椭圆中6种常考基础题型

第19讲椭圆中6种常考基础题型

【考点分析】

考点一：椭圆的通径

过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为生.

考点二：椭圆中有关三角形的周长问题

如图一所示：公尸士尼的周长为2a+2c

如图一所示：A4BC的周长为4。

考点三：椭圆上一点的有关最值

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为

考点四：椭圆的离心率

rM2_^212

椭圆的离心率e=—（0<e<1）,e2———-=1--

aa"a"a"

考点五：椭圆焦点三角形的面积为S=b2-tan0（0为焦距对应的张角）

2

考点六：中点弦问题（点差法）

中点弦问题：若椭圆与直线/交于4?两点，例为他中点，且砥B与心”斜率存在时，则原屋K,w=-4；

=--

（焦点在x轴上时），当焦点在y轴上时，kAB-KOMp

若43过椭圆的中心，P为椭圆上异于"任意一点，kpzKpB=-Z（焦点在x轴上时），当焦点在》轴

上时，即小长?8=_炉

【题型目录】

题型一：椭圆的定义有关题型

题型二：椭圆的标准方程

题型三：椭圆的离心率

题型四：椭圆中焦点三角形面积

题型五：椭圆中中点弦问题

题型六：椭圆中的最值问题

【典型例题】

题型一：椭圆的定义有关题型

【例1】已知AABC的周长为10,且顶点B(-2,0),C(2,0),则顶点A的轨迹方程是()

C.5+：=1(k0)D.[+5=1(k0)

6446

【答案】A

【解析】•二△ABC的周长为10,顶点8(-2,0),C(2,0),

.•.忸C|=4,卜同+“|=10-4=6>4,

.••点A到两个定点的距离之和等于定值，

:,点、A的轨迹是椭圆，a=3,c=2,・,•加=”4=5，

乂因为三点构成三角形，

・♦・椭圆的方程是二+$=1()，/0).

故选：A.

【例2】如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式+(),+3)2+Jx：+(y-3)2=4百,则点M的轨迹

是().

A.不存在B.椭圆C.线段D.双曲线

【答案】B

【解析】#+(),+3)2+也2+(y—3)2=4G表示平面山点加(x,N)到点(。,-3),(0,3)的距离之和为46,而

3-(-3)=6<4>/3,所以点〃的轨迹是椭圆，故选：B

【例3】设小工分别为椭圆9+y2=i的左、右焦点，点P在椭圆上，且|尸耳+户用=26，则/耳尸6=

（）

K兀八冗TC

A.-B.-C.—D.—

6432

【答案】D

【解析】川丽+丽月2叫=26，所以同=6=|。用=|%，所以4桃=90。

【例4】小鸟是椭圆。：:+5=1的左、右焦点，点尸在椭圆。上，1^1=6,过6作N/田鸟的

角平分线的垂线，垂足为M，则1。例1的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】如图，直线兄〃与直线尸工相交于点N,由于PM是/4P居的平分线，且耳N,

所以三角形耳印是等腰三角形，所以尸耳=9，点M为尸力中点，因为。为耳巴的中点，

所以OM是三角形EgN的中位线，所以|0M=g|8N|,其中优可=户用一忸用=2归用—24=2归制—6,

因|P耳|=6,所以|取7|=6,所以|°卜=3,所以选C

【例5】已知椭圆C:《+£=l,点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线

2516

段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】设MN的中点为G,椭圆的左右焦点分别为《，鸟，则G为MN的中点，片为的中点，所以

|AN=2|G用，同理忸N=2|G勾，所以|AN|+忸N|=2《G制+|Gq）=4〃=20

［例6］方程N+正=2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是)

A.k>0B.l<k<2C.k>lD.0<后<1

【答案】B

22

X'

二+匕I表示焦点在x轴上的椭圆，则有:0<|<2,

【解析】方程（+由2=2可变形为：

k

解得k＞l.易知当1＜女＜2时，k＞l.当k＞l时未必有1〈人＜2,所以1＜攵＜2是k＞l的充分但不必要

条件.故选B.

