新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题19立体几何与空间向量解答题压轴题学生版

专题19立体几何与空间向量（解答题压轴题）①直线与平面所成角问题1．（2024·黑龙江·勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.2．（2024·江苏苏州·高一期末）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.(1)若二面角为，求的长；(2)当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.3．（2024·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.(1)为上一点，且，当平面时，求实数的值；(2)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.4．（2024·吉林·长春外国语学校高一期末）如图，直四棱柱的底面是边长为的菱形，且.(1)证明：平面平面；(2)若平面平面，求与平面所成角的正弦值.5．（2024·福建省永泰县第一中学高二开学考试）四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.(1)求证：E为棱SC的中点；(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.6．（2024·山东烟台·高一期末）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形．(1)设M为AD中点，点N在线段PC上且，求证：平面BDN；(2)若二面角的大小为，，且，求直线BD和平面QCB所成角的正弦值的取值范围．7．（2024·吉林·长春吉大附中试验学校高一期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点在线段上，且．(1)探究在线段上是否存在点，使得平面，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由．(2)设二面角的大小为，若，求直线与平面所成角的正弦值．8．（2024·黑龙江·铁人中学高一期末）在三棱台中，，，侧面平面(1)求证：平面；(2)求证：是直角三角形；(3)求直线与平面所成角的正弦值．9．（2024·江西·新余市第一中学高二开学考试）如图，已知四棱锥，底面是矩形，，点是棱上一劫点（不含端点）.(1)求证：平面平面；(2)当且时，若直线与平面所成的线面角，求点的运动轨迹的长度.10．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，几何体中，均为正三角形，四边形为正方形，平面，，M，N分别为线段与线段的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.11．（2024·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点.(1)求证：直线平面SAC；(2)求二面角的余弦值；(3)推断直线SA与平面BDF的位置关系.假如平行，求出直线SA与平面BDF的距离；假如不平行，说明理由.12．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，E为的中点，且．(1)求证：平面；(2)记的中点为N，若M在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．②二面角问题1．（2024·浙江·慈溪中学高三开学考试）如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.(1)若点为棱的中点，证明：平面；(2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.2．（2024·山西大附中高三阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．(1)若为棱的中点，求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.3．（2024·安徽·高三开学考试）如图，在三棱柱中，平面.(1)求证:;(2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值.4．（2024·广东湛江·高二期末）如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.(1)证明：；(2)若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.5．（2024·浙江嘉兴·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面PBC，，．(1)求证：；(2)若PD与平面PBC所成的角为，求二面角的余弦值．6．（2024·广东广州·高二期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．(1)若的中点是M，求证：平面；(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．7．（2024·贵州·遵义航天高级中学高二阶段练习（理））如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，AB=BD．(1)求证：平面平面ABC；(2)若，二面角的余弦值为，求m．8．（2024·全国·高三专题练习）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.(1)证明：平面DEF；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.9．（2024·河南·信阳中学高二阶段练习（理））如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．(1)求证：；(2)若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．10．（2024·广东·执信中学高二期中）已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使．(1)求证：平面MBCN；(2)在线段BC上是否存在点D，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，设，求的值；若不存在，说明理由．11．（2024·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱锥D—ABC中，G是△ABC的重心，E，F分别在BC，CD上，且，．(1)证明：平面平面ABD；(2)若平面ABC，，，，P是线段EF上一点，当线段GP长度取最小值时，求二面角的余弦值．12．（2024·江苏泰州·高三期末）如图，在三棱锥中，.(1)平面平面；(2)点是棱上一点，，且二面角与二面角的大小相等，求实数的值.13．（2024·四川·石室中学三模（理））在①，②，③，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答如图，在五面体中，已知___________，，，且，.(1)求证：平面与平面；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.③体积（距离）问题1．（2024·河北·邢台市其次中学高二阶段练习）如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点.(1)若是直线与平面的交点，试确定的值；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积.2．（2024·青海·模拟预料（理））如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．(1)证明：平面ABC(2)已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且.(1)求证：平面；(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.4．（2024·湖南·邵阳市其次中学高二开学考试）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1C1CA为菱形，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AC=4，AB=2，平面ACC1A1⊥平面ABB1A1，Q在线段AC上移动，P为棱AA1的中点.(1)若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：AD∥平面B1PQ;(2)若二面角B1-PQ-C1的平面角的余弦值为，求点P到平面BQB1的距离.5．（2024·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·(1)若P是的中点，证明：；(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．6．（2024·湖南·雅礼中学一模）如图，在四边形中，，，，.沿将翻折到的位置，使得.（1）作出平面与平面的交线，并证明平面；（2）点是棱于异于，的一点，连接，当二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积.7．（2024·陕西·西北工业高校附属中学模拟预料（理））如图，在多面体中，平面⊥平面，，，DEAC，AD=BD=1.(Ⅰ)求AB的长；(Ⅱ)已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.8．（2024·湖北·随州市曾都区第一中学高二开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且.(1)已知点在上，且，求证：平面平面.(2)求点到平面的距离.9．（2024·河南省叶县高级中学模拟预料（文））如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面，，，，为棱上一点.(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.10．（2024·福建·福州四中高一期末）如图在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，.E､F､G､H分别是线段､､､上的动点，且四边形为平行四边形.(1)求证：平面；(2)设二面角的平面角为，求在区间变更的过程中，线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积；(3)设，且平面平面，则当为何值时，多面体的体积恰好为？④折叠问题1．（2024·重庆八中高三阶段练习）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.2．（2024·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．3．（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．(1)在三棱柱中，求证：平面；(2)试推断直线是否与平面平行，并说明理由．4．（2024·山西大附中高二开学考试）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．(1)证明：平面平面；(2)是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．5．（2024·福建泉州·高一期末）在矩形ABCD中，．点E，F分别在AB，CD上，且，沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE．(1)若平面⊥平面BCFE，求三棱锥的体积；(2)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求tan的最大值．6．（2024·广西玉林·高一期末）如图①，在梯形中，，，，，分别是，上的点，，.沿将梯形翻折，使平面平面（如图②）.(1)推断平面与平面的位置关系，并说明理由；(2)作出二面角的平面角，说明理由并求出它的余弦值.7．（2024·上海市青浦高级中学高一期末）在矩形ABCD中，，.点E，F分别在AB，CD上，且，.沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE.(1)求证：平面；(2)求证：与BC是异面直线；(3)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求的最大值.8．（2024·湖北十堰·高一期末）如图1，有一个边长为4的正六边形，将四边形沿着翻折到四边形的位置，连接，，形成的多面体如图2所示．(1)证明：．(2)若二面角的大小为，是线段上的一个动点（与，不重合），试问四棱锥与四棱锥的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．9．（2024·全国·高三专题练习）如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，(1)证明：平面ABD；(2)若，求二面角的余弦值．10．（2024·陕西·西北工业高校附属中学模拟预料（理））如图（1），在正方形中，、、分别为、、的中点，点在对角线上，且，将、、分别沿、、折起，使、、三点重合（记为），得四面体（如