材料弹塑性及有限元

材料弹塑性基础主讲人:刘拥军西南交通大学材料成型及控制工程教研室二○○八年十二月联系方式：

办公室：87600726；手机电邮：lyjlllxlll@；网络平台：/page/index.jsp?UserName=6370想，要壮志凌云！

学，要脚踏实地！

是研究物体在外力作用下和温度变化时所引起的应力和变形，以及由变形所产生的位移的一门学科。弹性力学所研究的是物体在弹性变形阶段的力学问题。弹性力学不但能解决材料力学和结构力学中的问题，而且能解决它们所不能解决的问题，其研究范围更为广泛，方法更加精确。第1章绪论§1-1弹性力学的内容和研究方法一、弹性力学1、研究对象材料力学的研究对象主要是杆件，弹性力学的研究对象，除杆件以外，还包括板、壳以及实体（例如滚珠）等。2、研究的方法在材料力学中研究梁的弯曲时，引用了平面截面假设，即变形前的平面截面在变形后仍保持为平面。二、材料力学与弹性力学之间的区别在弹性力学里就不作平面截面假设，而是从变形的连续性出发建立几何方程和变形协调条件，即变形前的连续物体、变形后仍保持连续，不发生重叠现象或出现裂纹情况。因此，在大多数的情况下，物体变形后为了保持连续性，原来的平面截面就不再保持为平面。弹性力学研究平衡是以构件内任一微小单元体为对象，建立平衡微分方程，并同时建立微元体间的变形协调条件。这样的研究方法，反映了弹性体变形的普遍规律，所得的结果更符合实际情况。3、分析对象图1-2材料力学在研究构件的平衡时，是用假想截面从构件中切截出一个分离体来考虑，因而只能保证整体平衡，而不能保证构件各微小部分的平衡。（1）和材料力学、结构力学一起，综合地、不同层次地解决各类工程实际问题；（2）校核初等理论所得出公式的可靠性，精确性以及适用范围；（3）为后继课程提供基本方程和研究方法。三、弹性力学的基本任务1、假设物体是连续的：即假设物体整个体积内毫无空隙地都充满着介质。根据连续性假设，物体内的一些物理量，例如应力、应变、位移等，才可能是连续的；2、假设物体是均匀的：即假设整个物体由同一性能材料所组成的，即各点的物理性质，如E、v等不随坐标不同而改变。3、

假设物体是各向同性的即认为材料沿各个方向的力学性能相同。即认为某一点沿各个方向的力学性质E,v等都相同；4、

假设物体是完全弹性的应力与应变呈线性关系，即符合虎克定律。§1-2弹性力学的基本假设5、小变形假设即认为物体在外力作用下各点的位移都远小于其本身的几何尺寸，而应变和转角都远小于1。这样，在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以用变形以前的几何尺寸来代替变形以后的尺寸。此外，物体的变形和各点的位移表达式中二阶微量可以略去不计，从而使得几何变形线性化；6、

假设物体处于自然状态即假设物体无初应力。不考虑物体在制造和加工过程（铸造、焊接、碾压、锻压等）中的初应力。弹性力学中经常用到的基本概念有外力、应力、应变和位移。作用在物体的外力可以分为体积力和表面力，简称为体力和面力。1、体力分布在物体体积内的力，如重力、惯性力、电磁力等。它在坐标轴Ox,Oy,Oz上的投影称为体力分量X,Y,Z,以沿坐标轴正方向为正，反之为负。它们的因次是[力][长度]－3。2、面力是分布在物体表面上的力，例如流体压力、物体表面接触力等。它在坐标轴Ox,Oy,Oz上的投影称为面力，分量X,Y,Z,以沿坐标轴正方向为正，反之为负。它们的因次是[力][长度]－2。§1-3规定的符号3、应力单位面积上的内力,因次是[力][长度]－2。正应力

剪应力4、正面

截面上的外法线沿着坐标轴的正方向，这个截面叫正面。正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；沿坐标轴反方向为负。5、负面

截面上的外法线沿着坐标轴的反方向，这个截面叫负面。负面上的应力分量以沿坐标轴反方向为正；沿坐标轴正方向为负。

对于正应力说来,正为拉应力，负为压应力；对于剪应力说来，没有正与负之分.6、变形就是形状的改变，物体的变形可以归结为长度的改变和角度的改变。为了分析物体在其某一点P的应变状态，在这一点沿着坐标轴Ox,Oy,Oz的正方向取三个微小线段PA,PB,PC,如图1-4。物体变形后，各线段的每单位长度的伸缩，称为线应变，线应变以伸长为正，缩短为负。各线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，剪应变以直角变小时为正，反之为负。线应变和剪应变都是无因次的数量。图1-47、位移