22

【例7】点月，尸2为椭圆C：3+方=1的两个焦点，点P为椭圆C内部的动点，则△P45周长的取值范

围为（）

A.(2,6)B.[4,6)

C.(4,6)D.[4,8)

【答案】C

【解析】由椭圆C：】，得:a=2,c=\,

当点P在椭圆上时,△「耳巴周长最大，为2a+2c=6,

当点P在x轴上时,去最小值，为4c=4,

又因点户为椭圆C内部的动点,

所以AP与心周长的取值范围为（4,6）.

故选：C.

【例8】椭圆匕+亡=

1的左、右焦点分别为石，F,点P在椭圆上，如果尸耳的中点在y轴上，那么|「耳|

932

是|尸名|的（)

A.7倍B.6倍C.5倍D.4倍

【答案】C

A23

【解析】由题意知：PF2LFiF2,所以|P用=一=§=1,因归周+|尸周=2a=6,所以|尸耳=5,所

|p用

以^~4=5

1^1

【题型专练】

I.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是()

o222

厂上»

A.--------1--------1(x#0)B.-%------J1-------1(X#))

36202036

C.—+^-=1(x#0)D.—+—=1(x加)

620206

【答案】B

【解析】：△ABC的周长为20,顶点8(0,-4),C(0,4),

.♦.BC=8,AB+4C=20-8=12,

：12>8.•.点A到两个定点的距离之和等于定值，.•.点A的轨迹是椭圆，

Va=6,。=4・'・按=20,

22

.••椭圆的方程是工+±=l(xw0)故选B.

2036'7

22

2.焦点在x轴上的椭圆二+匕=1焦距为8,两个焦点为6，F,,弦48过点£,则A4B用的周长为()

a'25

A.20B.28C.2\/41D.4741

【答案】D

【解析】由题意知。2=25，因为/=〃+/,所以/=25+16,解得。=历，所以AA8F2的周长

为4a=4历，故选：D

22

3.(2021新高考1卷)已知耳，工是椭圆C：土+3=1的两个焦点，点〃在。上，则园£卜阿闾的

最大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】因+阿闾=2a=6N2jMF[.,所以|"耳卜|"闾49

4.已知椭圆片+片=1的左、右焦点分别为与心，点”在椭圆上，若1"片1=4,则/月时名=()

92

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】c

【解析】

【分析】

根据椭圆方程求得闺用=2g，由椭圆的定义，得|峥|+|叫|=2a=6,求得|M£|=4,所以■闾=2,

在△耳M巴中，再由余弦定理列出方程，求得cosN^M心=-g,即可求解.

【详解】

解：由题意，椭圆方程—+-1,可得°=3,b=-$/2,c=y/a2—h2=币＞

所以焦点£（-夜,0）,月（户,0），

又由椭圆的定义，可得|M制+阿闾=2a=6,因为|〃用=4,所以|M段=2,

在△耳加工中，由余弦定理可得旧闻2TM国2+眼图2-2眼间四周cosN隼明，

22

所以（2近）2=4+2-2X4X2COSZF}MF2,解得cosNf；帆=-g,

又由N耳用入€（0,180）,所以Nf；M6=120.

故选:C.

5.设耳，尸2为椭圆片+片=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段尸片的中点在y轴上，则罂的值为（）

94IWI

5424

A.—B.-C.-D.-

13579

【答案】C

【解析】

【分析】

由中位线定理以及椭圆方程得出|尸用=。，再由桶圆的定义得出归用，再求需的值.

