ2=半，同理，PQ"QF+QJ=*，

.•.当S位于点M(0,3)时，PQ的临界值为半和平.

②当S位于经过点。的MN的垂直平分线上即点小时,

•.•点M（0,3）,N

：.MN=>JOM2+ON2=笠

OK=OMxON+MN=2,

又：。的半径为1,ZOXZ=30°,

...三角形OPQ为等边三角形,

...在此情况下，PQ=1,PQ=&,

...当S位于经过点。的MN的垂直平分线上即点人时;P2的临界值为1和6,

.•.在两种情况下，PQ的最小值在14^2叵内，最大值在2西4/4百,

33

综上所述，力的取值范围为14Y亚或亚4T6，

33

2022年北京中考数学试题及答案

第一部分选择题

一、选择题(共16分，每题2分)第『8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下面几何体中，是圆锥的为()

2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦

时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学计数法表示应为()

A.26.2883xlO'°B.2.62883x10"

C.2.62883xlO12D.0.262883xlO12

【参考答案】B

3.如图，利用工具测量角，则N1的大小为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【参考答案】A

4.实数a,〃在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()

ab

II■III■II,

-3-2-10123

A.qV—2B.Z?<1C.d>bD.—d>b

【参考答案】D

5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出

一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球

的概率是（）

1113

A.—B.-C.-D.一

4324

【参考答案】A

6.若关于x的一元二次方程V+x+机=o有两个相等的实数根，则实数团的值为（）

11

A.-4B.一一C.-D.4

44

【参考答案】C

7.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）

【参考答案】D

8.下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到8地，汽车的剩余路程y与行驶时间为

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；

③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长力其中，变量y与变量x之间

的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③1）.①②③

【参考答案】A

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【参考答案】x28

【详解】解：由题意得:

『820,

解得：*28.

故答案为：x28.

10.分解因式：xy2-x=.

【参考答案】x(y+l)(y—1)

【详解】砂2一%

=X(VT)

=My+i)(y-i)

故答案为：x(y+l)(y—1).

11.方程二一=L的解为_________.

x+5x

【参考答案】产5

21

【详解】解：——=一

x+5x

方程的两边同乘了(广5),得：2年产5,解得：产5,经检验：把产5代入x(田5)=50W0.故

原方程的解为：产5

k

12.在平面直角坐标系x。)，中，若点A(2,y),8(5,%)在反比例函数y=一(%>0)的图象

x

上，则%%(填"="或)

【参考答案】>

【详解】解：：冷0,

...在每个象限内，y随x的增大而减小，

2<5,

二M>必•

故答案为：>.

13.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下:

鞋号353637383940414243

销售量/双2455126321

根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双.

【参考答案】120

【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，

12

...该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为400x—=120双.

40

故答案为：120

14.如图，在AABC中，平分若AC=2,06=1,则=

【详解】解：如图，作。尸1AC于点E

A

d

*

Bn

平分44C,DEVAB，DF1AC，

，DF=DE=1,

Syen=_ACDF=—x2><1=1.

MCD22

故答案为：1.

Ap1

15.如图，在矩形ABC。中，若AB=3,AC=5,「；=一,则AE的长为

FC4

【参考答案】1

【详解】解：在矩形4BCD中：AD//BC,ZABC=90%

‘拓=7E="BC=\IAC2-AB。=W-W=4,

.AE1

•・_——_，

44

，AE=\，

故答案为：1.

16.甲工厂将生产的I号、H号两种产品共打包成5