2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展二：利用导数研究不等式能成立(有解)问题(精讲)(原卷版+解析)

拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题（精讲）目录第一部分：：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点解法一：分离变量法重点解法二：分类讨论法重点解法三：等价转化法重点解法四：最值定位法解决双参不等式问题重点解法五：值域法解决双参等式问题第三部分：高考（模拟）题体验第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.4、最值定位法解决双参不等式问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解决双参等式问题,,使得成立①，求出的值域，记为②求出的值域，记为③则,求出参数取值范围.第二部分：第二部分：典型例题剖析重点解法一：分离变量法1．(2023·河南焦作·高二期末（理））若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高二）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．(2023·福建省福州第一中学高二期中）关于的不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．6．(2023·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.7．(2023·全国·高二）若存在正数使成立，则的取值范围是______.8．(2023·全国·高二专题练习）已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为________．9．(2023·福建·莆田二中高二期中）已知函数.(1)若，求函数的极小值.(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．10．(2023·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））已知函数在点处的切线为．（1）求函数的解析式：（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围．11．(2023·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数.(1)若是的极值点，确定的值；(2)若存在，使得，求实数的取值范围.12．(2023·全国·高二专题练习）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.重点解法二：分类讨论法1．(2023·北京·北师大二附中高二阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值.(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.2．(2023·辽宁·沈阳二中高二期中）函数，，e为自然对数的底数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若有且只有唯一整数，满足，求实数a的取值范围.3．(2023·山西大附中高二阶段练习）已知函数．(1)若，求函数y＝f（x）的单调区间；(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数a的取值范围．4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．5．(2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数.(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，为自然对数的底数.(1)判断函数的单调性；(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.重点解法三：等价转化法1．(2023·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数，(1)求在处的切线方程(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．2．(2023·全国·高三专题练习（理））已知函数.(1)若，讨论函数的单调性；(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ax－2lnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．4．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数，.(1)当时，求函数的极值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.5．(2023·宁夏·吴忠中学高二期末（理））已知函数，(1)若，求函数的极值；(2)设函数，求函数的单调区间；(3)若存在，使得成立，求a的取值范围．6．(2023·广东·广州科学城中学高二期中）已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．重点解法四：最值定位法解决双参不等式问题1．(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（

）A．7 B．5 C． D．32．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．3．(2023·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是____．4．(2023·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______5．(2023·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是_________．6．(2023·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）己知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．7．(2023·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数(1)讨论的单调区间；(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.8．(2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数，.(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.9．(2023·重庆南开中学高二期末）设函数.(1)讨论函数在区间上的单调性；(2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.10．(2023·上海·高三专题练习）已知两函数，，其中为实数.（1）对任意，都有成立，求的取值范围；（2）存在，使成立，求的取值范围；（3）对任意，都有，求的取值范围.11．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；（2）若函数，对，，使成立，求实数的取值范围．重点解法五：值域法解决双参等式问题1．(2023·北京·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（

