抛物线的简单几何性教学案

3.3.2抛物线的简单几何性质（2）

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线的方程》，本节课

主要学习抛物线的简单几何性质

《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。本节课是在是在学习了

教学过程教学设计意图

核心素养目标

椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。抛物线是高中数学的重

要内容，也是高考的重点与热点内容。

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.运动变化

和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.掌握抛物线的几何性质及其简单应用.1.数学抽象：抛物线的几何性质

B.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及2.逻辑推理：运用抛物线的性质平行

相关问题.3.数学运算：抛物线中的定值与定点问题

C.掌握抛物线中的定值与定点问题.4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用

重点难点

重点：抛物线的简单几何性质及其应用

难点：直线与抛物线位置关系的判断

课前准备

多媒体

教学过程

一、问题导学

抛物线四种形式的标准方程及其性质

y2=2pxy2=-2pxx:2=2py针二-2py

标准方程

(P>0)(P>0)(p>0)<P>0)

1：k

图形%立通过，回顾抛物线的

l平攵

IK才几何性质及直线与圆锥

范围x>0,yeRx<0,yeR/>0,xeRy<0,xeR

曲线的位置关系，帮助

对称轴X轴x轴y轴y轴

学生整理知识。发展学

2222生数学抽象、数学运算、

y=2pxy=-2pxx=2pyx=-2py

标准方程

直观想象的核心素养。

(P>0)(P>0)(P>0)(P>0)

焦点坐标F(§,0)F(。亨F(T)

=p-y=^

准线方程L—包xy=—金

22y2y2

顶点坐标0(0,0)

离心率e=l

二、直线与抛物线的位置关系

2

设直线切=日+北抛物线:y=2力g>0),将直线方程与抛物线方程联立

222

整理成关于x的方程kx+2(hn-p)x+m=0.

⑴若厚0,当上止时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当/=0时.直线与抛物线相切.有一个切点:

当/<0时.直线与抛物线相离,没有公共点.

(2)若左=0,直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴

或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相

切的必要不充分条件.

二、典例解析

例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物

线顶点的直线交抛物线的准线于点求证：直线。2平行于抛物线

的对称轴.

通过典例解析，综合

【分析】设抛物线的标准方程为：寸=2px（p>0）.设A（尤i，以），

运用抛物线几何性质，

B（尤2，经）.直线。4的方程为：y^-=_Tx=—x>

x进一步体会数形结合的

X1丫1V1

2^思想方法。发展学生数

2学运算，数学抽象和数

可得卷=口.设直线AB的方程为：，在=尤-0，与抛物线的方程

了12学建模的核心素养。

联立化为y2-2pm-p2=0,

利用根与系数的关系可得了12二”2.可得加=”.即可证明.

【解答】证明：设抛物线的标准方程为：y2=2px（p>0）.

设A（即，yi）,B（必，>2）.

直线。4的方程为：yix=-^-x=2px,令尤=-L,

X1YiY12

2^

2

可得yD=-—・

了1

设直线AB的方程为：my=x-

2

z

p

my=x--

联立（2,化为V--夕2=o,

2c

ly=2px

2

=_2Ay=_-:D=2

•,y1y2P,2^-'-yy-

...直线DB平行于抛物线的对称轴.

例6.如图，已知定点B(a,-h),BC1x轴于点C,M是线段OB上任

意一点，MD1x轴于点。，ME18C于点E,0E与MD相交于点P,求

P点的轨迹方程。

解：设点P(x,y),M其中0WxWa,则点E的坐标为(a,m)

有题意，直线0B的方程为

通过典型例题，提升

y——^x①

学生综合运用能力，发

因为点M市08上，将点M的坐标代入①,得展学生逻辑推理，直观

m=--X,②想象、数学抽象和数学

a

运算的核心素

所以点P的横坐标X满足②

直线OE的方程为y=：x③

因为点P在OE上，所以点P的坐标(x,y)满足③

2

将②代入③，消去m得，x2=-^ny(0<x<d),

即P点的轨迹方程。

例6中，设点B关于y轴的对称点为A,则方程/=—亍y(0<x<a),

对应的轨迹是常见的抛物拱AOB.抛物拱在现实生活中有许多原型，

如桥拱、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在天空中划过的轨迹也是抛

物拱一部分。

9

例7.已知动圆经过定点。(1,0),且与直线尤=-1相切，设动圆圆心E的

轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程.通过典型例题，帮助

(2)设过点P(l,2)的直线/,/分别与曲线C交于两点，直线/,/的学生掌握抛物线中的定

1212

值与定点问题，提升学

斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线的斜率为定值.

生数学建模，数形结合，

思路分析:(1)由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点，以x=-l为

及方程思想，发展学生

准线的抛物线；

逻辑推理，直观想象、

(2)设1,1的方程，联立方程组消元解出的坐标，代入斜率公式计算

12

数学抽象和数学运算的

k.

AB核心素养。

⑴解：丁动圆经过定点。(1,0),且与直线尤=-1相切，

；.E到点0(1,0)的距离等于E到直线x=-l的距离,

.：£的轨迹是以。(1,0)为焦点，以直线x=-l为准线的抛物线.

2

曲线C的方程为y=4x.

(2)证明:设直线(的方程为产网x-l)+2.

:•直线1,1的斜率存在，且倾斜角互补，

12

・1：的方程为y=-Z(x-l)+2.

