新教材高中数学第三章函数的概念与性质章末检测新人教A版必修第一册

函数的概念与性质

(时间：120分钟满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.函数/'(x)=4甲+T的定义域是()

A.[-1,+8)B.(-8,0)U(0,+8)

C.[-1,0)U(0,+8)D.R

l+x20,

解析：选C要使函数有意义，需满足

xWO,

即—1且AC.

2.已知函数F(x+l)=ei,则〃2)=()

A.1B.0

C.eD.e2

解析：选AV/a+D=ev-1,

AA2)=Al+l)=e1-1=l.

[%+1,xWO,

3.已知函数f(x)=c、若〃方)=10,则a的值是()

[2%,x>0,

A.一3或5B.3或一3

C.-3D.3或一3或5

解析：选A若aWO,则f(a)=3+1=10,解得d=-3(a=3舍去)；若a>0,则F(a)

=2a=10,解得a=5.

综上可得，a=5或a=-3,故选A.

4.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=xB.y=Ix|+1

2.1

C.y=-x+1D.y=--

解析：选B尸x是奇函数，故A不符合题意；y=R+l是偶函数，在(0,+8)上

单调递增，故B正确；尸一f+l是偶函数，在区间(0,+8)上单调递减，C不合题意；y

=一」是奇函数，D不合题意.

X

〃WR)的图象过点(；，码,则4+。等于()

5.已知幕函数f(x)=kxa(AeR,

1

-

2B.1

3

C-2D.2

解析：选A'骞函数/'(x)=Ax"(〃WR,aWR)的图象过点生m),；.A=1,©=

I-111

y]2,：.a=：.A+c=1—2="-

6.已知/1(x)为奇函数，当*>0时，f(x)——x+2x,则/1(*)在[―3,—1]上()

A.单调递增,最小值为一1

B.单调递增,最大值为一1

C.单调递减,最小值为一1

D.单调递减,最大值为一1

解析：选Cf(x)=-*+2x,图象为开口向下，对称轴为x=l的抛物线，所以x〉0

时/Xx)在［1,3］上单调递减.

因为f(x)为奇函数图象关于原点对称，所以函数/'(x)在［-3,—1］也单调递减.

8,0］,当时总

)

R的偶函数,

/(—f>0可得/U—2x)>(一：)=/0),即

故/Xx)在［0,+8)上单调递减.由/'(1—2x)一

f(1l—2x|)>/(；),所以11—2x|g,解得，<矛<|.

(a—3)x+5,

8.已知函数f(x)=<2a是R上的减函数，那么a的取值范围是

—,x>\

X

()

A.(0,3)B.(0,3]

C.(0,2)D.(0,2]

((a-3)x+5,xWl,

解析：选D•函数F(x)=(2a是R上的减函数，

一,x>\

1x

时，f(x)单调递减，即a—3<0,①

x>l时，F(x)单调递减，即a〉0,②

9Q

且(。-3)-1+52了,③

联立①②③解得0〈aW2,故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分)

9.已知f(2x—1)=4/,则下列结论正确的是()

A.f⑶=9B.£(-3)=4

C./1(*)=/D./■(*)=(;(■+1产

解析：选BD因为A2x—1)=(2x—l)z+2(2x—1)+1,故f(x)=x+2x+l=(x+l))

故选项C错误，选项D正确；/(3)=16,f(—3)=4,故选项A错误，选项B正确.故选B、

D.

1+y

10.设/'(x)==，则下列结论一定正确的有()

A.f{—x)=—f(,x)B.=—f{x)

C.《一：)=/(x)D.F(—x)=f(x)

1+x1+(—-

解析：选BD因为f(x)=2J,所以F(—X)=^~——=/U),D正确，A错误;

X1—X)

f(x),B正确；

C错误.故选B、D.

11.如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘

客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议,

如图②③所示.

则下列说法中，正确的有（）

A.图②的建议：提高成本，并提高票价

B.图②的建议：降低成本，并保持票价不变

C.图③的建议：提高票价，并保持成本不变

D.图③的建议：提高票价，并降低成本

解析：选BC根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客

量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确;

由图③可以看出，当乘客量为。时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客

量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确.

12.具有性质：/（?=-f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中

满足''倒负"变换的函数是（）

A.B.f(x)=x+，

fix)=:XX

，x,0<Kl,，x,0<Xl,

0,x=l,/.0,x=l,

C.f(x)=<D.f{x)=<

11

—,x>1X>1

IXlx

解析：选AC对于A,/（；）=：一矛=一（*一；）=—/'（*）,满足"倒负”变换.对于B,

3=‘+X=X+,=/'(X)W—MX),不满足“倒负”变换.对于C,当时，->1,

X)XXX

=­；=—x=­F(x)；当x=l时，［=1，，e=0=­F(x)当加时，0*1,4+：=

X

（一；）=—f（x）,满足‘'倒负"变换.对于D,当（KK1时，：＞1,—f（x）,

x

不满足“倒负”变换.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13.已知事函数f（x）=（/Dfi,则〃2）=.