【详解】

由椭圆的定义可知，阀|+归闻=2a=6,由中位线定理可知，尸"桃，将片石代入卷+卜1中，

解得尸土：即附百，|尸娟=6一鸿，故簿泻

故选：C

6.已知曲线=1

A.若m>〃>（）,则c是椭圆，其焦点在y轴上

B.若加>〃>o,则c是椭圆，其焦点在x轴上

C.若m=^>0,则C是圆，其半径为薪

D.若m=0,〃>0,则C是两条直线

【答案】AD

22

工+工—111

【解析】山题意得：11一，所以当相>〃>o,则o<一<—,所以表示焦点在y轴上的椭圆，所

mn

mn

以A对，8错，当机=〃>0时，曲线C为•？+/=].,所以表示圆，半径为J=,当〃7=0,”>0时，

n7n

11

曲线C为>72=—，所以y=±-尸，所以表示两条直线，故选：AD

n7n

7.已知椭圆片+片=1的左焦点为尸，点尸在椭圆上且在x轴的上方，若线段尸尸的中点在以原点。为圆心,

95

|。尸|为半径的圆上，则直线PF的斜率是（）

A.石B.2非C.V15D.-V15

【答案】C

【解析】

【分析】

设线段尸尸2的中点为M，连接尸耳、MF,,利用圆的几何性质可得出4求得|PK同耳段=2c=2,

利用椭圆的定义可求得|尸名|,可判断出用的形状，即可得解.

【详解】

在椭圆?+《=1中，a=2,b=y/3,c=4ar^=l'

设线段尸外的中点为加，连接2片、M"，则"名为圆O的一条宜径，则耳"，尸死，

p

因为“为P5的中点,则|「制=|耳闻=2c=2,则忸闾=2a-|P4|=2,

所以，与耳为等边三角形，由图可知，直线P6的倾斜角力

故选：C.

8.在平面直角坐标系xOy中，若AA8C的顶点A(0-2)和C(0,2),顶点8在椭圆-^-+—=1±,则胆牡薯

128smB

的值是()

A.73B.2C.2百D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

由题设易知AC为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有|AB|+|CB|=2a,14cl=2c,最后

应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.

【详解】

由题设知：AC为椭圆的两个焦点，而8在椭圆上，

所以|AB|+|C3|=2a=4石,\AC\=2c=4,

由正弦定理边角关系知：sinA:—+psinC|AB|+|CB|6/r•

sinB\AC\

故选：A

22

9.已知％B是椭圆C：]+?=1的两个焦点，点加在C上，则|阿卜|帆|的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由题，。2=9,〃=4,则制+|“回=2。=6,

所以阳/讣|姐|4周=9（当且仅当=|叫1=3时，等号成立）.故选：C.

10.已知椭圆三+$=1的左、右焦点分别为「、尸?，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段尸鸟的中点在

43

以原点。为圆心，。名为半径的圆上，则直线P8的倾斜角为（）

A..B.三C.土D.丝

6433

【答案】C

【解析】

【分析】

设线段P玛的中点为M,连接尸耳、“耳，利用圆的几何性质可得出用尸鸟，求得|P耳|=|耳闾=2c=2,

利用椭圆的定义可求得|叫|,可判断出耳马的形状，即可得解.

【详解】

22

在林网F——=1中，a=2,b=>/3,c=\la2-b2=1，

43

设线段尸鸟的中点为连接PK、MK，则百工为圆。的一条直径，则月名，

因为M为P玛的中点,则|P周=恒闾=20=2,则|P闻=2a-|尸制=2,

所以，为等边三角形，由图可知，直线产工的倾斜角为

故选：C.

H.已知A为椭圆巨葛=1上一点，尸为椭圆一焦点，AF的中点为P,。为坐标原点，若四=2则|叫=

（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【解析】不妨设椭圆《+4=1左焦点为F，右焦点为E，

2516

因为AE的中点为P,E尸的中点为。，所以|4目=2|。日=4,

又由|A£|+|AF|=2a=10,可得|AF|=10-4=6.故选：B.

