高三数学理科几何证明总复习教学案

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第十六章几何证明选讲

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1.了解平行线截割定理.

2.会证明并应用直角三角形射影定理.

3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它

们进行计算与证明.

4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线

定理，并会运用它们进行几何计算与证明.

5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明

平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.

6.了解下面的定理.

定理：在空间中，取直线1为轴，直线1'与1相交于点0,其夹角为a,1'

围绕1旋转得到以0为顶点，r为母线的圆锥面，任取平面”，若它与轴1的交

角为8（口与1平行，记6=0）,则：

①B>a,平面口与圆锥的交线为椭圆；

②0=a,平面IT与圆锥的交线为抛物线；

③B<a,平面口与圆锥的交线为双曲线.

7.会利用丹迪林（Dandelin）双球（如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一

个位于平面n的上方，一个位于平面五的下方，并且与平面口及圆锥面均相切,

其切点分别为F,E）证明上述定理①的情形：

当B>a时，平面m与圆锥的交线为椭圆.

（图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C,线段BC与平面门

相交于点A）

8.会证明以下结果：

①在7.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.

记这个圆所在的平面为兀'.

②如果平面m与平面口'的交线为m,在6.①中椭圆上任取点A,该丹迪林球

与平面it的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常

数e（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率）.

9.了解定理6.③中的证明，了解当B无限接近a时，平面五的极限结果.

本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将

其运用到立体几何中.

本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的

证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.

本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推

理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题

的能力.

第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形

射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容,

在新课程高考下，要求很低，只作了解.

知识网络

16.1相似三角形的判定及有关性质

典例精析

题型一相似三角形的判定与性质

【例1】如图，已知在AABC中，D是BC边的中点，且AD=AC,DEXBC,DE

与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.

(1)求证：△ABCs^FCD；

(2)若SZkFCD=5,BC=10,求DE的长.

【解析】⑴因为DELBC,D是BC的中点，所以EB=EC,所以/B=NL

又因为AD=AC,所以/2=/ACB.所以△ABCs/^FCD.

(2)过点A作AM_LBC,垂足为点M.因为△ABCs/\FCD,BC=2CD,所以

ABCSAFCD=(BCCD)2=4,又因为SAFCD=5,所以SAABC=20.因为SAABC=

12BCAM,BC=10,所以20=12X10XAM,所以AM=4.又因为DE〃AM,所以DEAM

=BDBM,因为DM=12DC=52,BM=BD+DM,BD=12BC=5,所以DE4=55+52,所

以DE=83.

【变式训练1】如右图，在AABC中，AB=14cm,ADBD=59,DE/7BC,CD±AB,

CD=12cm.求AADE的面积和周长.

【解析】由AB=14cm,CD=12cm,CDXAB,#SAABC=84cm2.

再由DE〃BC可得△ABCsZ^ADE.由S△ADES△ABC=(ADAB)2可求得SAADE=

757cm2.利用勾股定理求出BC,AC,再由相似三角形性质可得AADE的周长为

15cm.

题型二探求几何结论

【例2】如图，在梯形ABCD中，点E,F分别在AB,CD±,EF〃AD,假设EF

做上下平行移动.

(1)若AEEB=12,求证：3EF=BC+2AD；

⑵若AEEB=23,试判断EF与BC,AD之间的关系，并说明理由;

(3)请你探究一般结论，即若AEEB=mn,那么你可以得到什么结论？

【解析】过点A作AH〃CD分别交EF,BC于点G、H.

(1)因为AEEB=12,所以AEAB=13,

又EG〃BH,所以EGBH=AEAB=13,即3EG=BH,

又EG+GF=EG+AD=EF,从而EF=13(BC-HC)+AD,

所以EF=13BC+23AD,即3EF=BC+2AD.

(2)EF与BC,AD的关系式为5EF=2BC+3AD,理由和(1)类似.

⑶因为AEEB=mn,所以AEAB=mm+n,

又EG〃BH,所以EGBH=AEAB,即EG=mm+nBH.

EF=EG+GF=EG+AD=mm+n(BC-AD)+AD,

所以EF=mm+nBC+nm+nAD,

即(m+n)EF=mBC+nAD.

【点拨】在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论

可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.

【变式训练2】如右图，正方形ABCD的边长为1,P是CD边上中点，点Q在

线段BC上，设BQ=k,是否存在这样的实数k,使得以Q,C,P为顶点的三角形与

△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

【解析】设存在满足条件的实数k,

则在正方形ABCD中，ND=NC=90°,

由RtAADP^RtAQCP或RtAADP^RtAPCQ得ADQC=DPCP或ADPC=DPCQ,

由此解得CQ=1或CQ=14.

从而k=0或k=34.

题型三解决线的位置或数量关系

【例3】（2009江苏）如图，在四边形ABCD中，ZSABCABAD,求证：AB/7CD.

【证明】由aABC会4BAD得/ACB=/BDA,所以A、B、C、D四点共圆，

所以/CAB=/CDB.

再由aABC会ZXBAD得/CAB=/DBA,

所以NDBA=NCDB,即AB〃CD.

【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点0,AB-A1B1且AB=12A1B1,AA0B

的外接圆的直径为1,则AAlOBl的外接圆的直径为

【解析】因为AB/7A1B1且AB=12A1B1,所以△AOBS/XAIOB

因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.

