高中数学选修第一册：3 .3 .2 抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质

基础过关练

题组一抛物线的几何性质及其运用

1.已知抛物线x2=2py（p>0）的准线经过点则抛物线的焦点坐标为（）

A.（-1,O）B.（O,-1）

C.（1,O）D.（O,1）

2.已知点P（6,y）在抛物线y2=2px（p〉0）上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦

点F到抛物线准线的距离等于（）

A.2B.lC.4D.8

3.已知抛物线y2=2px（p〉0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，则p的值为（）

1

A.1B.lC.2D.4

4.已知点A是抛物线y2=2px（p〉0）上一点,F为抛物线的焦点,0为坐标原点，当

|AF|=4时,NOFA=120。,则抛物线的准线方程是（）

A.x=-1B.y=-1

C.x—2D.y—2

5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当

△FPM为等边三角形时，其面积为（）

A.2V3B.4C.6D.4V3

6.一条光线从抛物线y2=2px（p〉0）的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光

线经过点A（5,4）,若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.

题组二直线与抛物线的位置关系

7.已知直线l:y=x-l与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点，则68|为()

A.5B.6C.7D.8

8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),KlJ()

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点

9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()

A.1条B.2条

C.3条D.0条

10.(2020山东荷泽高二上期末)已知斜率为k的直线1与抛物线C:y2=4x交于A、B

两点，线段AB的中点为M(2,l),则直线1的方程为()

A.2x-y-3=0B.2x-y-5=0

C.x-2y=0D.x-y-l=0

H.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点.

(1)求弦AB的长；

(2)求4FAB的面积.

12.(2020海南中学高二上期中)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+l)相交于A,B两

点,0是坐标原点.

(1)求证:OA，OB;

(2)当AOAB的面积等于，花时，求k的值.

题组三抛物线的综合运用

13.在同一平面直角坐标系中，方程a2x2+b2y2=l与ax+by2=0(a>b〉0)的曲线大致为

LBCrD4^

”2

14.已知双曲线？-x2=l的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A,B两

4

点,0为坐标原点，若aOAB的面积为1,则p的值为()

A.lB.V2C.2V2D.4

15.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()

A.|B.|C.|D.3

16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点，若A,B在准线上

的射影分别为AB,则NAFBi等于()

A.90°B,45℃.60°D.120°

能力提升练

题组一抛物线的几何性质及其运用

1.(城)设抛物线x2=8y的焦点为F,准线为1,P为抛物线上一点,PALI,A为垂足，如果

直线AF的倾斜角等于60。,那么|PF|等于()

A.2V3B.4V3C.|D.3

2.(多选)(2020山东淄博一中高二上期中,#7)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M

在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为孚，则点

M的坐标为()

A.(0,-l)B.(0,-2)

C.(0,2)D.(0,l)

3.(*)若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为e，则点M到该抛物线

焦点的距离为.

4.(2020北京通州高二上期末,水?)已知双曲线x23=l,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与

双曲线的一个焦点相同，点P(xo,yo)为抛物线上一点.

(1)求双曲线的焦点坐标；

(2)若点P到抛物线的焦点的距离是5,求X。的值.

题组二直线与抛物线的位置关系

5.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,*?)已知直线l:y=k(x+2)(k〉0)与抛物线

C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点，若|FA|=2|FB|,则k=()

A.|B佟C.|D.竽

6.(2019黑龙江大庆实验中学高二上期中,")已知y2=x，点A,B在该抛物线上且位

于x轴的两侧,0为坐标原点，若雨•赤=12,则AAOB面积的最小值为()

A.6B.8C.10D.12

7.(2020河南开封高二上期末联考,技)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点

P(xo,ap)在抛物线C上，且|PF|=3.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过焦点F的直线1与抛物线分别交于A,B两点，点A,B的坐标分别为

(xbyi),(x2,y2),O为坐标原点,若。/,丽=-(xi+x2),求直线1的方程.

题组三抛物线的综合运用

8.（2020山东泰安高二上期末,"•）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,

点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时，点P恰

好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为

V2+1

A.B.V2+1

2

D.V5-1

9.（多选）（2020山东烟台高二上期末学业水平诊断W）已知抛物线E:y2=4x的焦点为

F,准线为1,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在1上的射影，且

|AF|=3|BF|,M为AB中点,则下列结论正确的是（深度解析）

A.ZCFD=90°

B.ACMD为等腰直角三角形

C.直线AB的斜率为土日

D.AAOB的面积为4

10.（*）设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线与抛物线交于A,B两点，点M满

足丽+函，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P的横坐标

为,|AB|=.

n.（2020湖南长沙长郡中学高二上期中,"）已知O为坐标原点，点P（l,2）在抛物线

2

C:y=4x上，过点P作两直线分别交抛物线C于点A,B,若kpA+kpB=0,则kAB•kOp的

值为

答案全解全析

基础过关练

1.D•.,抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),即p=2,

，抛物线的焦点坐标为(0,1).

