2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)章末目标检测卷6　平面向量、数系的扩充与复数的引入

章末目标检测卷六平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:80分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2023全国乙,理1)设z=2+i1+i2+i5,则A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点,且2OA+OB+OC=A.AO=2OD B.AOC.AO=3OD D.2AO3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=(A.-3 B.-2 C.2 D.34.已知复数z=a+a+i3-i(a∈R,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-12A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,如图所示,处于平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400N,则该学生的体重(单位:kg)约为()(参考数据:重力加速度大小g取10m/s2,3≈1.732)A.63 B.69 C.75 D.816.(2023全国甲,理4)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=()A.-45 B.-25 C.27.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cosα,2sinα),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,π4 BC.5π12,π8.地砖是一种地面装饰材料,也叫地板砖,是用黏土烧制而成,质坚、耐压、耐磨、防潮.地板砖品种非常多,图案也多种多样.如图,某公司大厅的地板砖铺设方式,地板砖有正方形与正三角形两种形状,且它们的边长都相同,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,O为正方形或正三角形的顶点,若OA=a,OB=b,则AF=()A.-52a-12B.-2+32a-C.-2-33a+D.-2+33a-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数z的共轭复数为z,且zi=1+i,则下列结论正确的是()A.|z+1|=5 B.z的虚部为-iC.z4020=-22010 D.z2+z=z10.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是()A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b方向上的投影向量的模为5C.2m+n=4D.mn的最大值为211.下列命题中是真命题的为()A.2B.复数(1-i)3的虚部是-2C.若复数z=i1+i,则复数zD.满足|z+3|-|z-3|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是双曲线12.(2021新高考Ⅰ,10)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则()A.|OP1|=|OB.|AP1|=|AC.OA·D.OA三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=.

14.若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z=.

15.已知O为坐标原点,向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使AP·BP有最小值,则点P的坐标是16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=1-x2上的一个动点,则BP·

章末目标检测卷六平面向量、数系的扩充与复数的引入1.B因为z=2+i1+i2+i5=2+i1-1+i=2+ii2.B由2OA+OB+得OB+OC=-2OA=即OB+OC=2OD=2所以OD=故选B.3.C由BC=AC−AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0),即AB·BC=(2,3)·(1,0)4.A由题意,得z=a+a+i3-i=a+∵复数z的共轭复数的虚部为-12∴-a+310=-12,解得则z=52+即复数z在复平面内对应的点位于第一象限.5.B设该学生两只胳膊的拉力分别为F1,F2,则|F1|=|F2|=400N,且F1,F2的夹角是60°,则|F1+F2|=(F1+F2)则该学生的体重m=4003g≈40×1.732=69.28故选B.6.D由a+b+c=0,得a+b=-c,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2,即|a|2+|b|2+2|a||b|cos<a,b>=|c|2.又|a|=|b|=1,|c|=2,所以2+2cos<a,b>=2,解得cos<a,b>=0,则<a,b>=π不妨设a=(1,0),b=(0,1).因为a+b+c=0,所以c=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),所以cos<a-c,b-c>=(a-c7.D由题意,得OA=OC+CA=(2+2cosα,2+2sinα),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.8.D如图,以AB的中点M为坐标原点建立平面直角坐标系,设AB=2,则O(0,3),A(-1,0),B(1,0),F(1,2+23),所以OA=(-1,-3),OB=(1,-3),AF=(2,2+23).设AF=λOA+μOB,λ,μ∈R,解得λ所以AF=-2+33OA−33OB,即AF9.ACD由zi=1+i可得,z=1+ii=1-i,虚部为-1所以|z+1|=|2-i|=22因为z2=-2i,z4=-22,所以z4020=(z4)1005=-22010;z2+z=-2i+1+i=1-i=z.故选ACD.10.CD对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a·b=2-1=1>0,则a,b的夹角为锐角,错误;对于B,向量a=(2,1),b=(1,-1),则向量a在b方向上的投影向量的模为a·b|对于C,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a-b=(1,2).若(a-b)∥c,则-n=2(m-2),变形可得2m+n=4,正确;对于D,由C的结论,2m+n=4,而m,n均为正数,可得mn=12(2mn)≤12当且仅当2m=n=2时,等号成立,即mn的最大值为2,正确.11.AB对于A,2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1对于B,(1-i)3=(1-i)2(1-i)=-2i(1-i)=-2-2i,则其虚部为-2,故B正确;对于C,z=i1+i=i(1-i)(1+i)(1-i)=1对于D,根据复数的几何意义可知,|z+3|-|z-3|=4表示在复平面内点Z(x,y)到F1(-3,0)与F2(3,0)的距离之差为常数4,所以复数z的轨迹是以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的双曲线的右支,故D错误.12.AC∵|OP1|=cos|OP2|=cos∴|OP1|=|OP2|,∵AP1=(cosα-1,sinα),AP2=(cosβ-1,∴|AP1|=|AP2|=∴|AP1|,|AP2|不一定相等,∵OA·OP3=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cosOP1·OP2=(cosα,sinα)·(cosβ,-sinβ)=cosαcosβ-sinαsinβ=∴OA·OP3∵OA·OP1=(1,0)·(cosα,sinα)OP2·OP3=(cosβ,-sinβ)·(cos(α+β),sin(α+β))=cosβcos(α+β)-sinβsin(α+β)=cos(β+α+β)=cos∴OA·OP1,13.-103∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得k=-14.1+i(答案不唯一)已知z=a+bi,则z-2i=a+(b-2)i.由|z-2i|=|z|,得a2+(b-故只要b=1,即z=a+i(a可为任意实数)均满足题意,可取z=1+i.15.(3,0)设点P的坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),AP·BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+当x=3时,AP·BP有最小值1.故点P的坐标为(3,016.[0,2+1]如图,作出函数y=1-x这是以点O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为