12.已知椭圆C：5+1=1的左右焦点分别是耳，耳，过工的直线与椭圆C交于48两点，且|"；|+|班|=8,

则回=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

22

【解析】山椭圆C:二+汇=1知：。=3,

94

由椭圆的定义得:\AFt\+\AF2\=2a=6,\BFl\+\BF2\=2a=6,

所以|前|+|即|+|AB|=4a=12,

又因为|A用+忸制=8,

所以|AB卜4,

故选：A

题型二：椭圆的标准方程

【例1】已知椭圆E：^+^=\(a>b>0)右焦点为(0,0),其上下顶点分别为C,,C2,点71(1,0),HQ±AC2,

则该椭圆的标准方程为()

3443

22

C.x2+^-=lD.—+/=1

33

【答案】D

【分析】由椭圆的几何性质可知上下顶点坐标，再由向量数量积可得从，即可得到答案.

【详解】根据题意可知，G(o，»，c2(o,-b).

所以AC,=(-1,h),AC2=(-1,-Z?),

又AG_LAG，所以ACJ4C2=1—从=0,可得从=i

在椭圆中，c=垃,又〃=^+。2,所以/=3

即椭圆的标准方程为J+y2=i.

3

故选：D.

2o

【例2】已知椭圆C：£+£=1（“>6>0）,椭圆C的一顶点为A,两个焦点为6,K，△A6K的面积为G，

焦距为2,过耳，且垂直于4尼的直线与椭圆C交于£>,E两点，则MOE的周长是（）

A.4&B.8C.2MD.16

【答案】B

v-22

【分析】先根据马的面积为G，焦距为2,求得椭圆方程为三+二v=1,然后根据已知条件及等边三

43

角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.

【详解】因为八4片鸟的面积为百，焦距为2,所以c=l,b=退，

所以=故椭圆方程为?+?=1，

假设A为椭圆C的上顶点，因为两个焦点为月，心，

所以|A耳|=,闾=。=2,内闾=2c=2,故|的卜|伍|=|百矶

所以△AG&为等边三角形，又因为过耳，且垂直于的直线与椭圆C交于。，E两点，

所以|4）卜阊，|A£|=|%],

由椭圆的定义可知：。闾+|。6|=2«=2X2=4,

\EF2\+\EFt\=2a=2x2=4,

所以VAT>£的周长为

|阴+|阴+|£）同=|四+|明+|冈+|明=4«=4*2=8,

故选：B.

【例3】如图，已知椭圆C的中心为原点O,尸（-260）为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点，满足|。巴=|。用,

且|PF|=4,则椭圆C的方程为（）

22

C.三+匕=1

D'

25545253010

【答案】D

【分析】设椭圆的右焦点为尸，连接尸尸',由|OP=|OW=|O尸1可得"J_Pk，可求得仍k1=8,由椭圆的

定义可求得“=6,利用〃,b,c之间的关系可求得加，即可得到答案

【详解】如图，设椭圆的右焦点为F’,则尸'（2石,0）,连接尸尸,

因为|0「|=|0尸1=|0尸所以M'PF,

所以|=加-1PF『=7(4>/5)2-42=8,

山椭圆的定义可得2a=1PFI+\PF'\=12,贝lja=6,

又因为c=|OF|=2>/5，所以b?=a2-c2=62—(2>/5)2=16,

【例4】阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼

近法''得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在

y轴上，且椭圆C的离心率为手，面积为12万，则椭圆C的方程为（）

y2X2•>)y2X2

A.厂---1-»--=11B.匕+二=1C,工+工=1D.匕+二二1

1889818884

【答案】C

【分析】利用待定系数法求椭圆的标准方程.

【详解】可设椭圆C的方程为5+

=l(<z>Z?>0),

c\J5

€——=--

a3/=18

由题意可得：al7ii=l2Tt,解得:从=8,

b2=a2-c2c2=10

所以椭圆C的方程为=1

818

故选：C

22

【例5】过椭圆C：*■+方=l（a＞方＞0）右焦点尸的直线/：x-y-2=0交C于A,8两点，尸为AB的中

点,且OP的斜率为则椭圆C的方程为（)

2222

A.二+二=1B.—I—=1

8495

x2/

C.D.-------1-------:

73106

【答案】A

【分析】由，与x轴交点横坐标可得半焦距c,设出点A,B坐标，利用点差法求出，/力2的关系即可计算作

答.

