专题3.1 函数的概念及其表示-新高一《数学》初升高衔接考点必杀50题（人教A版2019）解析版

第第页专题3.1函数的概念及其表示一、单选题1．设函数，则的值为（

）A．-2 B．2 C．1 D．-1【答案】B【解析】利用分段函数代入求值即可.【详解】由，当，，当，.故选：B.【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题.属于容易题.2．已知函数，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】A【解析】根据分段函数的定义域分别代入求值即可.【详解】因为，所以，，所以，故选：A.【点睛】本题考查分段函数的性质，属于基础题.3．函数的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取点代入排除得到答案【详解】当时，，故排除BD再代入，，排除A故选：C4．已知，则为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据给定条件直接代入计算即可得解.【详解】因，则，所以为2.故选：A5．已知，则A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】直接代入x=0求解函数值即可．【详解】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．∴f（1）=2．故选A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．6．已知定义在上的函数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别令，，得到两个方程，解方程组可求得结果【详解】∵，∴当时，，①，当时，，②，，得，解得．故选：B．7．若函数，则（

）A．50 B．49 C． D．【答案】C【解析】本题首先可通过得出，然后通过计算即可得出结果.【详解】因为，所以，，则，故选：C.8．下列函数中，值域是的是（）A． B．，C．， D．【答案】D【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误；对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；对选项D：，函数的值域为.故选：D9．若函数满足，则（

）A．0 B．2 C．3 D．【答案】D【解析】由可得，得到方程组，可解，代入可求出.【详解】由，可得，联立两式可得，代入可得.故选：D.【点睛】方法点睛：求函数的解析式，常用的方法有：（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）构造方程组法；（5）特殊值法.10．函数的定义域为，那么其值域为A． B． C． D．【答案】C【分析】此函数为点函数，求其值域只需将自变量一一代入求值即可【详解】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x的定义域为{﹣1，0，1，2}，对称轴为x＝1且f（0）＝f（2）＝0，f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝3∴其值域为{﹣1，0，3}故选：C．【点睛】本题考查了函数的值域的意义和求法，点函数的定义域和值域间的关系，属基础题11．下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根据函数的定义域，对应法则来判断.【详解】对于A选项：的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数；对于B选项：因为函数，即两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；对于C选项：的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数；对于D选项：的定义域与的定义域均为，且，所以是同一函数.故选：D.12．给定函数，，.用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】A【分析】先把写成分段函数的形式，再求其最大值即可.【详解】令得，所以当时，，当时，综上所述，.故选：A13．函数y＝2x＋，则（

）A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值C．有最小值，最大值 D．既无最大值，也无最小值【答案】A【分析】设＝t（t≥0），则x＝，得y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），求二次函数得最值即可得解.【详解】解：设＝t（t≥0），则x＝，所以y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），对称轴t＝，所以y在上递增，在上递减，所以y在t＝处取得最大值，无最小值.故选：A.14．与函数的图象相同的函数是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】,,与解析式不同,,所以选D.15．定义在上的函数满足，且当时，，则(1)的值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】推导出，从而(1)(5)，由此能求出结果．【详解】解：定义在上的函数满足，且当时，，，∴(1)(5)．故选：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．若函数，则（

）A．0 B．1 C．28 D．-5【答案】B【解析】根据分段函数的解析式先求的值，再求即可.【详解】因为，所以，，故选：B.17．已知函数满足且，，则（1）（2）（3）=（

）A．0 B．1 C． D．5【答案】A【分析】令，可得，再令，可得，然后可求得结果【详解】解：函数满足且，，令，则（1）（1）（1）（1）令，则（1）（3）且（2）（1）（2）（3）故选：A．18．设函数若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先判断函数的奇偶性、单调性，然后利用奇偶性和单调性解不等式，得到，再分离参数，转化为对任意的恒成立问题求解.【详解】当时，，，当时，，，当时，，所以时，为奇函数，与都是单调递增函数，且，所以在上是单调递增函数，因为，所以，即对任意的恒成立，所以，解得.故选：C.【点睛】解有关函数不等式可以利用函数的奇偶性、单调性，含参数不等式恒成立的问题，分离参数转化为求函数最值.19．已知函数的图像的图象如下，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据f(0)<0，得到，然后构造函数，根据韦达定理得出和的值，判断即可.【详解】由图可知f(0)<0，故有，即，由图可知，函数的两根分别为和，所以有：，即，又故，，所以故选A.【点睛】本题考查利用函数图象研究函数的性质，解题的关键是观察图象进而得出函数的特征.20．函数，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，按的范围进行分类讨论确定不等式，从而得到结果.【详解】依题，当时，，代入原不等式得，此时不等式的解为.当时，代入原不等式得,此时不等式的解为.当时，代入原不等式得,解之得，即此时不等式的解为.综上所述，不等式的解为.故选：C【点睛】本题考查分段函数，考查学生对分段函数的理解掌握，解决本题的关键在于分类讨论.二、多选题21．下列各图中是函数图像的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据函数的概念进行判断【详解】根据函数的定义:任意垂直于轴的直线与函数图像至多有一个交点.故满足要求.故选：.22．矩形的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列正确的（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】ABD【分析】根据已知条件逐个分析判断即可【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为，所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确，对于B，由选项A，可知（），所以B正确，对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为，所以，当且仅当时等号成立，所以，，因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误，对于D，由选项C可知，，所以，因为，所以（），所以D正确，故选：ABD23．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】设，代入列方程组求解即可.【详解】设，由题意可知，所以，解得或，所以或.故选：AD.24．下列选项中两个函数相等的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的两函数相等，否则不相等．【详解】解：．的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，两函数相等；．的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相等；．和显然相等．故选：．25．设，则用表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则函数的值域中含有的元素可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：采用分离常数法可得，由此可得，由定义可得结果；方法二：当时，可得；当时，，由此可得；由定义可得结果.【详解】方法一：，，，，即，的值域为；方法二：当时，，此时；当时，，，，即，此时或；的值域为.故选：BC.26．已知函数，则表达正确的是（

