【岩土结构基础结构力学】第7讲结构动力学1

2019年张工培训注册勘察

设计岩土结构基础班第7讲：结构动力学------结构动力特性与动力反应网络授课

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及时答疑专有题库主讲：黄老师十四、结构力学与结构设计（12题）14.1.5

结构动力特性与动力反应单自由度体系；自振周期；频率；振幅与最大动内力；阻尼

对振动的影响；一级注册结构工程师基础考试大纲十五、结构力学（15题）15.6

结构动力特性与动力反应单自由度体系周期频率简谐荷载与突加荷载作用下简单结

构的动力系数振幅与最大动内力;阻尼对振动的影响;多自由度体系自振频率与主振型;主振型正交性注册土木工程师（岩土）基础考试大纲2一、动荷载及其分类二、动力计算的特点和动力自由度三、单自由度体系的自由振动（无阻尼）四、单自由度体系的自由振动（有阻尼）五、单自由度体系的强迫振动（无阻尼）六、单自由度体系的强迫振动（有阻尼）结构动力特性与动力反应3一、动荷载及其分类结构在大小、方向和作用点随时间变化的荷载作用下，质

量运动加速度所引起的惯性力和荷载相比大到不可忽视时，则

把这种荷载称为动荷载。大小、方向和作用点不随时间变化的荷载称为静荷载。惯性力和荷载相比小到可以忽略不计，这时仍可将其当作静荷载进行分析。而所谓荷载变化的快慢，不仅要看荷载，而

且还要看结构动力特性。4动荷载的分类动荷载可表示为时间和位置（坐标）的函数地震荷载其他无法确定规律的动荷载冲击荷载突加荷载其他动荷载非周期荷载

风荷载简谐荷载非简谐荷载周期荷载{非确定性荷载确定性荷载动荷载5

6简谐荷载

一般周期荷载⑵

冲击荷载：短时内剧增或剧减。F

(t

)⑴

周期荷载：随时间作周期性变化(转动电机的偏心力)。FP

(t

)FPFP

(t)=FP

sinθttr

ttr

t爆炸荷载突加荷载FP

(t

)FP

(t)FPttP

7⑶

随机荷载：(非确定性荷载)

荷载在将来任一时刻的数值无

法事先确定。（如地震荷载、风荷载）随机荷载P

(

t

)t动力计算的内容研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。

涉及内外两方面的因素：结构的动力特性：自振频率、阻尼、振型。(自由振动)荷载的变化规律及其动力反应。(强迫振动)动力计算与静力计算的区别两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立

的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间

平衡，荷载和内力都是时间的函数。建立的方程是微分方程。二、动力计算的特点和动力自由度8确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参

数的个数称为体系的振动自由度。质量都是连续分布的，结构都是无限自由度的。常作简化。

⑴集中质量法把质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成

有限自由度问题。I动力计算中体系的自由度

★★★★厂房排架水平振动

2I

I梁上集中质量时的计算简图9

10复杂体系可通过加支杆

限制质量运动的办法确

定体系的自由度。三个自由度水平振动时的计算体系

11

自由度为1

自由度为2

y2

自由度为1 几种典型体系的自由度确定自由度与质点

的数目无关a

梁式杆（不计轴变）

EIEIEI自由度为2y1

y2EI=∞

12

弹簧和桁架杆不影

响体系的自由度E自由度为2c考虑轴变的桁架杆EIEIEIEIb

弹簧支撑y2EA自由度为2自由度为2y1

13

y1

y1ii

EI1=∞

i一l

【例】y1EI自由度为1自由度为3自由度为1y2

2EI2EIEIEIEIy1y1⑵体系的自由度与其超静定次数无关。⑶体系的自由度数目决定了结构动力计算的精度。⑷在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，

动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。

⑴对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集

中质量数，可能比它多，也可能比它少。一个质点两个

自由度两个质点一个

自由度几点注意：14用直接平衡法建立体系运动方程的一般步骤为：(1)确定体系质量的分布及动力自由度，建立动力计算模型。简称建模；(2)建立坐标系、确定各自由度的位移参数；(3)根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼假设，沿质量各自由度方向加上惯性力和阻尼力；(4)通过分析质量平衡或考虑变形协调，建立体系的运动方程。【理论力学】质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力-

-

-在形式上组成平衡力系。

F

+

FN

+

FI

=

0动力体系运动方程的建立15具体的方法有两种：（1）刚度法──取每一运动质量为隔离体，分析质量所受的全部外力（动荷载、惯性力和阻尼力，弹性力），建立质量各自由度的瞬时“动平衡”方程。（2）柔度法──以结构整体为研究对象，计算位移系数和荷载所引起的自由度方向的位移，叠加列出自由度方向位移的协调条件。FI

(t)=—m

(t)=μF0

β2

sin(θt

—Ψ)FD

(t)=—cy.(t)=—2ξμF0

βcos(θt—Ψ)