2.C抛物线y2=2px(p〉0)的准线为x=?因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦

点F的距离等于它到准线的距离，所以6+台8,所以p=4,即焦点F到抛物线准线的距

离等于4,故选C.

3.C抛物线y2=2px(p〉0)的准线方程为x=g,因为抛物线y2=2px(p〉0)的准线与圆

(x-3)2+y2=16相切，所以3+1=4,解得p=2.

4.A如图所示，过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由

题意，得NBFA=NOFA-9(r=30。,所以|AB|=|AF|•sin30。=2,点A到准线的距离

d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-l,故选A.

5.D由题意知,AFPM为等边三角形,『月=『乂|=尸14|,..114，抛物线的准线.

设则•.等边三角形的边长为1+9，

又F(l,0),|PM|=|FM|,.\1+.=J(1+1)2+谒,解得m=±2遮，

，等边三角形的边长为4,其面积为4百，故选D.

6.答案y2=4x

解析抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线

沿平行于抛物线对称轴的方向射出,•••|AB|+|FB|=6,5+矢6,，p=2,，抛物线的标准

方程为y2=4x.

7.D由条件知，直线y=x-l过抛物线的焦点，

将y=x-l代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+l=0,

设A(xi,yD,B(X2,y2),则XI+X2=6,

二・|AB|=XI+X2+2=8.

8.C因为直线y=kx-k=k(x-l),

所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部，

所以当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；

当kWO时，直线与抛物线有两个公共点.

故选C.

9.C易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公

共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+l,与y2=4x联立并整理，得k2x2+(2k-

4)x+l=0,当k=0时，方程有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点;当kWO时，令

A=(2k-4)Z4k2=0,解得k=l,即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3

条.故选C.

10.A设A(xi,yi),B(x2,y2),

0"i'=(yi-y2)(yi+y2)=4(xi-x2).

yl=4%2

又AB的中点为

yi+y2=2,k=^^=2,

xrx2

因此直线AB的方程为y-l=2(x-2),

化简得2x-y-3=0,故选A.

4；消去y整理得x/+4=。,其中A^64-4x4=48>0,

设A(xi,yi),B(x2,y2),

则X1+X2=8,X1X2=4,

2

所LU|XI-X2|=V(^I+X2)-4X1X2=4V3,

所以|AB|=A/1+I?•|XI-X2|=V2X4V3=4V6.

(2)由题意得点F(l,0),

故点F到直线1的距离(1=竿=正，

所以SAFAB=-x|AB|xd=-x4V6x^=2V3.

222

12.解析⑴证明:当k=0时，直线与抛物线仅一个交点，不合题意,.,.kWO.

由y=k(x+l),得x*l,代入y2=-x,整理得,y2+】y-l=0.

kk

设A(xi,yi),B(x2,y2),

则yi+y2=-；,yiy2=-l.

,点A,B在抛物线y2=-x上，

，A(-yKyi),B(-y幺y2),

koA•koB=T•V=—=-l,

-y\一兆一丫2

AOAXOB.

(2)设直线AB与x轴交于点E,则E(-l,0),

•,.|OE|=1,

1i5+4=0。解得k=土:.

22222

13.D解法一:将方程ax+by=l与ax+by2=0转化为？+r=1与y2=2x.因为a>b>0,

..?理〃

所以4〉0,所以椭圆的焦点在y轴上抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D.

ba~

解法二:方程ax+by2=0（a〉b〉0）中，将y换成-y,其结果不变，即ax+by2=0的曲线关于x

轴对称，排除B,C;由解法一知椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.

2

14.B双曲线匕二=1的两条渐近线方程是y=±2x「.•抛物线y2=2px（p〉0）的准线方程

4

是x=-^.\A,B两点的纵坐标的差的绝对值是2p,又AAOB的面积为l,.*x多2P=1,

.,也=让.故选B.

15.A设抛物线y=-x2上一点为A(m,-m2),A点到直线4x+3y-8=0的距离

d=W^」3(m?+T,...当m=：时,d取得最小值，为故选A.

16.A如图，由抛物线的定义，知|AAi|=|AF|,|BBi|=|BF|,

所以NAAiF=NAFAi.

又NAAF=NAiFO,

所以NAFAi=NAFO.

同理NBFBi=NBiFO,

于是NAFAi+NBFBi=NAiFO+NBFO=NAiFBi,

故NAFBi=90。.故选A.

能力提升练

1.C在4APF中，由抛物线的定义，可得|PA|=|PF|.Y|AEsin60。=4,...|AF|=假.过P作

V3

PBLAF于NPAF=NPFA=3(F,，|PF|=^^=2故选C.

cos3003

2.BC设M(O,y),易知Fg,O),

则B(Y),如图所示.

贝IJ|BBi|*=&.p=VI

424「

•••抛物线方程为y2=2岳，且B停,》，

又B在抛物线上,，乎二?四*今因此y2=4,解得y=±2.故选BC.

