高中数学《空间向量及其加减运算》导学案

第三章空间向量与立体几何

DISANZHANG3.1空间向量及其运算

3.1.1空间向量及其加减运算

［课前自主预习

H基础导学

1.空间向量

⑴定义

回在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度

皿向量的大小叫做向量的长度或理模.

(3)表示方法

几何表

空间向量用网有向线段表示

不法

用一个字母表示，如图.此向量的起点是A,

终点是B.可记作a.也可记作跟亚，其模记

字母表为于|a|或画|不g|

示法

(4)几类特殊的空间向量

①零向量：/规定长度为0的向量叫做零向量,记为幽0.

②单位向量：四模为1的向量称为单位向量.

③相反向量：回与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量,

记为园~a.

④相等向量：回方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等

长的有向线段表示因同一向量或回相等向量.

2.空间向量的加减法

⑴定义

类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图):

OB=OA+AB=^a+b,

CA=OA-OC=^la-b.

(2)加法运算律

①交换律：a-\-b—[1^Z>+a；

②结合律：(a+〃)+c=E^a+S+c).

H自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打"X")

(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模

就越大.()

(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算.()

(3)0向量是长度为0,没有方向的向量.()

(4)若|a|=|例，则。=方或a=一5.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是

(2)在正方体ABCD-AiBGOi中，应一刖反化简后的结果是

(3)如图所示，已知长方体山iCOi,化简下列向量的表达式：

①筋|一乃=.

②葩+而+9.

^+；宓_2^=-

（4）（教材改编P86T3）如图，在正方体A8CO—4BGO|中，M,N分别为A3,

的中点.用拔，AD,筋।表示向量而；则访，=.

答案⑴球面⑵曲⑶①而②葩③^蕉（4）显+3位出荔

解析（4）砺―MB+BC+CN=}jAB+元叶g0+曲）=曰荔+应旧（一位叶荔）=

；宓+；^+；荔.

卜课堂互动探究

探究1空间向量的概念

例1给出下列命题：

①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同;

②在正方体ABC。-481Goi中，必有正痣；

③若空间向量机，〃，p满足/n=〃，〃=p,则,〃=p；

④空间中任意两个单位向量必相等；

⑤只有零向量的模为0.

其中假命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

［解析］①真命题.根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终

点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同.

②真命题.根据正方体的性质，在正方体ABC。一AiBCiOi中，向量AC与4G

的方向相同，模长也相等，应有宓=布.

③真命题.向量的相等满足传递规律.

④假命题.空间中任意两个单位向量模长均为1,但方向不一定相同，故不

一定相等.

⑤真命题.根据零向量的定义可知.

［答案］A

拓展提升

处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系

(1)两个要素

判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两

者缺一不可.

(2)两个关系

①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方

向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件.

②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此‘‘大于"''小

于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的.

【跟踪训练1］(1)给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；②若方满足|。|>向且a,8同向，则

a>b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量属!与向量诵的长度相等.

其中正确命题的序号为.

答案④

解析①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量

不能比较大小；③错误，如画W宓但必|=|葡，④正确.

(2)给出下列命题:①若|a|=0,则a=0；②若a=0,则一a=0；③a|=|a|,

其中正确命题的序号是.

答案②③

解析①错误，若同=0,则a=0；②正确.③正确.

探究2空间向量的加减运算

例2如图，在长方体ABCD-A用GA中，下列各式中运算结果为向量题的

是（）

①（检一病一施②国+丽〉一觉③（而-而一汤；④（曲一物+通.

A.①②B.②③C.③④D.①④

［解析］①（检一访1）一定=诵+病+威=丽；

②（反'+曲）一蔗=比+曲+筋=反；+石=的；

③（血一旃一诙=防+或=而—丽=砺—丽=劭#丽；

④（励—勘）+龙=苑+荔+应=励+或+应=通+应W诙.

因此，①②两式的运算结果为向量助，而③④两式的运算结果不为向量助.

故选A.

［答案］A

［结论探究］例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量花的有哪些？

①（拔+B+藁；②（荔+初）+威；③（拔+房）+就；④（荔一说J+瑟.

解①（崩+反）+花;=花+花;=花；

②（荔+砌+前=葩+求=元；

③（拔+函）+m=葩+就;=蕉；

@（AAi—54）+5G=（44+45）+3G=/3I+3IG=/G.

故①②③④式运算结果都是向量死.

拓展提升

1.空间向量加法'减法运算的两个技巧

（1）巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算

的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.

（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务

必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确

的结果.

2.化简空间向量的常用思路

（1）分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简.

（2）多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多

边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.

（3）走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路（即沿几何体的

边选择途径）.

【跟踪训练2】在平行六面体ABCD—AiBCQi中，E,F,G,H,P,Q

分别是4A,AB,BC,CC\,C\D\,的中点，则（）

\^F+GH+PQ=OB.旗一萍囱=0

C^EF+GH-PQ=^D^EF-GH+PQ=Q

答案A

解析EF+GH+PQ=AF-AE+CH-CG+D^Q-D^P=0.

探究3空间向量证明题

例3在如图所示的平行六面体中.

求证：AC+AB1+AD1=2/不,

［证明］.♦•平行六面体的六个面均为平行四边形，

：.AC=AB+AD,寇=宓+疝，前=功+疝.