FS

(t)=—ky(t)=—μF0

sin(θt

—Ψ)y..惯性力：

阻尼力：

弹性力：16单自由度体系动力分析的重要性①具有实际应用价值，或进行初步的估算。

②是多自由度体系动力分析的基础。自由振动：振动过程中没有干扰力作用，振动是由初始移

或初始速度或两者共同影响下所引起的。

17三、单自由度体系的自由振动（无阻尼）自由振动微分方程的建立⑴

刚度法刚度法从质点受力平衡的角

度建立自由振动微分方程。m

(t

)

+

ky

(t

)

=0y..弹簧的刚度系数k=柱顶有单

位水平位移是在柱顶所需施

加的水平力。Fm

(t

)

+y..m

(t

)

+y..l0

y(t)mky(t)18kymk从体系的位移协调角度建立的自由振动微分方程。取体系为研究对象，加惯性力：

⑵

柔度法

iy(t)mk19n

α

cos①t+

a

cosα

sin

①t振幅:初始相位角:α

=arctan

202.

自由振动微分方程的解

F=1

k柔度系数δ等于柱顶有单位水

平力时产生的柱顶水平位移。

无阻尼自由振动是简谐振动=a

sin

α=a

cosαy0

0

①1

δ

v,振动一次需要的时间。3.

结构的自振周期和自振频率

是周期函数

,

且周期是

圆频率是2π秒内的

振动次数。

频率是每秒钟内的

振动次数。21d—柔度系数，在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向的位移。

k—刚度系数，使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。Δst

=Wd—在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视d、k、Dst

三者中哪一个最便于计算来选

用。

圆频率计算公式的几种形式：用于各质点惯

→

性力共线的单自由度体系。自振周期计算公式的几种形式：22一些重要性质：⑴自振频率（周期）与且只与结构的质量和结构的刚度有

关，是结构的固有特性，也称为固有周期（固有频率）。⑵自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小

(周期越大)

；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频

率于大（周期越小）；要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。23δ1ml/23l/16 FP=15l/32l/2

P=1

【例1】图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。

l/2

l/2

l/2

l/2l/2

24mml/2

ω3=

1

:1.512

:2

25解：⑴求d

⑵求频率：

据此可得：

ω1

:

ω2

:结构约束越强,其刚度越大,

刚度越大,其自振动频率也越

大。★

l/8P=1FP=1l/8l/8m

l/2

l/2解：⑴求k

FQCA

HlFQCB

k⑵求频率【例2】用求刚度系数法求图示梁的频率。EI=常数，在梁中点A

l/2

l/2有集中质量m，不考虑梁的质量。C

B2616EI/h2Ml3EI/h2

6EI/h2k12EI/h3

27⑵求频率：【例3】求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。m

一

1

-—

EI1=∞EI

EI解：⑴求k3EI/h3hl

28hB

解法1：求

k

k

A

MBA=kh=MBC

=3m1

【例4】求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。

I=∞B

EII=∞EI解法2：求

δ1

A

δ

h

θl12EIl

33EI

l

3

29注意：

对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚结

点都不发生转动(如刚性横梁的刚架)计算刚度系数方便。【例5】求图示梁的

自振频率。不计梁

的质量。解：求刚度系数两端刚结的杆的侧移刚度为：一端刚结一端铰接的杆的侧

移刚度为：

3EIl3k1mk1EIlkk18l

naJ

1【例6】求图示梁的自振频率。不计梁的质量。解：⑴求梁在质点处的刚度系数k11

l/3

k12l/3

k11

=

1

⑶求频率⑵求体系的刚度系数k

k

l

330811简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的

内摩擦；周围介质的阻力。忽略阻尼的振动规律

考虑阻尼的振动规律四、单自由度体系的自由振动（有阻尼）结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。31设解为：y(t)=Celt

特征方程为：l2

+

2xwl

+w

2

=

01)ξ<1（低阻尼）情况

cy.(

阻尼比）yky

P(t

)my..

y..+

2ξwy.+

w2

y

=

0

km动平衡方程：c其中P(t

)32y,无阻尼y-

t曲线

①阻尼对自振频率的影响.wr

=w

<w,

随ξ↑而↓当ξ<0.2,则0.96<ωr/ω<1

在工程结构问题中0.01<ξ<0.1

可近似取.wr

=w,

Tr

=

T低阻尼y-

t曲线ae-

ξωt33ttyy②阻尼对振幅的影响.振幅ae-

ξωt

随时间衰减.相邻两个振幅的比

振幅按等比级数递减.阻尼系数

34

=

lneξ①T

=ξ①T

=ξ①

称为振幅的对数递减率.

