整式的乘除-法上海竞赛师

第3讲整式的乘、除法

［模块一：募的运算1

形如心（°大0,加为正整数）的整式就叫做幕，表示，"个a相乘，其中a叫做幕的底数，机叫做幕

的指数.

a-a=a,{a）=a,（a。）=ab,a—a=a,a=La=——=（一）

tana

其中,”。，m,〃为正整数.

*.1经典例题I

【例1】速算比赛:

4组：⑴。队。2。.（2）（o1®）2；（3）（a,0b20）2；（4）a100^a2,其中awO,b^O.

⑵(-d)2.(—片)3；

8组：⑴(-x)3.(-幻2;

0)(-2a2)2.Ma4);⑷9Hmy■y.(一3.2)

，，-2»=2

。组：⑴(4fy)2+8y2；⑵9a"f喈3a分.

(3)1(jaV)34-(3^a&2)2；⑷(OBfyy+dEy

[例2]⑴计算：卜|x2%]x1|x3%]x1-gx4%]x)|x5%}1()2。=.

⑵计算：2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=.

[例3]已知有理数无，y,z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)?+|3y+3z-4|=O，求三勺加之,"的值.

【例4]⑴计算(一2)2°°7+(—2)2°°8的结果为：

【例5】Digitsoftheproductof2516x238is

A.32B.34C.36D.38

［例6］⑴已知d"=2,a1'=3,求产+2”的值.

⑵若2x+5y-3=0,求4'R.

［例7］比较255、3”、53\6"四个数的大小.

【例8］你能比较两个数20082°09和20092皎的大小吗？

为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较〃向与（〃+1）"的大小（"是自然数），然后，

我们分析w=2,n=2,n=3，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论.

⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格中填写“>7"='：“<”号）

012_21;023_32;®34_43;©45_54;®56_65...

⑵从第⑴题的结果经过归纳，可以猜想出“用和（“+D"的大小关系是.

⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小ZOO"。092OO92008.

济.［模块二：整式的乘法

1、单项式与单项式相乘：系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连

同它的指数作为积的一个因式。以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：必3/。3c2=，两

个单项式的系数分别为1和3,乘积的系数是3,两个单项式中关于字母a的幕分别是。和片，乘积中a的

幕是/,同理，乘积中》的幕是/,另外，单项式向中不含c的幕，而3a%3c2中含片,故乘积中含c".

2、单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：

m(a+b+c)=ma+mb+me,其中加为单项式,a+b+c为多项式.

3、多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘,

然后把积相加，公式为:O+〃)(〃+0)=ma+mb+na+nb

林,一［经典例题I

［例9］计算：⑴—y(d—。―c);⑵⑶(％+y)(%_2y)

(4)(x2/-x3/)-(x2-/)；⑸(a-2)(a+2)(2a+1)

【例10]⑴计算：(X2-2X+3)(X-1)(X+1);

【例11］若不论X取何值，多项式尤3—2/_4%-1与(x+l)(%2+如+〃)都相等，求,几・

【例12】已知(％+2)0(冗+町)二炉+2取一6y2,求(m+几)相〃的值.

［15013］使，+〃X+8)(犬2-34+9)的积中不含丁和丁，求〃,夕的值.

模块三：整式的除法

1、单项式除以单项式：系数、同底数的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连

同它的指数作为商的一个因式.如：3603c2+"=3加02,被除式为3/日2，除式为4，系数分别为3

和1，故商中的系数为3,a的幕分别为"和a,故商中.的幕为a2T=。，同理，/,的幕为/,另外，

被除式中含0?,而除式中不含关于c的嘉，故商中c的幕为C?.

2、多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，

公式为：（a+b+c）+/n=a+小+〃+m+。+根,其中m为单项式,a+6+c为多项式.

3、多项式除以多项式：竖式除法（长除法），综合除法（使用于除以一次因式x-a较多＞

一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式八尤）除以除式8（龙），M（幻二°）得

商式。⑶及余式“X）时，就有下列等式：

f（x）=g（x）-q（x）+r（x）

o

其中"%）的次数小于g（x）的次数，或者"x）二°。当"尤）=°时，就是能被g（*）整除。

4、余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（1730-1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论

方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式八元）除以龙一。所得的余数等于/（”）。

证:设/（X）=Q（x）•（%-。）+R将x=a代入得久距Ro

赛.经典例题

【例14】计算：⑴一融）32.（2）（|_L8a^3）Q6ab2

【例15］计算(3孙)2(炉_y2)-(4x2y2)24-8/+9x2y4

【彳列16}"vj"(2x+1)+(3x—2)x(6x—4)+(4x+2).

【例17】计算：(l)(x3-l)^(x-l);(2)(3x4-5x3+x2+2)^(x2+3).