）A．[2，5] B．C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．(2023·内蒙古师大附中高二期末（理））已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（

）A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]4．(2023·首都师范大学附属中学高二期中）已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是________．5．(2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______．6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若、，使得，则实数的取值范围为________.7．(2023·山东省莱西市第一中学高二阶段练习）已知函数.，使得)，求实数a的取值范围.8．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知函数，．（1）求的单调区间；（2）若，，，求的取值范围．9．(2023·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.第三部分：高第三部分：高考（模拟）题体验1．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知函数，若，，使得成立，则实数k的取值范围为_______．2．（2023·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．3．(2023·江西南昌·模拟预测（理））已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．4．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知函数，（），其中e是自然对数的底数.(1)当时，（ⅰ）求在点处的切线方程；（ⅱ）求的最小值；(2)讨论函数的零点个数；(3)若存在，使得成立，求a的取值范围5．(2023·北京朝阳·二模）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．6．(2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知函数.(1)若曲线与直线相切，求a的值；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.拓展二：利用导数研究不等式能成立（有解）问题（精讲）目录第一部分：：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点解法一：分离变量法重点解法二：分类讨论法重点解法三：等价转化法重点解法四：最值定位法解决双参不等式问题重点解法五：值域法解决双参等式问题第三部分：高考（模拟）题体验第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．3、等价转化法当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.4、最值定位法解决双参不等式问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解决双参等式问题,,使得成立①，求出的值域，记为②求出的值域，记为③则,求出参数取值范围.第二部分：第二部分：典型例题剖析重点解法一：分离变量法1．(2023·河南焦作·高二期末（理））若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则，令，所以当，单调递增，当，单调递减，又，所以f(x)>−3，所以.故选：C2．(2023·全国·高二）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】依题意：，令，则，令，则，易知单调递增，，所以单调递增，故，故，则在上单调递增，故，即实数的取值范围为，故选：B.3．(2023·福建省福州第一中学高二期中）关于的不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】题中显然有，设，则，时，，递减，时，，递增，，所以，由得设，则，设，则，设，，时，，递减，时，，递增，而，所以，是增函数，又，所以时，，，递减，时，，，递增，所以，不等式只有一解，则．故选：A．4．(2023·全国·高三专题练习）已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】由题意可得：使得不等式成立.令则.而，，所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，因为，所以，故实数a的取值范围为.故选：A5．(2023·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））已知存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．答案：【详解】令，则令，则在上单调递增，在上单调递减∴，即故答案为：．6．(2023·甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.答案：【详解】由，可得，令，则，∴，函数单调递增，，函数单调递减，所以时，函数有最大值，∴.故答案为：.7．(2023·全国·高二）若存在正数使成立，则的取值范围是______.答案：【详解】由不等式，可得，所以，设，可得，在上单调递减函数，当时，，要使得存在正数使成立，则，所以实数的取值范围是.故答案为：.8．(2023·全国·高二专题练习）已知关于x的不等式有解，则实数a的取值范围为________．答案：【详解】因为有解，所以记，则易知，当时，，当时，所以当时，函数取得最大值所以a的取值范围为：故答案为：9．(2023·福建·莆田二中高二期中）已知函数.(1)若，求函数的极小值.(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．答案：(1)1；(2).（1）当时，则，令，得．时，函数的单调递增区间为，时，函数的单调递减区间为；所以函数的极小值为.（2）由题设，在上，设，则，显然当时恒成立，所以在单调递增，则，综上，，故．10．(2023·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））已知函数在点处的切线为．