2023-2024学年江西省新余市高一下学期期末质量检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省新余市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∈Zx+1≥0，B=xx2A.x∈Zx≥−1 B.x−1≤x≤3 C.−1,0,1,2,3 2.设复数z满足(1−2i)z=4+2i，则z=(

)A.2i B.−2i C.3i D.−3i3.已知向量a=(−2,23)，b=(1,3)A.14a B.−14a 4.已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为(

)A.48 B.64 C.80 D.1445.若a，b，c为空间中的不同直线，α，β，γ为不同平面，则下列为真命题的个数是(

)①a⊥c，b⊥c，则a//b；

②a⊥α，b⊥α，则a//b；③α⊥γ，β⊥γ，则α//β；

④a⊥α，a⊥β，则α//β．A.0 B.1 C.2 D.36.下列说法错误的是(

)A.在△ABC中，若a>b，则cosA<cosB

B.在锐角△ABC中，不等式b2+c2−a2>0恒成立

C.在△ABC中，若C=π4，a2−c2=bc，则△ABC为等腰直角三角形7.已知A为锐角，tan2A=cosA2−sinA，A.−1517 B.1517 8.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，f(−π8)=0，|f(3π8A.1 B.3 C.5 D.7二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则AB+DC=2EF

B.复数z=1+i1−i(i是虚数单位)，则10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是A.φ=π3

B.函数f(x)的图象关于直线x=512π对称

C.函数f(x)图象向右平移π6个单位可得函数y=2sin2x的图象

D.若方程f(x)=m(m∈R)11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M、NA.平面AMC1⊥平面CB1D1

B.若M是A1B1中点，则异面直线AM与DD1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为________．13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=60°，c=7，若a−b=3，D为AB中点，则CD=

．14.如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AC=BC=BD=CD，二面角A−BC−D的余弦值为−13，若三棱锥A−BCD的体积为13，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，BC=6，∠ACB=60°，边AB，BC上的点M，N满足BM=13MA，BN=2(1)设NM=λCB+μCA，求实数(2)若BP⋅NM=−8，求边16.(本小题12分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40,50,50,60，…，(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在50,60的平均成绩是54，方差是7，落在60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2．17.(本小题12分)

某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圆上一点(异于B，C)，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB.已知∠ACB=90°，AB=1dm，设∠ABC=θ．

(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC=∠PCB，且CA+CP达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA=60°，且CH+CP达到最大．当θ为何值时，CH+CP取得最大值，并求该最大值．18.(本小题12分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=12BC=2，E是BC的中点，AE∩BD=M，将△BAE沿着AE翻折成△B1(1)求证：CD⊥平面B1(2)求B1E与平面(3)在线段B1C上是否存在点P，使得MP//平面B1AD19.(本小题12分)对于函数f (x)，g(x)，若存在实数m，n，使得函数ℎ(x)=mf(x)+ng(x)，则称ℎ(x)为f (x)，g(x)的“合成函数”．

(1)已知f(x)=x−3，g(x)=3−2x，试判断ℎ(x)=x−6是否为

f (x)，g(x)的“合成函数”？若是，求实数m，n的值；若不是，说明理由；

(2)已知f(x)=sin(x−π4)，g(x)=cosx，ℎ(x)为f (x)，g(x)的“合成函数”，且m=1，n=2

(3)已知f(x)=x，g(x)=3x，ℎ(x)为f (x)，g(x)的“合成函数”(其中m>0, n>0)，ℎ(x)的定义域为(0,+∞)，当且仅当x=3时，ℎ(x)取得最小值6.若对任意正实数x1, x2，且x1参考答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

7.A

8.B

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.11013.12914.4π

15.解：(1)因为BM=13MA，BN=2NC，所以BM=14BA，BN=23BC，

所以NM=BM−BN=14BA−23BC=14(BC+CA)−2316.解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030．

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

设第75百分位数为m，

由0.65+(m−80)×0.025=0.75，

得m=84，故第75百分位数为84．

(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，

故z=10×54+66×2010+20=62．

设成绩在[50,60)中10人的分数分别为x1，x2，x3，⋯，x10;

成绩在[60,70)中20人的分数分别为y1，y2，y3，⋯，y20，

则由题意可得，

x12+x22+⋯+x17.

解：(1)易知∠ABC=∠PCB=θ，

则在直角△ABC中，CA=sinθ，BC=cosθ．

在直角△PBC中，CP=BC⋅cosθ=cos2θ，

PB=BC⋅sinθ=sinθcosθ．

CA+CP=sin θ+cos2θ=sin θ+1−sin2θ

=−sin2θ+sin θ+1，θ∈0,90°，

所以当sinθ=12即θ=30°时，CA+CP取到最大值，为54；

(2)在直角△ABC中，由18.(1)证明：因为

AD//BC

，

E

是

BC

的中点，所以

AB=AD=BE=12故四边形

ABED

是菱形，从而

AE⊥BD

，所以

▵BAE

沿着

AE

翻折成

▵B1AE

后，

AE⊥B1M又因为

B1M∩DM=M

，B1M,DM⊂平面

B1MD

，所以

AE⊥由题意，易知

AD//CE

，

AD=CE

，所以四边形

AECD

是平行四边形，故

AE//CD

，所以

CD⊥

平面

B1DM(2)解：因为

AE⊥

平面

B1MD

，所以

B1E

与平面

B1MD由已知条件，可知

AB=AE=CD

，

AB=AD=BE=12所以

▵B1AE

是正三角形，所以

∠EB1M=30∘

，所以

B(3)解：假设线段

B1C

上是存在点

P

，使得

MP//

平面

B过点

P

作

PQ//CD

交

B1D

于

Q

，连结

MP

，

AQ所以

AM//CD//PQ

，所以

A

，

M

，

P

，

Q

四点共面，又因为

MP//

平面

B1AD

，MP⊂平面AMPQ，平面AMPQ∩平面

B1AD=AQ，

所以所以四边形

AMPQ

为平行四边形，故

AM=PQ=12所以

P

为

B1C

中点，故在线段

B1C

上存在点

P

，使得

MP//

平面

B1AD

19.解：(1)假设ℎ(x)为f (x)，g(x)的“合成函数”，

则ℎ(x)=x−6=m(x−3)+n(3−2x)=(m−2n)x+3(n−m)，

所以m−2n=13n−3m=−6，解得m=3n=1；

(2)因为f(x)=sin(x−π

所以ℎ(x)=sin

由f(x+π4)⋅g(x)+kℎ(x)=0，

得

令sinx+co