4

【例18】求(3x+7/—11犬+1。％_Q.(%2+3%_2)的商Q和余式Ro

2

/.Q=3x-2x+5,R=3x-2o

【例19】求2/+14X+4-7尤3除以x-2所得的商和余式。

2-70+14+42

解：4-6-12+4

2-3-6+2-^

商的各项的系数,、

(2/+14x+4-7d)+(x-2)的商是2--3x2-6x+2,余式是8。

【例20】求(3/+10/一23%+16)+(3%—2)的商式Q和余式R。

解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用x-2去除被除式，再

3

把所得的商缩小3倍即可。

33+10-23+162

3

+2+8-10

3+3+12+15|+6

1+4-5

/.Q=x2+4x-5,R=6o

【例21］确定m的值使多项式/(x)=/-3x4+8f+lh+”能够被x-1整除。

解：依题意/(元)含有因式xT,故")=0。

1—3+8+ll+m=0o可得m=-170

求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1,它被x-3除余1,且它被x-l除和被

x-2除所得的余数相同。

解：设/(x)=x2-ax+b

：/(x)被x-3除余1,/./(3)=9+3«+^=1①

：/(元)被x-1除和x-2除所得的余数相同，/■⑴=/(2)即1+。+6=4+2。+6②

由②得a=-3,代入①得6=1

/(x)=x2-3x+1o

注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。

即：x2+ax+b=(x-l)(x+m)+R=(x-2)(x+n)+R=(x-3)(x+/7)+1

由(x-l)(x+m~)+R=(x-2)(x+n)+R,可得=-2,n=-\

再由(x-2)(x—1)+R三(x—3)(x+p)+l,解得p=0。

••/(X)=%之—3x+1o

次［精品练习

【练习1】（-1x2y）3-（2xy）2^4

【练习2】（1/yS+gx5y4一'》4,3）十|_/,3

【练习3］5xy2一卜必丫一［3xy2-（xy2一2/丫）］+（一；移）｝

【练习4］若A和B都是整式，且A+x=B,其中A是关于x的四次三项式，则B是关于x的

几次几项式？

【练习5］如果5龙2一日+7被5x-2除后余6,求々的值及商式

【练习6］若〃为不等式"。。＞6。。的解，求〃的最小正整数值

【练习7】若d+3x2—3%+左有一个因式是x+1,则左=

答案：-5

【练习8】如果。涉是整数，且/_%_1是依3+笈2+1的因式，那么匕的值为()

A.-2B.-lC.0D.2

答案：A

【练习9］分别求下面各式的商式和余式。

(1)(3x4-4x3-5x2+6x-7)+(x-2)；

(2)(x5+6/+9x3-14x+8)H-(x+4)；

(4)(2%4-7x3+16x2-15X+15)4-(X2-2X+3)；

6532

(5)(x+x-12x—7X)+(%3+3X+5X-2)

(6)(x3+5x2+3X-9)4-(X+3)=

%3+5%2+3x—9

=(x-l)(x2+6%+9)

二(1)(%+3产

(7)Q。,—4—6a2—tz+2)4-{cr+2a+1)=

2a4—4—6a——a+2

=(a+1)(2<73—3a~—3a+2)

=(a+l)(tz+l)(2a~—5a+2)

=(a+1)2(2a-1)("2)

(8)(2x4-15X3+38%2—39x+14)+(x—2)=

2X4-15^3+38X2-39X+14

=2(x-l)x3-13X2(X-1)+25X(X-1)-14(X-1)

=(x-1)(2X3-13X2+25X-14)

=(x-1)(2/(x-1)-Hx(x-1)+14(x-1))

=(x—l)(x—1)(2/—Ux+14)

=(^-l)(^-l)(2x-7)(x-2)

2、一个关于x的二次多项式/"(x),它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以被x+1整

除,求了(尤)。

‘例题答案、

【例1】A组：(1)储。-4。=/。；⑵(〃。。)2=/00；(3)("72。)2=a20b40；⑷/。。+/="98；

325255

5组：⑴解法一：(一彳)3.(-XT=-%.X=-X；解法二：(一幻3.(-X)=(-X)=-X；

(2)(-a3)2-(-a2)3=a6-(-«6)=-a12;(3)(-2a2)2-(~4a4)=4a4-(-4a4)=-16a8；

232622m+75n+2

⑷(-2x'"y"了.(-%/).(-3xy)=40"/".(-xy^).(-3xy)=12xy；

4

C组：⑴原式=16/y2+8y2=2x；⑵原式=3产t/一“一3c37,“.

⑶原式二工/加士2储/二也/k；⑷原式=里/俨'+16尤4y2"=/_尤2

2716243125125

【例2】⑴建立巧算概念！巧用“乘法分配律”，重点考察学生暴的运算的基本功!

