2024版高考数学微专题小练习专练32数列求和理含解析

Page4专练32数列求和命题范围：数列求和常用的方法．[基础强化]一、选择题1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－22．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C．eq\f(n（n＋1）,2)D．eq\f(n（n－1）,2)3．数列1，eq\f(1,1＋2)，eq\f(1,1＋2＋3)，…，eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)，…的前n项和为()A．eq\f(n,n＋1)B．eq\f(2n,n＋1)C．eq\f(4n,n＋1)D．eq\f(n,2（n＋1）)4．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))))的前2024项的和为()A．eq\r(2024)＋1B．eq\r(2024)－1C．eq\r(2024)＋1D．eq\r(2024)－15．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为()A.250B．200C．150D．1006．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2024＝()A．3B．2C．1D．07．[2024·陕西省西安中学三模]数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，n∈N*，则{bn}的前10项之和为()A．eq\f(4,13)B．eq\f(5,13)C．eq\f(8,39)D．eq\f(10,39)8．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋2，n是奇数，,2an，n是偶数，))则数列{an}的前20项和为()A．1121B．1122C．1123D．11249．[2024·江苏模拟]已知等差数列{an}的前9项和为18，函数f(x)＝(x－2)3＋1，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝()A．7B．8C．9D．10二、填空题10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝________．11．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前10项的和为________．12．在等差数列{an}中，已知a1＋a3＝0，a2＋a4＝－2，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n－1)))的前10项和是________.[实力提升]13．已知数列{an}满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N)，且a1＝1，a5＝9，bn＝Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(99))·an，则数列{bn}的前100项的和为()A．100×299B．100×2100C．50×299D．50×210114．[2024·安徽省示范中学联考]已知数列{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，将数列{an}中的项按确定依次排列成a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，…的形式，记此数列为{bn}，数列{bn}的前n项和为Sn，则S24的值是()A．1629B．1641C．1668D．174915．[2024·安徽省滁州市质检]已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0，设bn＝eq\f(1,log3（2an＋1）log3（2an＋1＋1）)，n∈N*.则b1＋b2＋…＋b2024＝________．16．[2024·江西省赣州市一模]数列{an}满足an＋an＋1＝n2·sineq\f(nπ,2)(n∈N*)，若数列{an}前n项和为Sn，则S40＝________．专练32数列求和1．CSn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＋eq\f(（1＋2n－1）n,2)＝2n＋1－2＋n2.2．A∵a2，a4，a8成等比数列，∴aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，得a1＝d＝2，∴Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n(n＋1).3．B∵eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(2,（1＋n）n)＝2(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，∴Sn＝2(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝2(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(2n,n＋1).4．D∵eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，∴S2024＝eq\r(2)－1＋eq\r(3)－eq\r(2)＋…＋eq\r(2024)－eq\r(2024)＝eq\r(2024)－1.5．D当n＝2k－1时，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100项和S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100，故选D.6．A∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2024＝336×0＋a2017＋a2024＝a1＋a2＝3.故选A.7．D因为anbn＝1，an＝n2＋5n＋6，故bn＝eq\f(1,n2＋5n＋6)＝eq\f(1,n＋2)－eq\f(1,n＋3)，故{bn}的前10项之和为eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,12)－eq\f(1,13)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,13)＝eq\f(10,39).8．C由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为eq\f(1×（1－210）,1－2)＋10×1＋eq\f(10×9,2)×2＝1123.选C.9．C由题意知，S9＝eq\f(9（a1＋a9）,2)＝18，所以a1＋a9＝4，a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝4，a5＝2，又f(x)＝(x－2)3＋1，则f(x)＋f(4－x)＝(x－2)3＋1＋(4－x－2)3＋1＝2，所以f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝[f(a1)＋f(a9)]＋[f(a2)＋f(a8)]＋[f(a3)＋f(a7)]＋[f(a4)＋f(a6)]＋f(a5)＝4×2＋1＝9.10．18解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a3＋a11＝6，∴3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝eq\f(（a1＋a9）×9,2)＝eq\f(2a5×9,2)＝18.11.eq\f(20,11)解析：∵an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，∴an－a1＝eq\f(（2＋n）（n－1）,2)，∴an＝1＋eq\f(（n＋2）（n－1）,2)＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)又当n＝1时a1＝1符合上式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)∴eq\f(1,an)＝eq\f(2,n2＋n)＝2(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，∴S10＝2(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,10)－eq\f(1,11))＝2(1－eq\f(1,11))＝eq\f(20,11).12.eq\f(5,256)解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a3＝2a2＝0，∴a2＝0，a2＋a4＝2a3＝－2，∴a3＝－1，∴d＝a3－a2＝－1，∴an＝a2＋(n－2)d＝2－n，∴Sn＝eq\f(1,20)＋eq\f(0,21)＋…＋eq\f(2－n,2n－1)，∴eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,21)＋eq\f(0,22)＋…＋eq\f(3－n,2n－1)＋eq\f(2－n,2n)，∴eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,20)＋(eq\f(－1,21)＋eq\f(－1,22)＋…＋eq\f(－1,2n－1))－eq\f(2－n,2n)＝eq\f(n,2n)，∴Sn＝eq\f(n,2n－1)，S10＝eq\f(10,29)＝eq\f(5,256).13．A由2an＝an＋1＋an－1知{an}为等差数列，又a1＝1，a5＝a1＋4d，∴d＝2，｀∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴{bn}的前100项的和S100满足：S100＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(99))a1＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(99))a2＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(99),\s\do1(99))a100，∴S100＝Ceq\o\al(\s\up1(99),\s\do1(99))a100＋Ceq\o\al(\s\up1(98),\s\do1(99))a99＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(99))a1＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(99))a100＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(99))a99＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(99),\s\do1(99))a1，∴2S100＝(a1＋a100)(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(99))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(99))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(99),\s\do1(99)))＝200×299，∴S100＝100×299.14．C因为数列{an}为等比数列，公比q≠1，a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2＝3a1＋a3，即4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3，因为q≠1，所以q＝3.所以an＝a1qn－1＝3n，其前n项和为Tn＝eq\f(3（1－3n）,1－3)＝eq\f(3n＋1,2)－eq\f(3,2)，所以S24＝T1＋T2＋…＋T6＋T3＝(eq\f(32,2)－eq\f(3,2))＋(eq\f(33,2)－eq\f(3,2))＋…＋(eq\f(37,2)－eq\f(3,2))＋(eq\f(34,2)－eq\f(3,2))＝eq\f(1,2)(32＋33＋…＋37)＋eq\f(34,2)－eq\f(3,2)×7＝1638＋eq\f(34,2)－eq\f(3,2)×7＝1668.15.eq\f(2024,2024)解析：依题意a1＝1，a2＝4，4an＋1－3an－an＋2＝0，an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，所以数列{an＋1－an}是首项a2－a1＝3，公比为3的等比数列，所以an＋1－an＝3n，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝eq\f(1－3n,1－3)＝eq\f(3n－1,2)，a1＝1也满足，所以an＝eq\f(3n－1,2)，bn＝eq\f(1,log33nlog33n＋1)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以b1＋b2＋…＋b2024＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2024)－eq\f(1,2024)＝1－eq\f(1,2024)＝eq\f(2024,2024).16．－800解析：由已知可得an＋an＋1＝n2·sineq\f(n