）A．函数的单调递减区间为， B．为函数的单调递增区间C．函数有最小值，无最大值 D．函数满足【答案】BC【分析】画出图形，利用函数图象进行判断．【详解】作出的图象，由图象可知，A错误，B、C正确，因为，，所以，故D错误.故选：BC.27．下列的函数与表示的是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BD【分析】根据题意可知A选项两函数定义域不同，B选项两函数定义域、值域、对应关系完全相同，C选项两函数值域不同，D选项定义域、值域、对应关系也完全相同，即可得出结论.【详解】对于A，易知函数的定义域为，而的定义域为，即两函数的定义域不同，所以A错误；对于B，函数与的定义域为，值域为，且，即其对应关系也相同，故B选项正确；对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，所以C错误；对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，所以D正确.故选：BD28．下列选项中正确的有（

）A．与是同一函数B．与表示同一函数C．函数的图象与直线的交点最多有1个D．若，则【答案】AC【分析】根据函数的定义域、解析式是否相同判断AB，由函数定义判断C，根据函数解析式求值判断D.【详解】对于A，与的定义域都为R，解析式相同，是同一函数，故正确；对于B，与定义域不同，故不是同一函数，故错误；对于C，根据函数的定义，当定义域中有2时，的图象与直线有一个交点，当定义域中没有2时，的图象与直线没有交点，故正确；对于D，，故错误.故选：AC29．，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（

）A．， B．，C．， D．函数的值域为【答案】CD【解析】结合的定义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A，，而，故A错误；对于B，因为，所以恒成立，故B错误；对于C，，，，所以，当时，，此时；当时，，此时，所以，，故C正确；对于D，根据定义可知，，所以函数的值域为，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的推理能力，属于中档题.30．若函数，则（