（1）求函数的解析式：（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围．答案：（1）；（2）．【详解】（1）由题意知：的定义域为，∵∴，解得故．（2）令，，∴，故在时，单调递增，．要存在实数m，使得在时成立，只要即可，解得：．11．(2023·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数.(1)若是的极值点，确定的值；(2)若存在，使得，求实数的取值范围.答案：(1)(2)（1）解：因为，该函数的定义域为，则，由已知可得，可得，此时，列表如下：增极大值减所以，函数在处取得极大值，合乎题意，故.（2）解：存在，使得可得，构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.12．(2023·全国·高二专题练习）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.【详解】（1）当时，，则，所以，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）若存在，使不等式成立，即存在，使不等式成立，存在，不等式成立，设，，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，又，，，即，故，所以实数的取值范围为.重点解法二：分类讨论法1．(2023·北京·北师大二附中高二阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值.(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.答案：(1)函数的极大值为，极小值为；(2)或；(3).（1）解：由已知，得，时，．令，可得或，函数在，，上为单调增函数，在，上为单调减函数，所以函数的极大值为，极小值为.函数的极大值为，极小值为.（2）解：，令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内，满足或恒成立，当且仅当时，，时，，因为，所以当且仅当时，，时，，因为在内有，当且仅当即时取等号，所以当时，，，此时在单调递增，当时，，，此时在单调递减，综上，的取值范围为或．（3）解：，在，上是减函数，时，；时，，即，.①时，由（2）知在，递减（1），不合题意.②时，由，，不合题意③时，由（1）知在，上是增函数，故只需，，，而（e），，，解得．故的取值范围为，．2．(2023·辽宁·沈阳二中高二期中）函数，，e为自然对数的底数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若有且只有唯一整数，满足，求实数a的取值范围.答案：(1)(2)(1)当时，，，所以，，所以函数在处的切线方程为：，即：(2)由得，当时，不等式显然不成立；当时，；当时，设，则，所以函数在和上为增函数，在和上为减函数，所以当时，（舍），当时，，当时，，由得，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，所以，即，所以综上所述，a的取值范围为.3．(2023·山西大附中高二阶段练习）已知函数．(1)若，求函数y＝f（x）的单调区间；(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数a的取值范围．答案：(1)在单调递增，在单调递减(2)(1)当a＝3时，f（x）＝3lnx﹣x，则，且定义域为由；f(x)在单调递增，在单调递减；(2)由题意，，等价于，在上能成立令，，则g（x）在上的最小值小于0，则，①当1+a≥1，即a≥0时，g（x）在上单调递减，所以函数g（x）在上的最小值为g（1）＝1+a+1＝a+2＜0，故a＜﹣2，不符合题意，舍去；②当，即，g（x）在上单调递增，所以函数g（x）在上的最小值为，解得，又，故，③当，即时，故g（x）在上单调递减，在[1+a，1]上单调递增，所以g（x）在上的最小值为因为，所以﹣1＜ln（a+1）＜0，所以所以不符合题意，舍去；综上所述，实数a的取值范围为．4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．答案：(1)增区间是，减区间为，函数有极大值;(2)(3)(1)解：∵，∴，，∴．令，则．∴，和的变化情况如下表：+0递增极大值递减

即函数增区间是，减区间为，函数有极大值是;(2)由已知在上恒成立，即，在上恒成立，∵，∴，故在上恒成立，只需，即，∴只有，由，知；(3)令当时，由，则，，此时不存在，使得成立当时，，所以在上单调递增，所以，令，则，所以实数m的取值范围是.5．(2023·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数.(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.答案：(1)证明见解析(2)或(1)证明：当时，，令，∴在上为增函数，∵，∴，使，∴当时，；当时，，因此，在上为减函数，在上为增函数，当时，，当时，，故函数f(x)在上只有一个零点．(2)解：当时，，由（1）可知，，即，∴当时，，在上为减函数，当时，，在上为增函数，∴，由，知，设，则，∴在上为减函数，又，∴当时，，当时，，∴存在，使不等式成立，此时；当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，所以，所以不存在，使不等式成立，当时，取，即，所以，所以存在，使不等式成立，综上所述，的取值范围是或．6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中，为自然对数的底数.(1)判断函数的单调性；(2)若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.答案：(1)在单调递减；在上单调递增；(2).(1)函数的定义域为，由可得，由可得，由可得，所以在单调递减；在上单调递增；(2)由题意得，且，当时，因为时，，所以在上单调递减，又因为，故在上不可能恒成立；当时，令，则，所以在上单调递增，则，①当，即时，在上单调递增，所以，故在上恒成立；②当，即时，，，故存在在使得，此时函数在上单调递减，又，故在上不可能恒成立，故不符合题意.综上所述，的取值范围.重点解法三：等价转化法1．(2023·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数，(1)求在处的切线方程(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．答案：(1)(2)（1）由，可得，所以切线的斜率，．所以在处的切线方程为，即；（2）令，则，令，，在上，，在上单调递增，，．2．(2023·全国·高三专题练习（理））已知函数.(1)若，讨论函数的单调性；(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围.答案：(1)在和上单调递增，在上单调递减(2)(1)函数的定义域是.当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减.