就是位置的移动。物体内任一点P，变形后移动到点（见图1-4），P点的位移，用它在Ox,Oy,Oz三轴上的投影u,v,w来表示，以沿坐标轴正方向的为正，反之为负。

u,v,w称为该点的位移分量。位移及其分量的因次是[长度]。物体内任一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量，都是随着该点的位置而变动，因而都是位置坐标的函数。第2章平面问题的基本理论任何弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，所以实际的弹性力学问题都是空间问题。但对于某种特殊形状的弹性体、受有某种特殊外力，就可以将空间问题转化为平面问题处理，使分析和计算工作量大为简化，而又可得到满足一定的工程精度的要求。§2-1平面应力问题和平面应变问题设有很薄的等厚度平板形式的弹性体，如图2-1所示。只在板边上作用有平行于板面，并且沿板厚均匀分布的面力。体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如平面链片、板式吊钩、梁腹板、高梁、薄圆环、旋转圆盘等，就属于此类问题。

设薄板的厚度为h，以薄板的中面为xOy面，Oz轴垂直于中面。

图2-1一、平面应力问题因为板很薄，外力沿厚度均匀分布，应力沿板厚又是连续分布的，所以可认为在整个薄板的所有各点都存在

σz=0,τzx=0,τzy=0

注意到剪应力的互等定理，因此τxz=0,τyz=0。这样，只剩下平行xOy平面的三个应力分量：

σx,σy,τxy=τyx

同时，也因为板很薄，这三个应力分量，以及所有的需要考虑的应变分量和位移分量，都可以认为沿板厚是不变的，即它们只是x和y的函数，所以这种问题称为平面应力问题。二、平面应变问题

设有等截面长柱体形弹性体，其受力的特点是：面力和体力都平行于横截面，且沿长度（Oz轴）方向不变化，支承情况也沿长度方向不变化。例如厚壁圆筒、高压管道、滚柱、水坝等，见图2-2。假如图2-2所示长柱体，两端因受约束而在OZ轴方向不能移动则此柱体各横截面上的位移分量w均为零，且位移分量u与v仅为坐标x,y的函数，与OZ轴无关，即

u=u(x,y),v=v(x,y),w=0这类问题称为平面位移问题，也称为平面应变问题。在这种情况下，图2-2所示柱体的每一横截面都可视为对称面，即τzx=0，τzy=0。根据剪应力互等定理，可知τxz=0，τyz=0。由于Z方向变形受阻，所以σz并不等于零。平面应变问题有四个应力分量：

σx,σy,σz，τxy=τyx

§2-2平衡微分方程弹性力学分析问题要从静力学方面、几何学方面和物理学三方面来考虑。首先考虑静力学方面，根据平衡条件导出应力分量和体力分量之间的关系式，即平面问题的平衡微分方程。

一般来说，应力分量是坐标x和y的函数，因此，作用于左右面或上下面的应力分量不完全相同，差一个微小量。例如，设作用于左面中点处的正应力是σx

，则作用于右面中点处的正应力，由于x坐标的改变，按泰勒（Taylor）级数展开：

图2-3

。

在静力平衡条件下，各应力分量与体力分量必须满足平衡条件。首先以通过中心D并平行于Oz轴的直线为矩轴,由得

合并相同的项，得到

除以dxdy，略去微量不计（亦即dx,dy都趋于零时），得出 （2-1）这就是已证明过的剪应力互等定理。列出对Ox轴投影的平衡方程，得

约简整理以后，得

两边除以dx,dy得

同理，由平衡方程可得出一个相似的微分方程。于是得出平面应力问题中应力分量与体力分量之间的关系式，即

(2-2）式（2-2）即为平面问题中的平衡微分方程。这两个微分方程中包含着三个未知函数，因此，决定应力分量的问题是超静定问题，还必须考虑变形和位移，才能解决问题。对于平面应变问题来说，由于不等于零，在图2-3所示的六面体上，一般还有作用于前后两面的正应力，但由于它们自相平衡，并不影响xOy平面上平衡方程（2-1）及（2-2）的建立。所以在平面应变情况下，平衡方程仍适用。§2-3几何方程和刚体位移

现考虑几何学方面，导出平面问题应变分量与位移分量间的关系式，即几何方程。经过平面问题的弹性体内任一点P，分别沿Ox轴和Oy轴取微小长度的线段PA=dx,PB=dy，如图2-4所示。假设弹性体受力变形后，P,A,B三点各自移动到，如图。图2-4首先求出线段PA和PB的线应变，即和。设P点在x方向的位移分量为u，则A点在x方向的位移分量将是（仅取一阶微量）。P点在y方向的位移分量是v,A点在y方向的位移分量将是。同理B点在x方向的位移分量是，在y方向的位移分量是。§2-4物理方程虎克定律一、平面应力问题二、平面应变问题§2-5边界条件

