2023-2024学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省咸宁市高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=log2(2−x)}，B={y|y=2x−4A.(0,2) B.[0,2] C.(0,+∞) D.(−∞,2]2.在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数z⋅i2025对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

)A.若m⊥n，m⊥α，则n/​/α

B.若m/​/n，m⊥α，则n⊥α

C.若m/​/α，m/​/β，则α/​/β

D.“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件4.设f(x)=x2−2ax+4(x∈R)，则关于x的不等式f(x)<0有解的一个必要不充分条件是A.−2<a<0 B.a<−2或a>2 C.|a|>4 D.|a|≥25.在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别满足AF=34AD，BG=34BC，设ABA.|b|=34|a| B.6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘且BB1=4，已知该三棱柱的体积为A.1 B.3−12 C.7.矩形ABCD(AB>AD)的周长为16cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则△ADP的最大面积为(

)A.48−162 B.48−322 C.8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且f(x)在(2,+∞)上单调递增，若x∈[1,3]，不等式f(ax)<f(x−2)恒成立，则实数a的取值范围为(

)A.(13,1) B.(1,5) C.(0,二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是(

)

A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分

B.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分

C.分数在区间[60,70)内的频率为0.2

D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间[70,80)应抽取30人10.已知向量a=(1,2)，b=(−2,2)，c=(4,k)，则下列说法正确的是A.若(a+b)/​/c，则k=−16 B.a在b上的投影向量为(−12,12)

C.若11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A−BCD.设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法正确的是(

)

A.在翻折过程中存在某个位置，使AB⊥CD

B.当AE⊥EF时，AD与平面ABC所成角的正弦值为55

C.在翻折过程中，三棱锥A−BCD体积的最大值为2

D.当AB=AD时，CM+FM三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知角α满足2sin(α−π3)−cos13.已知函数f(x)=x+1,x≤0ln(x+1),x>0，则关于x的方程f(f(x))=1的不等实根的个数为

14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则5b+c四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知关于x的不等式2x(1)若a=1，求不等式的解集;(2)解关于x的不等式．16.(本小题12分)

如图，在梯形ABCD中，AB=2DC，∠BAD=90°，AB=AD=2，E为线段BC中点，记AB=a，AD(1)用a，b表示向量AE(2)求AE2的值(3)求AE与BD夹角的余弦值．17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥BD，BC⊥面PAB，且△PAB的面积为2(1)求证：CD⊥面PAD;(2)当四棱锥P−ABCD的外接球体积最小时，求平面PCD与平面PBC所成二面角的余弦值．18.(本小题12分)已知函数f(x)=sin(ωx+2θ)+3cos(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[0,π2]时，关于x的方程f(x)=m有两个不同的实根，求实数(3)在△ABC中，设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中f(A2)=3，a=6，c=2，∠BAC的角平分线交19.(本小题12分)已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，⋯，xn∈D2，使得g(xi)=f(x0(1)判断g(x)=|ex−4|(x∈R)是否为f(x)=x−4(x∈(4,8))的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值(2)若g(x)=ax2+(2a−2)x−2,−1≤x≤0|x−1|,x>0为f(x)=log(3)若g(x)=sin(ωx−π6)(x∈[0,2π])为f(x)=2xx参考答案1.A

2.D

3.B

4.D

5.C

6.B

7.B

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.±13.2

14.(5,515.解：2x2+x>2ax+a，∴x(2x+1)>a(2x+1)，∴(x−a)(2x+1)>0，

(1)当a=1时，可得解集为{x|x>1或x<−12}.

(2)对应方程的两个根为a，−12，

当a=−12时，原不等式的解集为{x|x≠−12}，

当a>−16.解：(1)AE=12(AB+AC)=12(a17.(1)证明：∵BC⊥面PAB，PA⊂面PAB，∴BC⊥PA，

又PA⊥BD，BC∩BD=B，BC、BD⊂面ABCD，∴PA⊥面ABCD，

CD在面ABCD内，∴PA⊥CD，

∵ABCD是正方形，∴AD⊥CD，

又AD∩PA=A，AD、PA⊂面PAD，∴CD⊥面PAD．

(2)设PA=x，，

设四棱锥P−ABCD的外接球的半径为R，

则(2R)2=x2+y2+y2=x2+2y2≥22xy=16

(当且仅当x=2y，即x=22，y=2取等号)．

过B作BH⊥PC交PC于H，连接DH，

18.解：(1)f(x)=sin(ωx+θ+θ)−2cos(ωx+θ)⋅sinθ+3cosωx

=sin(ωx+θ)⋅cosθ−cos(ωx+θ)⋅sinθ+3cosωx

=sinωx+3cosωx=2sin(ωx+π3)，

由x∈(0,π)得π3<ωx+π3<ωπ+π3，

由函数f(x)在(0,π)上恰好有两个零点得2π<ωπ+π3≤3π，53<ω≤83ω∈N∗，

∴ω=2．

由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，19.解：(1)因为g(x)=|ex−4|，x∈R，f(x)=x−4，x∈(4,8)，

则f(x)∈(0,4)，由定义可得，对任意x0∈(4,8)，

恰好存在不同的实数x1，x2，⋯xn∈R，使得g(xi)=f(x0)，

(其中i=1，2，⋯n，n∈N∗)，

即|exi−4|=t，t∈(0,4)，可得ex−4=±t，

即ex=4+t∈(4,8)或ex=4−t∈(0,4)，

所以对于任意x0∈(4,8)，能找到两个xi，使得|exi−4|=x0−4，

所以g (x)是f(x)的“n重覆盖函数”，且n=2;

(2)可得f(x)=log2ex+2ex+1=log2(1+1ex+1)的定义域为R，

即对任意x0∈R，存在3个不同的实数x1，x2，x3∈[−1,+∞)，

使得g(xi)=f(x0)(其中i=1，2，3)，

∵ex>0，则ex+1>1⇒0<1ex+1<1⇒1<1+1ex+1<2，

∴0<log2(1+1ex+