(2)至少存在一个，使得成立，即当时，有解∵当时，，∴有解，令，则.∵，∴在上单调递减，∴，∴，即，∴实数a的取值范围.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝ax－2lnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．答案：(1)答案见解析；(2).（1）当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；当a＞0时，令得；令得；综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；（2）由题意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解则ax≤x－2＋2lnx，．令，xg'(x)＋0－g(x)↗极大值↘所以，因此有所以a的取值范围为：4．(2023·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数，.(1)当时，求函数的极值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.答案：(1)函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值(2)(1)解：当时，，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数的极大值为，无极小值；(2)解：若存在，使不等式成立，则，即，则问题转化为，令，，，当时，，当时，，所以函数在递增，在上递减，所以，所以.5．(2023·宁夏·吴忠中学高二期末（理））已知函数，(1)若，求函数的极值；(2)设函数，求函数的单调区间；(3)若存在，使得成立，求a的取值范围．答案：(1)极小值为，无极大值(2)单调递增区间为，单调递减区间为.(3)(1)当时，，定义域为，令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值(2)，定义域为因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减.综上：单调递增区间为，单调递减区间为.(3)存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故.当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为令因为，所以，则，即，不满足题意，舍去综上所述：a的取值范围为6．(2023·广东·广州科学城中学高二期中）已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．答案：（1）答案见解析；（2）．【详解】（1）．当时，，∴在上单调递增；当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减；当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解．∵当时，，∴有解，令，，则．∵，∴在上单调递减，∴，∴，即，∴实数的取值范围．重点解法四：最值定位法解决双参不等式问题1．(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（

）A．7 B．5 C． D．3答案：D【详解】因为，所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，，，，所以当时，，因为，所以在区间上单调递减，所以当时，，因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，所以实数的最大值为3，故选：D2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：C【详解】因为对于任意的，存在，使，则，因为在上单调递减，所以当时，，当时，，即在上单调递增，则当，由解得：，所以实数a的取值范围为.故选：C3．(2023·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是____．答案：【详解】当时，由得，，∴在单调递减，∴是函数的最小值，∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，即∃x∈[2，3]，使成立，即∃x∈[2，3]，使成立，故.故答案为：4．(2023·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是______答案：【详解】对任意都存在使成立，所以得到，而，所以，即存在，使，此时，，所以，因此将问题转化为：存在，使成立，设，则，，当，，单调递减，所以存在，使成立，则，即，所以实数的取值范围是.故答案为：.5．(2023·新疆石河子一中高二阶段练习（理））已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是_________．答案：【详解】存在，，使得成立，等价于，，使得成立．因为，∴函数在上单调递增，上单调递减，∴时，函数取得极小值即最小值，所以．，可得函数在上单调递减，∴．∴．因此实数a的取值范围是．故答案为：．6．(2023·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）己知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．答案：(1)；(2).（1）由，可得．因为，，所以切点坐标为，切线方程为：，因为切线经过，所以，解得．（2）由题知的定义域为，，令，解得或，因为所以，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增区间为，减区间为．因为，所以函数在区间的最大值为，函数在上单调递增，故在区间上，所以，即，故，所以的取值范围是.7．(2023·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数(1)讨论的单调区间；(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.答案：(1)答案见解析(2)(1)，①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为；②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)由题目知，只需要即可又因为，所以只需要即可即等价于恒成立，由变量分离可知，，令，下面求的最小值，令，所以得，所以在为减函数，为增函数，所以，所以.8．(2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数，.(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.答案：(1)极大值，极小值(2)(1)解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.(2)解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.9．