3.答案三

解析设点M&y),

V|M0|=V3,1.-0)2+(y-0)2=3,

y2=2或y2=-6(舍去),/.x=y=1.

•••M到抛物线y2=2x的准线x=-；的距离d=l-(-0=^.

•点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离,

.•.点M到该抛物线焦点的距离为：，故答案为，

4.解析(1)因为双曲线的方程为x2《=l,

所以a2=l,b2=3.

所以c2=a?+b2=4.所以c=2.

所以双曲线的焦点坐标分别为(-2,0),(2,0).

(2)因为抛物线y2=2px(p〉0)的焦点与双曲线的一个焦点相同，

所以抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(2,0),所以p=4.

因为点P(x°,yo)为抛物线上一点，

所以点P(xo,yo)到抛物线的焦点的距离等于点P(xo,yo)到抛物线的准线x=-2的距离.

因为点P到抛物线的焦点的距离是5,即xo+2=5,所以x0=3.

5.D设A(xi,yi),B(X2,y2),xi>0,x2>0,yi>0,y2>0,

因为|FA|=2|FB|,所以XI+2=2(X2+2),

因为4'=2■，所以yi=2y2,所以犬=4泥，即8XI=4X8X2,所以x【=4x2,与XI+2=2(X2+2)©<

%1+2X2+2

立，解得X2=l,

所以y2=2V2,

因此k=*_=2,故选D.

X2+23

6.B设直线AB的方程为x=ty+m,点A(xi,yD,B(X2,y2),直线AB与x轴的交点为

M(m,O),将x=ty+m代入y?=x，可得y2-ty-m=0,

根据根与系数的关系得yiy2—m,yi+y2=t.

,-"OA•0B=12,：.xi•x2+yi•y2=12,又xiX2=y：y，,；.(yi•y2>+yi•y2-12=0,令yiy2=u,

则u2+u-12=0,解得u=-4或u=3,,点A,B位于x轴的两侧,，u=yi•y2=-4,故m=4.

故直线AB所过的定点坐标是(4,0),

2

故AAOB的面积S=^X4x|y1-y2|=2xA/(y1+y2)2.4y1y2=2Vt+16^8,

当t=0时，直线AB垂直于x$S,AAOB的面积取得最小值，为8,故选B.

7.解析⑴由点P(xo,/p)在抛物线C上，得(V^p)2=2px。,解得x0=p,

由抛物线定义得,|PF|=xo与±3,解得p=2,

故抛物线C的方程为y2=4x.

⑵设直线1的方程为x=my+l,

联立［V=4x,消去x,得2_4m4=0,

lx=my+1,

故yi+y2=4m,yiy2=-4,

2

所以xix2=—X—=—=1,xi+x2=(myi+1)+(my2+1)=m(yi+y2)+2=4m+2,

4416

贝•05=-(xi+x2)=xiX2+yiy2=-3,BP4m?+2=3,解得m=±j

所以所求直线1的方程为y=2x-2或y=2-2x.

8.B由x?=4y,得p=2,

焦点B(0,l),准线l:y=-l,

从而A(0,-l),如图所示.设NPAQ=0.

V|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,

.|P4|\PA\1

..m=—=—=一.

\PB\|p<2|sine

结合图形知，当AP与抛物线相切时,sin。最小，从而m最大.

设直线AP的方程为y=kx-l(kWO),

由产一,4y；得x2_4kx+4=0,

(y=kx-1,

令A=16k2-16=0,解得k=±l,

不妨取k=l,得P点坐标为(2,1).

22

设双曲线的方程为q3=l(a>0,b>0).

22

在双曲线为/=l(a>0,b>0冲,2c=2,即c=l,

2a=|PA|-|PB|=2V2-2=>a=V2-l,

离心率e=£="^=V^+l,故选B.

a72-1

解题模板在解决圆锥曲线问题时,对条件的运用，可用代数法，借助方程的手段解

决问题;也可用几何法，利用几何性质、几何图形解决问题.如本题中条件

“|PA|=m|PB|"就是借助图形，利用几何性质解决问题，简化运算.

9.AC由y2=4x,得2P=4,即p=2,

••・焦点F(1,O),准线l:x=-l.

设直线AB的方程为x=my+l,A(xi,yi),B(x2,y2).

由0-4x：1得丫2_4nly_4=0,

(.X=my+1

•'•yi+y2=4m,yi•y2=-4,

从而xi+x2=4m2+2,xi•X2=l.

又|AF|=3|BF|,；.x酉=33+)即XI=3X2+2.

X

因止匕X2=m2,且3X2+2X2-1=O^>2=^X2=-l(舍去).

.,.m2=3；.m=±£即直线AB的斜率为±V5C正确;

33

选项A中,C(-l,yi),D(-l,y2),

：.FC•FD=4+yiy2=4-4=0AWZCFD=90°,