如ξ<0.2

则

设

两个振幅则

法测定阻尼n个周期的方隔工程中常用此y

k和y

k+n是相这条曲线仍具有衰减性，

但不具有波动性。2)ξ=1（临界阻尼）情况

l

=w(-x±

x

2-1)

l

=-wy+

2ξ①y+

①2

y

=

0

.y=Ceλt

=(C1

+C2

t)e

①t

y

=

[y0

(1+①t)+v0

t]e

①t经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:tgθ0

=v0θ035y0ty①齐次解：m+

ky

=

0

→

②特解：依据荷载情况具体确定特解。强迫振动结构在荷载作用下的振动。取质点平衡+ky

=

Fr

(t)强迫振动的微分方程FP

(t)my..弹簧的刚度系数k=柱

顶有单位水平位移时

在柱顶所需施加的水

平力。

l0

y(

t)

ky口FP

(t

)

m二阶常系数非齐次微分方程，其通解有两

部分组成：五、单自由度体系的强迫振动（无阻尼）y(t)=C1

sin

①t+

C2

cos①t

y*..

2

Fr

(t)

y

+①

y

=

m

y(t)mFP

(t)..my..myk36kC2

=0

设t=0

时的初始位移和初始速度均为零，则：

过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动阶段。(由于阻尼的存在)=

mw2

(1

-

θ

2w2

)sinθt

=

y

(1-

2w2

)sinθtstPFθ1y*1.

简谐荷载：

最大静位移y

st是把荷载幅值当作静

荷载作用时结构所产生的位移.

37当θ/ω→0时,β→1，荷载频率

＜＜

结构的自振频率时（如θ≤0.2ω),可作静荷载处理。0<θ/ω<1时,

β>1，位移与荷载同

向，随q/w

增大β增大。当θ/ω→1时,

β→∞,振幅会无

限增大，称为“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。当θ/ω>1时,

β<0，位移与荷载

反向，β的绝对值随q/w的增大而减小。

当θ/ω>>1，β→0，结构几乎无反映。

只在静力平衡位置作微小振动。平稳阶段：

y

=

yst

=

yst

βsin最大动位移(振幅)为：yd

m

x

a

=

βyst

重要的特性：|

β|3210动力系数

共振12

3θw反38荷载幅值引起

的静位移

无阻尼单自由度体系简谐荷载下的动力反应计算FP

(t

)

=FP

sinθt动位移：

y

(t

)

=

asinθt惯性力：FImax

=mθ2

βyst当动荷载与质点惯性力共线时两者可合成为一个力。结构在一个力作用下，不论此力如何变化，各截面的内力和位移都按同一比例变化，可采用统一的动力系数。先求动荷载幅值引起的静位移、静内力及动力系数β,将静位移、

静内力乘以

β

即得动位移和动内力的幅值。（比例算法）FI

=

-m

=

mθ2

asinθt

β动力系数位移、惯性力、动荷载同频率同相位同时达到幅值。a=

βyst

,。y..动荷载：

yst

=

39由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值时内力也达到幅值。将荷载幅值和惯性力幅值加在

结构上，按一般静力学方法求解。②当动荷载与质点惯性力不共线时用一般方法：40⑵任意荷载FP

(t)的动力反应初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作

用下的位移公式:

初始位移y0和初始速度v0不为零时在任意荷载作用下的

位移公式:

2.

一般荷载一般荷载作用下的动力反应可用瞬时冲量的动力反应推导。41设特解为：y=Asinθt+Bcosθt代入上式得：

齐次解加特解得到通解：y

={e-ξwt

(C1

coswr

t+C2

sin

wr

t

)}+{Asinθt+Bcosθt}+w2

y=m

六、单自由度体系的强迫振动（有阻尼）简谐荷载P(t)=Fsinθt42结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫

振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt-α)

=

yp

cosα

sinθt

-

yp

sinα

cosθt

振幅:yp，最大静力位移y

st=F/k=F/mω2

43

β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关几点讨论：①随ξ增大β曲线渐趋平缓，特别是在θ/ω=1附近β的峰

值下降的最为显著。②当θ接近ω时，β增加的很快，ξ对β的数值影响也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振区)内，阻尼大大地减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反应,阻尼的影响是不

容忽略。在共振区之外阻尼对β的影响较小，可按无阻尼计算。441.04.03.02.01.002.0ξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3

ξ=0.5θ/ω3.0ξ=1.045β

③βmax并不发生在共振

θ/ω=1时，而发生在

但因

ξ很小，可近似地认为

只要有阻尼位移总滞后荷载P=Fsinθt一个相位角α

,位移y、弹性力S，惯性力FI，阻尼力R分别为：y=

yP

sin(θt

-α),S=

-ky

=

-kyP

sin(θt

-α),FI

=-my..=mθ2

yP

sin(θt

-α),R=-cy.=-cθyP

cos(θt

-α)当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步；

荷载可作静荷载处理。当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对

说来较小，动荷主要由FI

平衡，FI

与y同向，y与P反向；④由y=yPsin(θt-α)可见，46共振时(θ=ω),

S与FI刚好互相平衡，有无阻尼均如

此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力

来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。y=yP

sin(θt

-α),S=-ky

=-kyP

sin(θt