）A．对任意x∈R，都有f（-x）=f(x)B．对任意x∈R，都有f[f(x)]=1C．对任意x1∈R，都存在x2∈Q有D．对于给定非零常数a，对任意x∈R，都有f（x+a）=f(x)【答案】ABC【分析】根据题意，分别对和进行讨论，一一判断即可.【详解】对于选项A，当时，，则，当时，，则，综上可知，对任意，都有，故A正确；对于选项B，当时，，则，当时，，则，综上可知，对任意，都有，故B正确；对于选项C，当时，因为，所以，因此，当时，若，且，则，此时，综上可知，对任意，都存在有，故C正确；对于选项D，当，时，，，故D错误.故选：ABC.三、填空题31．已知函数，则_________．【答案】【分析】利用换元法，求得的表达式，进而求得的表达式.【详解】令，故，所以，所以.故填：.【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查函数的对应关系，属于基础题.32．函数的值域为__________【答案】【分析】根据函数单调性求出函数的最值，从而求出值域.【详解】函数在区间为减函数，所以当时，取得最大为2；当时，取得最小为1.值域为.故答案为：.33．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____【答案】【分析】令进行换元，根据已知函数的定义求u的范围即可.【详解】令，由得：，所以，即，所以，函数的定义域为.故答案为：34．设函数f(x)=，若f(2)=3，则实数a的值为____.【答案】2【分析】根据函数值，代值求解即可.【详解】因为，故可得，解得.故答案为：2.【点睛】本题考查由函数值求解参数值，属基础题.35．已知四边形为边长为1的正方形，轴，某一直线与正方形相交，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点部分的面积记为，则将表示为的函数，其解析式为______________.【答案】【解析】讨论当直线在的右侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的左侧时，利用间接法即可求解.【详解】讨论当直线在的右侧时，即直线与正方形的交点在时，当时，直线的左侧为三角形，此时，当直线与正方形的交点在时，即，直线的左侧为五边形，，所以表示为的函数解析式为，故答案为：36．设，表示不大于的最大整数，如，则使成立的的取值范围________________．【答案】或【分析】根据的定义可得，解绝对值不等式可得结果.【详解】由得，所以或，所以或.故答案为：或【点睛】关键点点睛：根据的定义得到是解题关键.37．若函数的值域为则实数的取值范围是________.【答案】【分析】先由分段函数值域的求法，求出各段上的值域，再由函数值域求参数的范围即可得解.【详解】解：①当时，，即，②当时，，即，由函数的值域为，则，故答案为.【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了由函数值域求参数的范围，重点考查了集合思想，属中档题.38．有下列命题：①函数y=f(-x+2)与y=f(x-2)的图象关于轴对称；②若函数f（x）＝，则，都有；③若函数f（x）＝loga|x|在（0，＋∞）上单调递增，则f（－2）>f（a＋1）；④若函数(x∈)，则函数f(x)的最小值为-2.其中真命题的序号是【答案】②④【详解】考点：函数的最值及其几何意义；奇偶函数图象的对称性；对数函数的单调性与特殊点．分析：根据函数的对称性判断①，单调性、奇偶性判断③、凹函数的性质判断②，以及图象的变换最值判断④，即可得到选项．解答：函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于x=2轴对称，故①不正确x1，x2∈R，都有则f（x）为凹函数，函数f（x）=ex满足条件，故②正确．∵函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1则a+1＞2，根据函数是偶函数则f（-2）=f（2）＜f（a+1），故③不正确．函数f（x）的最小值与函数f（x+2010）=x2-2x-1（x∈R）的最小值相等，故函数f（x）的最小值为-2，故④正确．故答案为②④点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等有关知识，属于基础题．39．函数的定义域为，值域为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定成立的结论的序号是___________.【答案】③⑤⑥【解析】根据函数的值域，可得的范围，即可求得，可得自变量的取值范围最大是，依次判断出正确的序号.【详解】解：由于，∴，即，所以.即函数满足值域为的自变量的取值范围最大是；当函数的最小值为时，仅有，故⑥正确，当函数值为时，仅有满足，故⑤正确；又必有，故③正确.当时，此时函数的值域是，故④与②不一定正确；当时，函数值为，故①不正确，综上，一定正确的结论的序号是③⑤⑥.故答案为：③⑤⑥.【点睛】本题考查的是复合函数的定义域与值域问题，需要注意：（1）先将函数变形，求出内函数的范围，再求解自变量的取值范围；（2）利用复合函数值域求解出的自变量的取值范围是最大范围，即该函数的定义域包含于计算出的自变量的范围.40．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________【答案】【详解】由题意得，所以定义域为四、解答题41．已知，.(1)求的定义域；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】（1）列不等式组求定义域；（2）直接代入求解；（3）直接代入求解.【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得：且.所以的定义域为；（2）因为，所以；（3）因为，所以，所以.42．画出函数y=∣x∣的图像.【答案】见解析【详解】试题分析：根据作出图象即可.试题解析：由得图象为：.43．求下列函数的定义域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由条件可得，解出即可；（2）由条件可得，解出即可.【详解】（1）要使有意义，则有，解得且即定义域为（2）要使有意义，则有，解得且即定义域为44．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）采用换元法，令，解得，代入可求得，进而得到；（2）采用构造方程组法，将替换为，可得到关于和的方程组，解方程组求得结果.【详解】（1）由题意得：定义域为设，则

（2）由…①得：…②①②联立消去得：【点睛】本题考查函数解析式中的换元法和构造方程组法的应用，关键是能够熟练掌握不同的形式所对应的求解解析式的方法.45．已知函数(1)求函数的解析试并标注定义域．(2)求函数的值域．【答案】（1）；（2）【分析】（1）运用换元法，令，得，再代入，可得解；（2）根据函数的表达式是二次函数，对其配方，再根据的范围求得值域.【详解】（1）令,则，所以，所以，（2）由（1）得：，所以在上单调递增，所以，所以的值域，故得解.【点睛】本题考查求函数的解析式和函数的值域，关键在于运用换元法，在运用时注意不可改变自变量的取值范围，属于基础题.46．已知函数.(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g(x)＝(x>0)的图象(不用列表)，观察图象直接写出当x>0时，不等式f(x)>的解集．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【分析】（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，（2）根据常函数以及一次函数性质作图，（3）根据图象确定f(x)在g(x)＝上方部分的解集，即为结果.【详解】(1)当x≥0时，f(x)＝1＋＝1；当x<0时，f(x)＝1＋＝x＋1.所以.(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)函数g(x)＝(x>0)的图象如图所示，由图象知f(x)>的解集是．【点睛】本题考查求分段函数图象以及利用图象解不等式,考查基本分析求解能力.47．求下列函数的值域.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【分