【详解】依题意，焦点尸（2,0）,即椭圆C的半焦距c=2,设AU,,%）,8®,%）,P（飞,％）,

%2工2+Q22_@2b2

则有./to两式相减得:小+引（…2）+「5+必）（凹-必）=。，

而不+占=2%,凶+%=2%,且％=-；,即有-2/a-*2)+。2(%-%)=0,

X。N

又直线/的斜率*因此有02=劫2,而/_/=°2=4,解得/=8,"=4,经验证符合题意,

%一%

V22

所以椭圆C的方程为一+。K=1.

84

故选：A

22

【例6】已知"分别是椭咋+方叱。＞。）的左、右焦点，A,8分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆

的右焦点K的直线交椭圆于C,。两点，”CO的周长为8,且直线AC,8c的斜率之积为-!，则椭圆的

4

方程为（）

A.—+/=1B.—+^=1C.—+y2=1D.—+-^-=1

232443

【答案】C

【分析】由△耳8的周长为8,可得4a=8,解得。=2.设C（玉，y）,可得钎4（1-5）,由于直线AC,

BC的斜率之积为可得代入化简可得〃.即可得出.

4百％4

【详解】解：△FC。的周长为8,.•.4a=8,解得a=2.

设C(X|,»),则片=4(1-韵,

•.•直线AC,BC的斜率之积为.*4(才一/)+父=0,

4%玉4

化为4（），；-。2）+4（1-g）=（）,可得廿=1

二椭圆的标准方程为：—+/=1.

4

故选：C

【例7】已知椭圆C的焦点为『TO）,K（1,0）,过尸2的直线与C交于4,8两点.若|AF；|=3|KB|,51ABi=4|B用,

则C的方程为（）

，v-22

A.—+y2=lB.—+.v<-=1

232

x2v2x2v2

4354

【答案】A

【分析】由已知可设怩4=”，则|A玛卜3〃,怛&=三AB|=5〃，得|AR=3〃，在△MB中求得cosAB=0,

从而可求解.

【详解】如图，由已知可设优回=〃，则|A段=3〃,怛用=；|AB|=5〃，

由椭圆的定义有2〃=忸制+|%|=6〃,.“盟|=2-|你|=3〃.

在△人卒中，由余弦定理推论得黑酒J。.

所以N6A鸟=90°,则|A用，|A用;忻用2n9〃2+9]=4

得3n=^2，所以〃=>/2，乂c=1,得b=l

故C的方程为1+丁=1

22

I.已知匕、居是椭圆C：­+斗=1（。>6>0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，ABAFO=（）

ab

且2A4=45+.若坐标原点O到直线A8的距离为3,则椭圆。的方程为（）

2

A.—+y2=1

4.

C.二+工=1

169

【答案】D

【分析】根据题干条件得到ABLA%耳为8丹的中点，作出辅助线，利用相似得到|你|=4,即”=4,结

合直角三角形的性质得到c=2,求出从，得到椭圆方程.

【详解】因为AB-A^=0,所以A8LAB，

因为2AE=AB+AE，所以A耳-4?=46一46，即台片;片6,

所以目为8名的中点，

BO3

又因为。耳=。玛=。，所以*=彳，

Dr24

过点O作OMLAB于点M,则|OM|=3,

根据RtBOMRtBF2A,可得耦^=需=；，所以|A段=4,

因为A为上顶点，所以|A£|=|4闾=4

根据双曲线定义可知：|州|+|伍|=2a=8,所以。=4,

由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：山闾=|做|=4,即勿=4,

所以c=2,故/=。2一/=16—4=12,

2.已知椭圆C：E+£=l（a>〃>0）,其左、右焦点分别为耳，心，离心率为:，点P为该椭圆上一点，且

a'b'2

满足方，若的内切圆的面积为兀，则该椭圆的方程为（）

A.工+其=1B,二+金=1C.E+F=1D.《+£=]

129161224183224

【答案】A

7T

【分析】由离心率的值，可得a，c的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由/月产8=三

及余弦定理可得归用归国的值，进而求出△耳尸鸟的面积，再由5码”=g（归用+归用+忻段）"，可得。的

值，进而求出椭圆的方程.