2

联立得方程组匕21^晨D+2'消元得RP(2l4k+4)x+(h2)2=0.

设则幻=答=看t

同理，设8(尤2,竺),可得工2=片立，

.2fc2+8-8k-8

••为+为二必R-X2=H=K-

••y\-yi-[k(xi-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x\-^-X2)-2k=k-2k=

.:人=3=1

Xl-X2

.直：线AB的斜率为定值-1.

定值与定点问题的求解策略

1.欲证某个量为定值，先将该量用某变量表示，通过变形化简若能消掉

此变量，即证得结论，所得结果即为定值.

2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法:(1)通过方程判断;(2)对参

数取几个特殊值探求定点，再证明此点在直线上;(3)利用曲线的性质

(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值;(4)

转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.

2

跟踪训练1.已知抛物线的方程是y=4x,直线/交抛物线于4,2两点，

设A(x,y),B(x,y).

1122

(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线1的方程；

⑵若儿>2=-12,求证:直线1过定点.

解:⑴因为抛物线的方程为丁=4支则有资=4孙抬=4无2,因为弦A8的中

点为(3,3),所以x两2

两式相减得资-72=4%1-4X2,

所以2=，=|,

xi-x2yi+y23

所以直线1的方程为y・3=|(>3),即y=|x+l.

(2)当1的斜率存在时，设1的方程为尸质+仇代入抛物线方程，整理，得

正-4》+4。=0,yiy2=^=-l2,b=-3k,

1的方程为y=fcx-3Z=Z(x-3),过定点(3,0).

当1的斜率不存在时,丁也=-12,则x=x=3,l过定点(3,0).

综上，/过定点(3,0).

三、达标检测

1.若抛物线y2=2x上有两点A,8且AB垂直于x轴，若|AB|=2也，

通过练习巩固本节所

则抛物线的焦点到直线AB的距离为()

学知识，通过学生解决

ABCD,

-2-4,68问题，发展学生的数学

【答案】A[线段AB所在的直线的方程为x=l,抛物线的焦点坐标运算、逻辑推理、直观

为&0),则焦点到直线A8的距离为1-3=31

想象、数学建模的核心

2.若直线无一y=2与抛物线V=4x交于A,B两点,则线段AB的素养。

中点坐标是________.

(x—y=2

【答案】(4,2)[由彳得x2—8x+4=0,设A(xi,yi),B(xi，

[y—4x

”)，则XI+%2=8,yi+〉2=xi+%2—4=4,故线段A3的中点坐标为

(4,2).]

3.设直线y=2x+Z?与抛物线产;以交于A,5两点，已知弦AB的

长为3小，求b的值.

fy^2x+b,

【答案】由L消去y,得4f+4(b—l)x+〃=o.

iy=4x,

由力＞0,得。＜3•设A(X1，yi)，B(X2,》2).

Z?2

则即+尬=1-〃，即％2=彳.

工由一元2|=[(如+%2)2-4阳％2=41-2b.

|AB|=)1+22山一X2|=小々1-2b=34,...I—26=9,即b=-4.

4.过抛物线y1=2px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、

B两点。

(1)求证:A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值

(2)证明：直线AB过定点；

解：设A(xiji),B(X2J2),中点P(xo,jo)

G左一区左一区

(1)KOA~，KOB一

巧工2

VOA±OB

：•ftoA*OB=-lX1X2+J1J2=O

■:Ji2=2pxi,

22

2

J2=2px2：•鲁,)+必%=°

2p2p

■:J#0,，2r0

:.Jlj2=-4p2:.XlX2=4p2

(2)Vji2=2pxi,j22=2px2A(J1-J2)(yi+j2)=2p(xi-X2)

•＞-4_2P_2p

••一••KAB—

直线AB：j—=———(x—Xj)

J1+J2

:.y=J^+yi-2P^

%+%%+%

.2内必2—

••y—十

一%+必必+%

22

,*,J,=2px；,y}y2=-4p

.2px-4/

••y—।

%%为+%

••y=0(x2p)

%+%

:.AB过定点(2p,0).

2

5.如图，已知直线/:y=2x-4交抛物线y=4x于两点,试在抛物线AO8

这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.

思路分析:先求出弦长|AB|,再求出点P到直线AB的距离，从而可表示

出的面积，再求最大值即可.

解:由宜善■解得已或｛；2

.：A(4,4),B(1,-2),/.\AB\=3A/5.

(方法1)设尸(xo,yo)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB

的距离，

则有仁源。阕心磐加4|=2靛。⑴现

2

r-2<yo<4,.：(yo-l)-9<O.

•:介奈9今。-1汽

从而当yo—1时,dmax=(^,Smax=1X^=X3V5=

因此，当点P的坐标为6,1)时,的面积取得最大值，最大面积为

27

4,

(方法2)由梃=2：：，解得口，或忧」

.：A(4,4),B(1,-2),/.\AB\=3V5.

设点P的坐标为(4户,40，

:•点P(4己旬在抛物线AOB这段曲线上,.：-2<4f<4,得尚0<1.

由题意得点P(4户,旬到直线AB的距离4=围*=靠2(*丫I.

：—《一网时,2。)2_2

••d飞

,:当T时,"max二专99

4X「李

此时点P的坐标为的最大值为扣为/由=沁花x品=

27

4"

（方法3）设y=2x+m是抛物线f=4x的切线方程.

由沅骨以消2

“，并整理，得y