华东师大版初中数学九年级上册23-3相似三角形第2课时相似三角形的判定定理1课件

九年级

上册华东师大版初中数学第23章图形的相似23.3相似三角形第2课时相似三角形的判定定理知识点4相似三角形的判定定理1基础过关全练1.(2024四川眉山仁寿期中)如图,D为等边△ABC的边BC上一

点,∠BAD=∠CDE,BD=2,CD=4,则CE的长为

(

)

A.

B.1

C.

D.2C解析∵△ABC是等边三角形,∴∠ABD=∠DCE,AB=BC=

BD+CD=6,∵∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE,∴

=

,∴

=

,∴CE=

.2.(新考向·开放型试题)(2024湖南郴州汝城七中期末)已知:如

图,在△ABC中,点E在边AB上,点F在AC边上,要使△AFE∽△

ABC,则需要增加的一个条件是

.(写出一个即可)

答案不唯一,如∠AEF=∠C解析∵∠A=∠A,∴添加∠AEF=∠C或∠AFE=∠B,均可证

得△AFE∽△ABC.3.(一线三垂直模型)(2023黑龙江大庆中考)在综合与实践课

上,老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

有一张矩形纸片ABCD如图所示,点N在边AD上,现将矩形折

叠,折痕为BN,点A的对应点记为点M,若点M恰好落在边DC

上,则图中与△NDM一定相似的三角形是

.

△MCB解析∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°,∴∠DNM+∠DMN=90°,由折叠的性质可知∠BMN=∠A=90°,∴∠DMN+∠CMB=90°,∴∠DNM=∠CMB,∴△NDM∽△MCB.4.(2024河南南阳十三中月考)已知:如图,△ABC中,CE⊥AB,

BF⊥AC,求证:

=

.

证明∵CE⊥AB于E,BF⊥AC于F,∴∠AFB=∠AEC.∵∠A

为公共角,∴△ABF∽△ACE,∴

=

.5.(新考向·尺规作图)(2024福建泉州晋江阳溪中学月考)如图,

在△ABC中,∠ACB=90°.(1)在AB上求作点D,使△CDB∽△ACB,并说明理由;(要求:尺

规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若BC=5,AC=12,求BD长.

解析

(1)作图如下,根据作图过程可知CD⊥AB,∴∠BDC=9

0°,∵∠ACB=90°,∴∠BDC=∠BCA,∵∠CBD=∠ABC,∴△CDB∽△ACB.(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AC=12,∴AB=

=

=13,∵△CDB∽△ACB,∴

=

,即

=

,∴BD=

.6.(2024山西临汾一中二模,8,★★☆)如图,已知AB∥CD,AD、BC相交于点E,AG分别交BC、CD于点F、G,∠FAE=∠ABE,则图中相似三角形的对数为

(

)

A.3

B.4

C.5

D.6能力提升全练D解析∵AB∥CD,∴△ABE∽△DCE,△ABF∽△GCF;∵AB

∥CD,∴∠BAE=∠D,∵∠FAE=∠ABE,∴△ABE∽△DAG,

∴△DAG∽△DCE;∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∴∠DAG=∠C,

∵∠AFE=∠GFC,∴△AEF∽△CGF;∵∠AFB=∠AFE,∠

FAE=∠ABE,∴△AEF∽△BAF,∴图中相似三角形的对数为

6.7.(2024吉林长春宽城二模,24,★★☆)在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)如图1,若AB=3,AC=5,求AD的长;(2)如图2,过点A分别作AC,BD的垂线,分别交BC,BD于点E,F.

求证:∠ABC=∠EAF.图1

图2

解析

(1)∵∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠

ACB.∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB,∴

=

,即

=

,∴AD=

.(2)证明:∵AE⊥AC,AF⊥BD,∴∠AFB=∠EAC=90°,∵∠ABF

=∠C,∴△ABF∽△ECA,∴∠BAF=∠CEA,∵∠BAF=∠BAE

+∠EAF,∠AEC=∠ABC+∠BAE,∴∠ABC=∠EAF.8.(推理能力)(2024甘肃天水武山二模)△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P为BC上的动点,小慧拿着一个含45°角的透明三角板,使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P点旋转.(1)如图1,当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时,求证:

△BPE∽△CFP.(2)将三角板绕点P旋转到图2所示的位置时,三角板的两边分

别交BA的延长线、边AC于点E、F,△BPE与△CFP还相似

吗?请说明理由.素养探究全练

图1

图2解析

(1)证明:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠

C=45°.∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,∴∠BPE+∠BEP=135°,

∵∠EPF=45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,∴∠BPE+∠

CPF=135°,∴∠BEP=∠CPF,∵∠B=∠C,∴△BPE∽△CFP.(2)△BPE∽△CFP,理由如下:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=

AC,∴∠B=∠C=45°.∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,∴∠BPE+

∠BEP=135°.∵∠EPF=45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,∴∠BPE+∠CPF=135°,∴∠BEP=∠CPF,∵∠B=∠C,∴△BPE∽△CFP.微专题5

“三点定形”证明三角形相似方法指引

1.(2024湖南衡阳成章实验中学月考)如图,已知△ABC中,AD

平分∠BAC,EF是AD的垂直平分线,交BC的延长线于F,连结

AF,求证:DF2=BF·CF.

证明∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵EF是AD的垂

直平分线,∴AF=DF,∴∠FAD=∠ADF,∵∠FAD=∠FAC+∠CAD,∠ADF=∠BAD+∠B,∴∠FAC=∠B,∵∠AFC=∠AFB,∴△FAC∽△FBA,∴

=

,∴AF2=BF·CF,∵AF=DF,∴DF2=BF·CF.2.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于O点,过点B