【详解】由离心率e=（，得£=1，即c=[a.

2a22

因为△片尸鸟的内切圆的面积为兀，设内切圆的半径为r,所以兀产=兀，解得厂=1,

由椭圆的定义可知|P£|+|P闾=为，

在△耳空中，N月产❷=三，由余弦定理得|尸£「+归用、2|尸用忖/讣cos/月桃=|耳目,

即附f+|P闾'-I阂・阀|=|耳对，

.♦.（附|+|峭）2-3|呐.|*=|耳闾2,

.•.3俨耳卜归闾=4/-462=34,可得归娟.归闾=〃，

所以如咤*耳H*-si吟=手/,

113

而=^\PF\+\PF^+\FyF^-r=-（2a+2c）-r=a+c=-a,

所以可得且屋=2”，解得.=26，c=6,

42

由/=〃+/,得6=3,

所以该椭圆的方程为工+上=1.

129

故选：A.

3.已知椭圆的两个焦点为甲-氐0),取石,0),M是椭圆上一点，若峙，|崎卜河闾=8,则该椭

圆的方程是()

22002，,>9

AA.—r+—y=1B0.—厂+—y-=i1c厂.厂—+—y~=1D门.—厂+厂—=1

72279449

【答案】C

【分析】首先设|5|=机，卜〃，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求加+〃，即可求得。力的值.

【详解】设|嫡|="，|峭卜明因为ME_LME，|岫卜|咋1=8,恒闾=26,所以加+“2=20,皿=8,

所以("?+〃)2="?2+〃2+2”?〃=36,所以%+〃=2a=6,所以。=3.因为c=&\所以==2.所

以椭圆的方程是《+反=1.

94

故选：C

4.已知耳(-1,0),鸟(1,0)是椭圆C的两个焦点，过心且垂直于x轴的直线交椭圆C于48两点，|4?|=3,

则椭圆C的标准方程为()

20

A.x2+^―=1B.—+y2=1C.—+^-=1D=i

3343-f4

【答案】C

【分析】方法一：构造一△4玛耳并利用片+从=,2,从而求出刃匕,得出椭圆C的标准方程;方法二：若

22

椭圆的标准方程为「+2=1(。>6>0),则过焦点且垂直于X轴的直线与椭圆相交所得的线段为椭圆的通

ab

径，其长为2生b2，并利用"+〃=。2,求由4力，从而得出椭圆C的标准方程.

a

22

【详解】方法一：由题意，设椭圆C的标准方程之+2=l(a>b>0)连接M，如图所示.

ab-

由题意，得M段=-AB|=1,WKI=2.在心耳中，|A£|2=|A居|2+|丹玛|2=?①.

22

又|A£|=2a-1AA|=2a；3②.由①②，得a=2,所以廿=/-1=3,所以椭圆C的标准方程为y—+v^=1.

243

方法二：由题意，设椭圆C的标准方程为鸟+*=1（a>6>0）,则|AB|=^=3,即/=当，又〃一/=1,

a-b-a2

所以〃=2或。=一］（舍去），所以4=4,从=3,

2

故椭圆C的标准方程为《+亡=1.

43

故选：C.

22

5.已知椭圆C：5+方=1（〃>6>0）的右焦点为（虚,0）,右顶点为A,0为坐标原点，过OA的中点且与

坐标轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（）

22

A.—+/=1B.三+二=1C.—+^-=1D.—X+^y-=1

3537597

【答案】A

【分析】待定系数法去求椭圆C的方程

£。

【详解】由椭圆方程可知A（a,O）,由四边形OMAN是正方形可知2,27

又点M在椭圆C上，则有（J）,,解得（=3,

—+£=1从

ab

又椭圆c的右焦点为（3,0）,则c=JL

结合椭圆中"一片=。2,解得/=3,从=1,则椭圆C的方程为、■+>2=1.