所以AAlOBl的外接圆直径为2.

总结提高

1,相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解

题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数

学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、

判定定理法以及直角三角形的HL法.

相似三角形的性质主要有对应线的比值相等（边长、高线、中线、周长、内切

圆半径等），对应角相等，面积的比等于相似比的平方.

2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之

一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.

16.2直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质

典例精析

题型一切线的判定和性质的运用

【例1】如图，AB是。。的直径，AC是弦，/BAC的平分线AD交。0于点D,

DEXAC,交AC的延长线于点E,0E交AD于点F.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若ACAB=25,求AFDF的值.

【解析】(1)证明：连接0D,可得/ODA=/OAD=/DAC,

所以OD〃AE,又AE_LDE,所以DE_LOD,

又0D为半径，所以DE是。。的切线.

⑵过D作DH_LAB于H,则有NDOH=NCAB,

0H0D=cosZD0H=cosZCAB=ACAB=25,

设0D=5x,则AB=10x,0H=2x,所以AH=7x.

由4AED也ZXAHD可得AE=AH=7x,

又由△AEFSZXDOF可得AF：DF=AE：OD=75,

所以AFDF=75.

【变式训练1】已知在直角三角形ABC中，ZACB=90°,以BC为直径的。0

交AB于点D,连接DO并延长交AC的延长线于点E,。。的切线DF交AC于点F.

(1)求证：AF=CF；

(2)若ED=4,sinNE=35,求CE的长.

【解析】(1)方法一：设线段FD延长线上一点G,则/GDB=/ADF,且/GDB

+/BDO=”2,所以NADF+/BDO=“2,又因为在。0中OD=OB,ZBDO=ZOBD,

所以/ADF+/OBD=m2.

在Rt^ABC中，NA+NCBA=Jt2,所以NA=NADF,所以AF=FD.

又在RtZiABC中，直角边BC为。。的直径，所以AC为。。的切线,

又FD为。0的切线，所以FD=CF.

所以AF=CF.

方法二：在直角三角形ABC中，直角边BC为。。的直径，所以AC为。0的切

线，

又FD为。0的切线，所以FD=CF,且NFDC=NFCD.

又由BC为。0的直径可知，ZADF+ZFDC=Ji2,ZA+ZFCD=Ji2,

所以NADF=NA,所以FD=AF.

所以AF=CF.

(2)因为在直角三角形FED中，ED=4,sin/E=35,所以cos/E=45,所以

FE=5.

又FD=3=FC,所以CE=2.

题型二圆中有关定理的综合应用

【例2】如图所示，已知。01与。02相交于A、B两点，过点A作。01的切

线交。02于点C,过点B作两圆的割线，分别交。01、。02于点D、E,DE与AC

相交于点P.

(1)求证：AD〃EC;

(2)若AD是。02的切线，且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.

【解析】(1)连接AB,因为AC是。01的切线，所以/BAC=/D,

又因为/BAC=/E,所以/D=/E,所以AD〃EC.

(2)方法一：因为PA是。01的切线，PD是。01的割线，

所以PA2=PBPD,所以62=PB(PB+9),所以PB=3.

在。02中，由相交弦定理得PAPC=BPPE,所以PE=4.

因为AD是。02的切线，DE是。02的割线，

所以AD2=DBDE=9X16,所以AD=12.

方法二：设BP=x,PE=y.

因为PA=6,PC=2,所以由相交弦定理得PAPC=BPPE,即xy=12.①

因为AD〃EC,所以DPPE=APPC,所以9+xy=62.②

由①②可得或(舍去)，所以DE=9+x+y=16.

因为AD是。02的切线，DE是。02的割线，所以AD2=DBDE=9X16,所以AD

=12.

【变式训练2】如图，。。的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E

为。0上一点，，DE交AB于点F,且AB=2BP=4.

(1)求PF的长度；

(2)若圆F与圆0内切，直线PT与圆F切于点T,求线段PT的长度.

【解析】(1)连接0C,0D,0E,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结

合题中已知条件可得/CDE=/A0C.

又/CDE=/P+NPFD,ZA0C=ZP+Z0CP,

从而NPFD=/0CP,故△PFDs/\pco,所以PFPC=PDP0.

由割线定理知PCPD=PAPB=12,故PF==124=3.

(2)若圆F与圆0内切，设圆F的半径为r,

因为0F=2—r=l,即r=l,

所以0B是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT,

则PT2=PBP0=2X4=8,即PT=22.

题型三四点共圆问题

【例3】如图，圆0与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆。上，圆0的弦BC

切圆P于点B,CP及其延长线交圆P于D,E两点，过点E作EFJ_CE,交CB的延

长线于点F.

(1)求证：B、P、E、F四点共圆；

(2)若CD=2,CB=22,求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.

【解析】(1)证明：连接PB.因为BC切圆P于点B,所以PBLBC.

又因为EF_LCE,所以NPBF+NPEF=180°,所以NEPB+NEFB=180°,

所以B,P,E,F四点共圆.

(2)因为B,P,E,F四点共圆，且EFLCE,PBXBC,所以此圆的直径就是PF.

因