解析：因为f(x)=(m+1)/T是塞函数，所以必+1=1,即勿=0,所以/'(x)=/‘，所

以/1(2)=27=*

答案：|

14.已知函数f(x)是奇函数，当%>0时，(x)=x(l—x),则当K0时，f(x)=.

解析：因为求0,所以一力0,所以F(—x)=(—x)(l+x),又函数F(x)是奇函数，所

以F(x)=-f(—x)=—(―x)(1+x)=x(l+x),所以当矛<0时，F(x)=x(l+x).

答案：x(l+x)

15.已知/'(x)为定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=x,则f(—，5)=,

不等式F(l—2x)〈F(3)的解集是.

解析：由/'(*)为奇函数且x20时，/■(x)=A?,可得，/■(一4)=一尸(小牙20时，f(x)

=/单调递增，根据奇函数的对称性可知，f(x)在R上单调递增，故由f(l—2x)<f(3)可得,

1-2K3,解得工〉一1.

答案：一3(―1,+°0)

16.设某公司原有员工100人从事产品4的生产，平均每人每年创造产值1万元(力为

正常数).公司决定从原有员工中分流^(0<K100,xGN*)人去进行新开发的产品△的生产.分

流后，继续从事产品/生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了感.若要保

证产品"的年产值不减少，则最多能分流的人数是.

解析：由题意，分流前每年创造的产值为100C(万元)，分流x人后，每年创造的产值

为(100—XA%)t,

[0<K100,A-EN*,

则由《

[(100-A-A%)i^lOOt,

50

解得

J

因为xGN*,所以x的最大值为16.

答案：16

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x+4,且/U)=3.

X

(1)求0的值;

(2)判断函数f(x)的奇偶性.

解：(D：f(D=3,即1+加=3,：.m=2.

2

(2)由(1)知，f(x)=*+,其定义域是{x|x#O,xGR},关于原点对称，又•."(一%)

=-X—彳=—(x+£)=—f(x)，，此函数是奇函数.

18.(本小题满分12分)已知/Xx)是R上的奇函数，且当x>0时，/Xx)=x2—x—l.

(1)求f(x)的解析式；

(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间.

解：(1)设水0,则一x>0,

所以F(一才)=(―x)?—(一才)-1=丁+x—1.

又因为函数/1(x)是奇函数，所以/'(—x)=一『(*),

所以f{x)=-f{-x)=—X—x+l.

当x=0时，由F(0)=-F(0),得/'(0)=0,

{x—x—\(%>0),

所以/U)={o(户0),

[—x—x+l(X0).

(2)作出函数图象，如图所示.

由函数图象易得函数/"(X)的单调递增区间为(一8,一g，&，+8)

f(+f(—v)

19.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)=,,

(1)试判断g(x)与从X)的奇偶性；

(2)试判断g(x),AU)与/(%)的关系；

(3)由此你能猜想出什么样的结论？

左力/\\F(—X)+f(x)/\，/\f(—X)—f(X)，/\

解：(1)•.・/(—X)=-------------------------=g(x)，力(一才)=--------9------------=—/?(%),

，g(x)是偶函数，/?(x)是奇函数.

/c、/、।、f(x)+F(—x).f(x)—F(—x).、

(2)g(x)+/?(x)=-----------------+-----------------=〃x).

(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数

与一个偶函数的和.

20.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足F(x+1)—f(x)=-2x+l,且"2)=

15.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)令g(x)=(1—24x—=x).

①若函数g(x)在区间［0,2］上不是单调函数，求实数〃，的取值范围;

②求函数g(x)在区间［0,2］上的最小值.

解：(1)设f(x)=a*+Ax+c(aW0),则F(x+1)—F(x)=2ax+Z?+a=—2x+l,.\2a

=—2,a+b=\,Aa=—1,bf(2)=15,c=15,/.f{x)=—x+2x+15.

(2)g(x)=(1—2R)X—f(x)=/—(2%+l)x—15,其图象的对称轴为直线入=勿+,.

①，・・g(x)在［0,2］上不单调，，0<%+,<2,

②当加+；W0,即后一］时，g(x)min=g(0)=—15；当0＜勿+兴2,即一；＜欣，时,g(x)

乙乙乙乙乙

/］、613

=J/7/+-J=—m—m—―；当〃，十万22,即加22时，g(x)min=g(2)=-4%一13.

21.(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条

件要求IWxWlO),每小时可获得的利润是(5x+l一习万元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；

(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求

出最大利润.

解：⑴由题意可知I,2(5x+l一9230.

所以5x2—14^—3=(5x+l)(x—3)20,

所以启《或众3.

又IWxWlO,所以3WxW10.

所以x的取值范围是[3,10].