故选：A

6.已知椭圆C1+*=1（。>匕>0）的左焦点为尸，过点尸的直线x-y+亚=0与椭圆C相交于不同的两点

48,若P为线段A3的中点，。为坐标原点，直线OP的斜率为-g,

则椭圆。的方程为（）

A冗2x2y2

A.—+y=1DB.—+—=1

342

【答案】B

【分析】先求得焦点，也即求得J然后利用点差法求得斗，从而求得也即求得椭圆C的方程.

【详解】直线x-y+及=0过点网-夜,。），所以c=VL

山¥+[='+4=1两式相减并化简得-与=丝心比也

ab-ab~a%+^-x2

b21,

•1,—r=—,a72=2b-9=/79"+c'?,

a22

所以〃=C=V2,4=2,

所以椭圆c的方程为《

故选：B

7.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆

22

周率乃C：'+专■Mig〉/,〉。）的左，右焦点分别是K，F2,P是c上一点，|P用=3归用ZF'P&q,

C的面积为12万，则C的标准方程为（）

【答案】C

【分析】由|P6|=3俨闾，/大尸名=?根据椭圆的定义及余弦定理可得。，c的关系，根据"逼近法''求椭圆的

面积公式，及片=/+°2,即可求得的值，进而可得C的标准方程.

【详解】由椭圆的定义可知|「周+归国=为，又归用=3归国，所以归用=乎，|P£|=；a.又2片/＞工=亭

忻闾2=附『+|叫/附卜|叫cosqPg,所以4/=犷+#_#,所以〃=三。，

〃=〃2_02=/c又椭圆的面积为12乃,所以卡C•*c乃=12兀，解得°2=7,/=16,b2=9.

故选：C.

22

8.已知椭圆C2■+2=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为B,尸2,左、右顶点分别为M,N,过尸2的直线

/交C于A,8两点（异于M、N）,山的周长为46，且直线AM与AN的斜率之积为一|,则椭圆C的

标准方程为（）

22，2

yx~0工，yi

AA.—H=1AB.—+-----1

3434

222

C.-+y2=lD.—+—=1

332

【答案】D

【分析】先利用周长为4a求得a值，得到M,N坐标，再设点4%,%),利用直线AM与AN的斜率之积构

建关系，结合4%,%)满足已知方程，解得加=2,即得结果.

【详解】由AAF店的周长为46，可知|A甲+|4玛|+|防|+|Bg|=4a=46,解得a=百，则

M（-瓜0）,N（区0）,

设点A(%,%),由直线AM与AN的斜率之积为一。，可得一左后,一处方=-■!，即姬=一|'(/2—3)①.

3%+"工0—V333

又所以为2=〃(］一争②，

由①②解得从=2,所以椭圆C的标准方程为《+$=1.

32

故选：D.

9.已知椭圆C的焦点为片(-1,0),鸟(L0),过B的直线交于C与A,B,若|A&=2后可，|明=|明则

C的方程为()

A.—+/=1B.—+^=1C.—+^-=1D.—+^=1

2324398

【答案】B

【分析】根据给定条件利用椭圆定义及余弦定理列出方程求出从即可得解.

【详解】依题意,设椭圆方程为（〃＞力＞）

铲=10,

由椭圆定义知，忸制=2“-忸闾，因|A段=2后却，|M|=忸娟，则3|8尼|=24-|8"|,解得|86|=9,

a

于是得忸用=1*|A用=a,|/国=a,显然点4在y轴上，如图,

在Rt。4居中，|。6|=1,cosZA/=；O=-,在AB4心中，1Kgb2,cosNB8片,

3iii

由余弦定理得=+K号-28名由KcosNBRG，BP(-«)2=(-a)2+4-2--a-2.(—),解得〃=3,

222a

b2=a2—