§2-6圣维南原理圣维南原理也可叙述为：

在物体上距离外加载荷作用处相当远的地方，其应力与这些载荷作用的详细方式无关，但这些载荷必须互为静力等效力系。

应用圣维南原理可以放宽杆端的边界条件，扩大弹性力学的解题范围。

按应力求解平面问题即以应力分量作为基本未知数。平衡方程（2-2）并不包含应变分量和位移分量，应当保留，再将三个物理方程式代入相容方程，使它只包含应力分量。用平衡方程式和用应力分量表示的相容方程，在适当边界条件下就可能解出应力分量。具体推导如下：

对于平面应力问题，将物理方程（2-8）代入式（2-4），得

(a)§2-7按应力求解平面问题

§2-8平面问题的应力函数方法§2-9按位移求解平面问题第4章弹性力学的变分法

变分法是弹性力学中的重要方法，它是寻求满足边界条件的一系列偏微分方程组的一种近似解法。变分问题，在数学上是求泛函的极值问题。在弹性力学中，泛函就是能量，变分法则是通过对能量求极值来建立弹性力学中的能量原理，从而导出相应的变分方程，并利用这些变分方程求得弹性力学问题的近似解。泛函数在力学中经常遇到，如弹性体的单位体积应变能就是个泛函数。设弹性体受有全部应力σx、σy

、σz、τxy

、τyz、

τzx，假定六个应力分量的六个形变分量全部同时按同样的比例增加到最后的大小，这样就可以简单地计算出每个应力分量的比能（单位体积的应变能），然后把他们叠加，则弹性体的全部必能为：§4-3虚位移原理§4-4最小势能原理§4-5位移变分法及其应用

最小势能原理，给弹性力学问题提供了一种近似解法：设定位移分量的表达式，其中包含若干个待定系数;使其满足位移边界条件;再求得物体的总势能;然后变化上述系数，使总势能取最小值，即可求得物体的位移。例4-2简支梁受集度为q的均布载荷作用，如图4-4所示，试用瑞利-李兹法求梁的最大挠度。解：由梁的边界条件因此，选择位移函数其中，Am为待定系数；梁的应变能

计算载荷的势能：将分布载荷看作一系列的集中力qdx，则每一集中力的势能为-（qdx）v，于是有梁的总势能：梁的应变能与载荷势能之和。按最小势能原理：，即：梁的挠度：将上式带入位移函数有：梁的挠度收敛较好，如只选取第一项，则梁的中点挠度为：此即为梁跨中点的最大挠度，如按照材料力学求解（精确解）误差仅为0.4%，可近似为精确解。第五章平面问题的有限单元法

§5-1有限单元法的基本作法

求解弹性力学问题的困难在于不易找到既满足基本方程又符合边界条件的位移函数或应力函数。因此，在弹性力学中，真正能求得精确的函数解的问题，尚属少数。于是，发展了弹性力学问题的一系列近似解法，它对弹性力学的理论和实践都有重大的意义。有限单元法就是其中一种非常重要的方法。随着现代计算机科学的高速发展和PC计算机的日益普及，有限单元法已成为解决各类结构计算问题的高度通用的有力工具。§5-2弹性体的剖分用有限元法解决弹性力学的问题，首先必须对弹性体进行剖分，对于平面问题来说，最简单的方法是用直线将弹性体剖分为有限个三角形单元或四边形单元，本章将只讨论三个节点的三角形单元。剖分要一直进行到弹性体区域的边界上。当边界是直线时，就取三角形单元的一边；当边界是曲线时，则在每一小段上用相应的直线近似地代替曲线而作为三角形单元的一边。

具体剖分时，一般应注意以下几点：

1）任意三角形单元的顶点，必须同时也是其相邻三角形单元的顶点，而不能是其相邻三角形的内点。2）尽可能使同一个三角形单元各边的长度相差不太大，在三角形单元中，最好不要出现钝角。3）应力较为集中，应力变化较大的地方，单元应分得小一些，单元布置应密集一些；在应力变化比较平缓的地方，单元可分得大一些，单元布置可稀疏一些。4）在厚度或材料常数有突变的地方，除了应把这部分的单元分得较小，较密一些以外，还必须把突变线作为单元的分界线。也就是说，在一个单元内部，只能包含一个厚度和一种材料。

5）当整个弹性体在几何上具有对称轴，而荷载又对称于该轴或反对称于该轴时，则其位移和应力也必然具有这种对称或反对称性质，为了减少计算工作量，只需取其一部分作为求解区域进行单元剖分和计算，例如水电站的引水压力钢管，就可取钢管截面的四分之一部分进行剖分和计算。

6）在对节点编号时应注意，单元