(2023·重庆南开中学高二期末）设函数.(1)讨论函数在区间上的单调性；(2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.答案：(1)答案见解析；(2).（1）,,①当时，恒成立，在上单调递增.②当时，恒成立，在上单调递减，③当时，，在单调递减，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，在单调递减，单调递增.（2）由题意可知：在单调递减，单调递增由（1）可知：①当时，在单调递增，则恒成立②当时，在单调递减，则应（舍）③当时，，则应有令，则，且在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解综上，.10．(2023·上海·高三专题练习）已知两函数，，其中为实数.（1）对任意，都有成立，求的取值范围；（2）存在，使成立，求的取值范围；（3）对任意，都有，求的取值范围.答案：（1）；（2）；（3）.【详解】（1）依题意，，令，则对任意，都有成立，等价于对任意，都有成立，，而，则当或时，，当时，，因此，在和上都单调递减，在上单调递增，当时，取极小值，当时，取极大值，而，，于是得当时，，，所以的取值范围是；(2)由(1)知，，，，存在，使成立，等价于存在，有成立，则，所以的取值范围是；(3)当时，，当时，，当时，，当或时，，当时，，则在和上都是递增的，在上递减，而，，从而得当时，，对任意，都有，等价于在的最大值不大于在上的最小值，即，解得，所以的取值范围是.11．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．答案：（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．【详解】解：（1）∵，∴（1）当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是．时，，∴单增，∴增区间是．（2）当时，∵，∴，∴的减区间是．（3）当时，∵，∴的减区间是．（4）当时，，∴，∴的增区间是，，，∴的减区间是．（2），因为存在实数，使得不等式成立，∴，∵，，，单减，，，∴单增．∴，．∴，∴，∵，∴．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，则的值域是值域的子集．12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；（2）若函数，对，，使成立，求实数的取值范围．答案：（1）；（2）．【详解】（1），在上单调递增，在上恒成立，，当时，，，实数的最小值为.（2）对“，，使成立”等价于“当时，”，在上单调递增，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，解得：，即实数的取值范围为.重点解法五：值域法解决双参等式问题1．(2023·北京·高三专题练习）已知，，若对，，使得，则a的取值范围是（

）A．[2，5] B．C． D．答案：A【详解】，所以在[1，2]递减，在（2，3]递增，,可得的值域为，对称轴为，在[1，3]递增，可得的值域为，若对，，使得，可得的值域为的值域的子集.则，且，解得，故选：A.2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：A【详解】解：不妨设，，，，即，，故，令，，，故在上是减函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极大值同时也是最大值，此时，即的最大值为，故选：．3．(2023·内蒙古师大附中高二期末（理））已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（

）A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]答案：B【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4．故选:B．4．(2023·首都师范大学附属中学高二期中）已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是________．答案：【详解】解：，因为在区间上存在，使得成立，所以函数在区间不是单调函数，所以在上有解，所以在上有解，所以.所以，实数a的取值范围是.故答案为：5．(2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______．答案：【详解】由，得，当时，，所以在上单调递减，所以，即，由，得，当时，，所以在上单调递增，所以，即，因为，，使得，所以，解得，故答案为：6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若、，使得，则实数的取值范围为________.答案：【详解】因为，所以，因此在时，单调递减，所以有.当时，函数是单调递增函数，当时，，即，因为、，使得，所以有：，令，因为，所以，因此函数单调递增，所以有，因此不等式组的解集为：，而，所以；当时，函数是单调递减函数，当时，，即，因为、，使得，所以有：，令，因为，所以，因此函数单调递减，所以有，因此不等式组的解集为空集，综上所述：.故答案为：7．(2023·山东省莱西市第一中学高二阶段练习）已知函数.，使得)，求实数a的取值范围.答案：【详解】由题设，f′(x)＝2x－2ax2＝2x(1－ax)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由a>0，当x∈(－∞,0)时f′(x)<0，∴f(x)在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[.∵g(x)＝，∴g′(x)＝′＝＝，∵x<－时，g′(x)>0，∴g(x)在上单调递增，且值域为.若∃x1∈(－∞,－1]，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则1＋<，可得a<.综上，故实数a的取值范围是.8．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知函数，．（1）求的单调区间；（2）若，，，求的取值范围．答案：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【详解】（1）．在和上，，单调递增．在上，，单调递减．综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）由（1）可知，在和上单调递增，在上单调递减．又，，，．所以在上，．又．所以在上，，，即．因为，，，所以解得．故的取值范围是．9．(2023·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.答案：[－2，0].【详解】由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是[－2，0].第三部分：高第三部分：高考（模拟）题体验1．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知函数，若，，使得成立，则实数k的取值范围为_______．