原式=1_gx2)xf--1x3jxf-^x4jxf--1x5j=1536

(2)^^=210-29-28-27-26-25-24-23-22+2

-29(2-l)-28-27-26-25-24-23-22+2

=22(2-l)+2=6

x=3

x—z—2=0

【例3】由题意得3x-6y-7=0,解方程组得，1

y=一

3

3y+3z—4=0

z=1

3n-l

.之一3=3.13xgj-l-3=3-3=0

代入所求代数式得—>3〃TZ4〃-3«

X=3I

[伊J4](1)(-2)2007+(-2)2008=-22007+22008=2x22007-22007=22007

⑵从乘方的概念入手讲解，可得答案为-1.

【例5】251Sx238=2516x232x2s=251Sx416x26=64x10016,故有数位34位.

【例6】⑴/+2"=产.=gm)3•“f=23.3?=8x9=72.

(2)4V-32y=(22)x-(25)y=22X-25y=22x+5v,2x+5y-3=0,2x+5y=3,4r-32y=22T+5?=23=8

【例7】根据幕的性质可知，255=(25)11,344=(34)1\533=(53)"、622=(62)H

根据标的定义可知，表示11个a相乘，故只要比较出2‘、3\5\6。的大小即可.

25=22-23=4x8=32,34=3x3x3x3=81,53=5x5x5=125,62=36

故<6?<3,<53,255<622<3^<533.

【例8】从简单情况找规律.⑴①F<>；②23<32；③3,>43；@45>54;⑤56>6$…

⑵n"+I<(n+D"(H=1,2),n"+1>Cn+Dn(n^3);(3)2OO82009>2OO92008

【例9】⑴原式=-yd+外+勺；(2)原式=%3"+1-x2n+2+；

(3)原式=/-2冲+孙-2y?=炉-孙-2,；(4)^—x2y5—x,y1+x3j4;

(4)原式=(a2+2a-2a-4)(2a+1)=(a2一4)(2。+l)=2a3+a2-8a-4

【例10]⑴原式=(炉一2尤+3)(炉_1)=X4-X2-2X3+2X+3X2-3=x4-2x3+2x2+2%-3.

(2)原式=+y2+32+孙+/[]；/—2,2]=[；了2+2/][；了2_2y2)=；尤4_

【例11】(x+DCx?+mx+〃)=尤-2+x•"a+人"+*2+；放+/=三+(m+l)x2+(m+ri)x+n

因为不论x取何值，两多项式都相等，所以:“+1=-2,m+n=-4,即相=-3,n=-l

【例12】(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,(x+my)(x+ny)=x2+(m+n)xy+mny2,

x2+(m+n)yx+mny2=x2+2xy-6y2,

比较等式两边得〃z+〃=2,mn=-6,所以(〃[+")〃2"=2x(-6)=-12.

1

定理：如果+q“_]X'T+…+qx+%=bnx"+b^x^+-"+blx+b0,

那么a“=b“，%=b,i，…，％=白，a0=b0

【例13】将原式展开得(炉+px+8)(%2—3x+q)=犬+(p—3)三+(q—3p+8)

x2+(pq-24)x+8q,因为积中不含x?和所以，'°,解得

[q-3p+8=0〔4=1

711

【例14]⑴原式=(；467一2/66)+"42力6=6/。一[；⑵原式=苏一2a2/一3"

【例15】原式=[(2x+l)+(4x+2)]・[(6x—4);(3x—2)]=(2x+1)+[2(2x+1)]•[2(3x-2)<(3x-2)]=1.

在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算.

实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数，通过约分，可更容易

地解决问题.其解如下：原式=(2x+l)x—^x(6Dx—(2X+1)-(6I)

3x-24x+2(3x-2)-(4x+2)

【例16]⑴用竖式除法

+X+1

X—，-3+Of+Ox-1

x3-x2

x2+0x

x2-x

x-1

x-1

0

所以，商式为f+%+1,余式为0.

3%2-5X-8

(2)%2+3)3%4-5尤3+尤2+0》+2

3x-+9f

-5x3-8%2+Ox

—5炉—15x

-8x?+15x+2

-8x--24

15x+26

所以，商式为3--5x-8,余式为15x+26.

说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算.计算时注意降赛排列，缺项补0(或空位)，同次

项对齐等等.

对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式=除式x商式+余式，其中余式的最高次数低于除式的最高

次数.当余式为0时，我们也称除式整除被除式，用''除式|被除式”表示.如(1),我们可记为(X-1)|(3_1)；

当余式不为0时，被除式不能整除被除式；当余式为常数时，我们也称余式为余数.显然，当除式为一次

多项式时，余式必为常数.

【例22】原式=9彳2丫2,-y2)-16x4