双曲线的简单几何性质（第1课时）高二数学（人教A版2019选择性必修第一册）

.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）教学设计课时教学内容双曲线的简单几何性质双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率课时教学目标1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．3.根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．教学重点、难点重点：双曲线的几何特征，双曲线的标准方程，以及它的简单几何性质.难点：双曲线的渐近线及离心率的意义教学过程设计环节一创设情境，引入课题问题1：(1)双曲线的标准方程是什么？（2）前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？类比椭圆的几何性质的研究，你认为应该研究双曲线①的哪些几何性质？如何研究这些性质？探究1：类比椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的几何性质，借助eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)探讨双曲线几何性质。探究要求：要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲。设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下，学生自主探究，深入思考，感知数学，并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评。活动成果：（1）椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)范围－a≤x≤a－b≤y≤bx≥a或x≤－a，y∈R对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)离心率e＝eq\f(c,a)，0<e<1e＝eq\f(c,a)，e>1（2）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)。（3）线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长。环节二观察分析，感知概念1．范围问题2：观察双曲线的形状，你能从图上看出它的范围吗？类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是(图3.2-7)．下面利用双曲线的方程求出它的范围．由方程①可得，于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即，．所以或，．这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域．2．对称性问题3：观察双曲线的形状，你能从图上看出双曲线具有怎样的对称性？哪些点比较特殊？类比研究椭圆对称性的方法容易得到，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．顶点问题4：什么是双曲线的顶点？类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点，．因为轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．问题5：双曲线的对称轴与双曲线有几个交点？这说明它有几个顶点？这与椭圆有何异同？令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把，两点画在轴上（图3.2-8)．线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长．环节三抽象概括，形成概念渐近线探究2:渐近线的发现与论证。利用信息技术画出双曲线和两条直线（图3.2-9）．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？可以发现，点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于0．实际上，经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形（图3.2-8)，矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交．一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．结论：双曲线的渐近线方程为，即；双曲线的渐近线方程为，即．方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0，反过来，若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为．在双曲线中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．探究过程：（1）借助几何画板，感性认识一个具体的双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1与直线eq\f(x,3)－eq\f(y,2)＝0的渐近特性；（2）理论推导双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与直线eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0的位置关系，并直观演示两者无限接近，但永不相交的特性。设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合教师的启发诱导，说明双曲线上的点越来越接近于直线y＝eq\f(b,a)x；采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征。活动成果：（1）双曲线的渐近线的定义。（2）双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0。（3）画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。环节四辨析理解深化概念离心率探究3：离心率的几何意义。探究过程：借助几何画板感性认识渐近线、e、双曲线张口关系并证明。设计意图：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识。活动成果：e越大，开口就越大。3、比较归纳理解新知学生独立完成焦点在y轴上的双曲线的几何性质、完善表格：图形方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)离心率e＝eq\f(c,a)(e>1)e＝eq\f(c,a)(e>1)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率．因为，所以双曲线的离心率．问题6：观察图，我们发现，不同双曲线的开阔程度不同，你能用适当的量定量刻画双曲线的开阔程度吗？双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？双曲线的离心率，离心率越大，渐近线的斜率越大，双曲线的“张口”越大．环节五概念应用，巩固内化例3求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．解：把双曲线的方程化为标准方程．由此可知，实半轴长，虚半轴长；，焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为．环节六归纳总结,反思提升问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的概念有哪些？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？知识清单：(1)双曲线的几何性质．(2)等轴双曲线．(3)双曲线的离心率．2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。环节七 目标检测，作业布置完成教材：第124页练习第1，2，3,4题第126页练习第1，2，3题第127页习题3.2第3,4,8,9,13题练习（第124页）1．求下列双曲线的实轴和虚轴的长，顶点和焦点的坐标即离心率．（1）；（2）；（3）；（4）．1．解析：（1），，，，，∴双曲线的实轴的长，虚轴的长，顶点坐标，．焦点坐标，．离心率．（2），，，，，∴双曲线的实轴的长、虚轴的长，顶点坐标，．焦点的坐标，．离心率．（3），，，，，∴双曲线的实轴的长、虚轴的长，顶点，．焦点的坐标，，离心率e．（4），，，，，∴双曲线的实轴的长、虚轴的长，顶点，．焦点的坐标，，离心率．2．求符合下列条件的双曲线的标准方程．（1）顶点在轴上，两顶点间的距离是8，；（2）焦点在轴上，焦距是16，．2．解析：（1）顶点在轴上，两顶点间的距离是，，则，，，∴双曲线的标准方程为；（2）焦点在y轴上，焦距是16，，则，，，∴双曲线的标准方程为．3．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和