S.AC+A^=（花+而+（宓+/不）+（泡+/F）=2（宓+矗+小？）,

又=亮,AD=BC,

^AB+AD+AA1=葩+配+的=而+的=ACr,

J.AC+AB1+施=2/.

拓展提升

空间向量证明题的注意点

利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和（差）向量的方

向.必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易.

【跟踪训练3】借助平行六面体，证明：（a+A）+c=a+S+c）.

证明作平行六面体ABCO-A'B'CD'使而=a,AD=b,AA1=c,如

图,则:

（a+A）+c=（焉+而+4/=赤+卫=力滑，

”+（6+<0=丽（加疝）=丽（反+华）=宓+初=足，

所以（a+Z>）+c=a+S+c）.

f--------------------------1那般f।-----------------------------

1.在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量

相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条

件是大小相等，方向相反.

2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加、减

法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.

3.空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致

结果计算错误.如森一森，误写成彷，应为我

卜随堂达标自测

1.向量。，b互为相反向量，已知制=3,则下列结论正确的是（）

A.a=bB.a+）为实数0

C.a与》方向相同D.|a|=3

答案D

解析因为a,万互为相反向量，所以。=一），a+b=O,a与5方向相反，

|a|=|Z>|=3.

2.已知空间向量拔，BC,CD,AD,则下列结论正确的是（）

\^B=BC+CD

^AB-DC+BC=AD

CJlb=AB+BC+DC

D.BC=BD-DC

答案B

解析AB-DC+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.

3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点，且就+海=质+沅，则四边形

ABCD是（）

A.空间四边形B.平行四边形

C.等腰梯形D.矩形

答案B

解析,JA0+0B=AB,D0+0C=DC,

：.AB=DC,

...线段AB,0c平行且相等，

?.四边形ABCD是平行四边形.

4.已知正方体ABCD-AiBGOi的中心为0,则在下列各结论中正确结论的

序号为.

①涝+应与曲+而是一对相反向量；

②龙一应与前一宓是一对相反向量；

③洒+南+花中旗前+旗+通+南是一对相反向量；

④褊一游与龙'一优是一对相反向量.

答案①③④

解析下图，在正方体中，E,F分别为AO,囱。的中点,

则由向量运算的平行四边形法则，知应十应H2施滴+濡=2流，又应=一办,

所以命题①正确.

由于加一祀=强,OA-db,=DJ„

所以仍一0。与物1•—如是两个相等的向量，所以命题②是不正确的.

同理可得命题③④是正确的.

5.下图所示，在长方体ABC£>—AiBiCQi中，AB=3,AD=2,A4i=l,以

该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出模为小的所有向量；

(3)试写出与宓相等的所有向量；

(4)试写出荔的相反向量.

解(1)由于AAi=l,所以篇”AJ,嬴丽，QC,而,而这8个向

量都是单位向量，而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个.

(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为小，所以模为小的向量为

机"疝扇，廉，QB,KC,CBX.

(3)与向量懑相等的所有向量(除它自身之外)为诵，DC,蓝.

(4)向量筋।的相反向量为了7,KB,亦KD.

［课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.下列命题正确的有()

①空间向量就是空间中一条有向线段；②若A,B,C,。是不共线的四点，

则宓=虎是四边形ABC。是平行四边形的充要条件；③若aWb,则。与方的方向

不同；④森=之）的充要条件是A与C重合，8与。重合.

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案A

解析①错误，有向线段是表示向量的一种图形工具；②正确，由宓=沆知

AB〃OC或A,B,C,。四点共线，|葩=|应因此在A,B,C,。四点不共线

的前提下，花=茯#48co是平行四边形；③错误，不相等的向量，方向可以相

同；④错误.

2.空间任意四个点A,B,C,D,则瓦1+第一漏于（）

A.厉B.9C.DAD.衣

答案C

解析BA+CB-Cb=CB+BA-CD=CA-Cb=DA.

3.在棱长为1的正方体ABC。-43C。中，\AB-CB+CB]=（）

A.1B.A/2C.\[3D.2

答案B

解析因为济踮+法=能+应+场=油，|葩|=也，故选B.

4.已知空间四边形A8CD,连接AC,BD,设G是CO的中点，则:葩+；（应

+应）等于（）

A.花'B.CGC.反'D$击

答案A

解析如图所示.

是CO的中点,

：.^（Bb+BC）=BG,

：.AB+^（Bb+BC）=AG.

5.如图直三棱柱ABC—。中，若德=a,CB=b,CC,=c,则^^于（）

A.a-\~b-cB.a-b+c

C.—Q+6+CD.-a-\-b-c

答案D

解析A\B=A\C\'\~C\C~\~CB=AC-CC\+CB=—CA—CC\+CB=—ci~Vb—c.

6.空间四边形ABC。中，M,G分别是BC,CO的中点，则就•一科办=（）

A.2DBB.3MG

C.3GMD.2MG

答案B

解析MG-AB+AD=MG+BD=MG+2MG=3MG.

二'填空题

7.下图所示，在三棱柱ABC—A'B'C中，AC^A'^C'是向量,

能与8'：'是向量.（用相等、相反填空）

cc

A'

答案相等相反

解析根据相等向量、相反向量的定义知，

能与，是相等向量.施与9是相反向量.

8.已知向量a,