初中数学几何模型

初中数学几何模型

【模型11倍长

1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交

E

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例1】在菱形A8C。和正三角形8EF中，ZABC=6Q°,G是。尸的中点，连接GC、GE.

(1)如图1,当点E在BC边上时，若AB=10,BF=4,求GE的长；

(2)如图2,当点尸在的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出

你的猜想；并给予证明；

(3)如图3,当点/在。的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予

证明.

【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、尸分别是BC、CD上一点，连接DE、EF,且AE=AF,

ZDAE=ZBAF.

(1)求证：CE=CF；

(2)若NABC=120°,点G是线段AF的中点，连接。G,EG.求证：OG上GE.

【例3】如图，在四边形A5C。中，AB=CD,E、尸分别为BC、中点，BA交所延长线

于G,CD交EF于H.求证：ZBGE=ZCHE.

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形

【例4】如图，平行四边形ABC。中，AE平分NBAO交BC边于E,EP_L4E交CZ)边于F,

交AD边于H,延长54到点G,使AG=CR连接GE若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF

的长为.

【条件】OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD

【结论】口。4c印OBD；ZAEB=ZOAB=NCOD（即都是旋转角）；OE平分NAED；

【例5】如图，正方形ABC。的边长为6,点。是对角线AC、8。的交点，点E在C。上,

且DE=2CE,过点C作CPLBE,垂足为R连接。F，则OF的长为

【例6】如图，口ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AO_LBC于点。，点E在AC边上，连

结BE,AG_L8E于尸，交8C于点G,求NDFG

A

【例7】如图，在边长为6行的正方形ABC。中，E是AB边上一点，G是延长线上一

点，BE=DG,连接EG,CFLEG于点H,交AD于点F,连接CE、BH,若BH=8,则

FG=

【模型1】

【条件】如图，四边形ABC。中，ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°

【结论】AC平分ZBCD

【模型2】

［条件】如图，四边形ABCD中,AB^AD,ZBAD=Z.BCD=90°

【结论】①Z4Cfi=NACD=45°②BC+CD=OAC

【例8】如图，矩形ABC。中，AB=6,AD=5,G为CD中点，DE=DG,FGLBE于F,则

DF为.

【例9】如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM=1,

连接AM,过点8作BNLAM,垂足为N,。是对角线AC、B。的

交点，连接ON,则ON的长为.

【例10］如图，正方形ABC。的面积为64,口是等边三角形，尸是CE的中点，AE,

BF交于点、G,则。G的长为.

半角模型

【模型1】

【条件】如图，四边形ABCD中,AB^AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,

1A

NEAF=—NBAD,点E在直线BC上，点R在直线CD上

2

【结论】BE、DF、所满足截长补短关系„//\

【模型2】

【条件】在正方形ABC。中，已知E、歹分别是边BC、CD上的点，且满足/£AF=45。，AE、

AF分别与对角线瓦)交于点加、N.

【结论】

BE+DF=EF•,(2)S^ABE+S^ADF=S^AEF^(3)AH=AB；(4)CA£CF=2AB；

(5)BM^+DN^MN；

(6)AANMs/\DNF^ABEMsAAEF^丛BNAs^DAM；

(由A。：AH=AO；AB=1：后可得到△AMW和△4EP的相似比为1：行)；

(7)SAAMN=S四边彩MNFE;(8)AAOM^AADF,^AON^AABE；

(9)AAEN为等腰直角三角形，ZAEN=45°；A4FM为等腰直角三角形，ZAFM=45°.

(1.ZEAF=45°；2.AE：AN=1：V2)；

(10)A>M、F、。四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M.N、F、C、E五点共圆.

【模型2变型】

【条件】在正方形ABC。中，已知E、尸分别是边CB、OC延长线上的点，且满足NEAQ45。

【结论】BE+EF=DF

【模型2变型】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、F分别是边CB、OC延长线上的点，且满足NEAF=45。

【结论】DF+EF=BE

【例11］如图，AABC和AD姓是两个全等的等腰直角三角形，NBAC=NEDF=90。,

ADEF的顶点E与AABC的斜边BC的中点重合.将ADM绕点E旋转，旋转过程中，

线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.若

AQ=12,BP=3,贝!JPG=.

Q

【例12］如图，在菱形ABC。中，AB=BD,点E、

BF与DE交于点G,连接CG与8。交于点H,若CG=1,贝IS四边形如*=.

【条件】ZEDF=ZB=ZC,5.DE=DF

【结论】-CED

【例13］如图，正方形ABCO中，点、E、F、G分别为A3、BC、C。边上的点，EB=3,GC=4,

连接EGFG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为.

1、将军饮马

2、费马点

【垂线段最短】

【两边之差小于第三边】

【例16]

如图，矩形ABC。是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、。是入口.现拟在货场内

建一个收费站尸，在铁路线8c段上建一个发货站台X,设铺设公路AP、DP以及PH之

长度和为/.求/的最小值.

【例17】

如图，E、尸是正方形ABC。的边AD上两个动点，满足连接CP交BD于G,连

接8E交AG于点71,若正方形的边长为2,则线段长度的最小值是.

【例18]

如图所示，在矩形ABC。中，AB=4,AD=442,E是线段AB的中点，尸是线段BC上的

动点，ABEP沿直线所翻折到AB'M,连接DB，，加最短为.

《三垂直模型》

1、三垂直+一对应边相等一三角形全等

例2若点M为正方形ABCD边AB上任意一点，作DM=MN交NABC外角的平分

线于点N,求证DMJLMN。

DCDC

例4在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD1MN于D,BEJLMN于E,♦

<1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位费时，显然有：DE=AD+BE;。

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD-BEj♦>

<3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD,BE具有怎样的等量关系？

例3、ZkABC中，A8=AC,D为8c的中点，以D为顶点作/MDN=/8

<1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所

有与ZXADE相似的三角形.

<2）如图（2）,将NMDN畿点D沿逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,

F点（点E与点A不重合〉，不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.

（3）在图（2）中，若AB=AC=10,BC=12,当^DEF的面积等于^ABC的面积的工时，求

4

线段EF的长.

课后练习题

【练习1】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形ABE,4班=90。，AC、

BD交于O。已知AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形。8E的面积.

C_____________________B

【练习2】----------------

问题1：如图1,在等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=BC=CD,点M,N分别在A。，CD

上，ZMBN=-ZABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜

2

想；

问题2：如图2,在四边形A3C。中，AB=BC,NABC+NADC=180。，点”，N分别在D4,

C。的延长线上，若/MBN=L/ABC仍然成立,请你进一步探究线段MV,AM,CN又有

2N

怎