人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题07第十七章勾股定理重难点检测卷(原卷版+解析)

第十七章勾股定理重难点检测卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（辽宁省沈阳市育源集团2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）以下列数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（

）A．1，，4 B．，，1 C．，， D．6，7，82．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，过正方形的顶点作直线，过、作直线的垂线，垂足分别为、，若，，则的长为（

）A． B．2 C．3 D．3．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，以、和为直径分别作半圆，已知，，则的长为（）A． B． C． D．4．（2021春·四川成都·八年级校考期中）如图，在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点，若，则的面积为（

）．A． B． C． D．5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，一长方体木块长，宽，高，一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（

）A． B． C． D．6．（2022秋·河南南阳·八年级校联考期末）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（

）A． B． C．8 D．7．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线，，，上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为，，．若，，则正方形的面积为（）A． B． C． D．8．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）…如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A． B． C． D．9．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（

）A． B． C． D．610．（2023春·八年级单元测试）如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（

）A． B．8 C． D．9二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）己知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为___cm．12．（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图所示，给定，将绕点A旋转，使得点B与线段中点D重合，若，那么__________．13．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则______．14．（2021秋·四川资阳·八年级统考期末）如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．15．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结AB、AC，则______°．16．（2022秋·河南南阳·八年级校联考期末）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为t（）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______．17．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为_______．18．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，为等腰直角三角形，，，点在延长线上，，过点作的垂线交延长线于点．若，连结，，则的最小值为_____．三、解答题（8小题，共66分）19．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积．20．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）如图，在中，，，在中，DE是AB边上的高，，的面积为60．(1)AB的长为______．(2)求四边形ACBE的面积．21．（2022秋·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，该路和铁路在P点处交汇，点A处是第九十四中学，米，点A到铁路的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到吸音影响，火车在铁路上沿方向行驶时．(1)学校是否会受到影响？请说明理由；(2)如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒那么学校受到影响的时间是多久？22．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）仔细阅读下面例题，解答问题．[例题]已知：，求、的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．∴的值为4，的值为4．[问题]仿照以上方法解答下面问题：(1)已知，求、的值．(2)在中，，三边长分别为、、，且满足，求斜边长的值，23．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1．【操作观察】(1)图1中，．①则_________；②若，则________；【理解应用】(2)如图2，若，试说明∶；【拓展延伸】(3)如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、．的最小值为________；24．（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）已知中，．(1)如图1，在中，若，且，求证：；(2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，直接写的长为___________；25．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）定义：有两条边长的比值为的直角三角形叫做“魅力三角形”我们知道，命题“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”是一个真命题，所以“含30°角的直角三角形”就是一个“魅力三角形”．(1)设“魅力三角形”较短直角边为a，较长直角边为b，请你直接写出的值；(2)如图，在中，，，D是的中点，连接．①若点E是的中点，且满足，连接AE，过点D作交于点F．求证：是“魅力三角形”；②若点F在上，如果是“魅力三角形”，且，求线段的长．26．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）问题发现：如图1，在中，，D为边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连接，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为；(1)探究证明：如图2，在和，，，且点D在边上滑动（点D不与点B，C重合），连接．①则线段，，之间满足的等量关系式为；②求证：；(2)拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长．第十七章勾股定理重难点检测卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（辽宁省沈阳市育源集团2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）以下列数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（

）A．1，，4 B．，，1 C．，， D．6，7，8【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可得．【详解】解：A、，则此项不能构成直角三角形，不符合题意；B、，则此项能构成直角三角形，符合题意；C、，，，因为，所以此项不能构成直角三角形，不符合题意；D、，则此项不能构成直角三角形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．2．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，过正方形的顶点作直线，过、作直线的垂线，垂足分别为、，若，，则的长为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】D【分析】先利用判定，从而得出，最后利用勾股定理得出的长．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．3．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，以、和为直径分别作半圆，已知，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】在中，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．4．（2021春·四川成都·八年级校考期中）如图，在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点，若，则的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由作法得平分，即，易得，，即有，可得，在，，则有，即，可得，根据即可求解．【详解】解：由作法得平分，即，∵，，∴，，∴，∴，即，∵在，，∴，即，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度不大．判断出平分，是解答本题的关键．5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，一长方体木块长，宽，高，一直蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点位置最短路径的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分别分析．【详解】解：如图将长方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段即为最短路线．①如图1，∵，，，∴在中，，，∴；②如图2，∵，，，∴，∴，∴．②如图3，∵，，，∴，，∴．∵，∴蚂蚁所行路程的最小值为．故选：B．【点睛】此题考查了最短路径问题．解决本题的关键是熟练掌握用勾股定理的应用，要注意数形结合思想的应用．6．（2022秋·河南南阳·八年级校联考期末）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】利用全等三角形的性质证明，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，解直角三角形求出，即可解决问题．【详解】解：延长到点E，使，连接，∵是边上的中线，∴，又∵，，∴，∴，∵，，∴中，，∴是直角三角形，在中，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线，，，上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为，，．若，，则正方形的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】正方形的面积为边长的平方，所以只要能求边长的平方即可；作辅助线构建全等三角形，证明，则，即，利用勾股定理求出的平方，可得结论．【详解】解：过A点作分别交于点N、M，过C点作分别交于点H、G，∵四边形是正方形，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，在和中，∵，∴，∴，∴即，∴在中，由勾股定理得：，则正方形的面积为13；故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、正方形的面积，同时利用了同角的余角相等证明两角相等，为全等创造了条件，此方法在直角三角形经常运用，要熟练掌握．8．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）…如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直角三角形中勾股定理可得生长的两个正方形面积和刚好是斜边的平方，即也是原正方形的面积，即每生长一次面积都增长1即可得到答案．【详解】解：如图所示，根据勾股定理得：

，，，由此可知每生产一次面积增加1，∴“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是：，故选D【点睛】本题考查勾股定理及勾股数的规律问题，解题的关键是找到规律．9．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，先证明△QBM≌△PAC，得到MQ=CP，则AQ+CP=AQ+MQ，当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，利用勾股定理求出AM的长度，即可得到答案．【详解】解：如图，作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，∴∠QBM+∠ABC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠PAC+∠ABC=90°，∴∠QBM=∠PAC，∵BM=AC，AP＝BQ，∴△QBM≌△PAC（SAS），∴MQ=CP，∴AQ+CP=AQ+MQ，在△AQM中，AQ+MQ>AM，当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，∴AQ+CPAM，∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴，∵，，∴，∴，即的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出有最小值的临界条件，从而进行解题．10．（2023春·八年级单元测试）如图，在三角形，，，是上中点，是射线上一点．是上一点，连接，，，点在上，连接，，，，则的长为（

）A． B．8 C． D．9【答案】D【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则，即可证明，推出；设，证明△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，则，由此即可得到答案．【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，∵在三角形，，，∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则，∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，∴AH⊥BC，∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴，∴，∴，∴，∴，∴，设，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），，，∴，∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）己知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为___cm．【答案】或【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为的边为斜边；（2）边长为的边为直角边．【详解】解：（1）当边长为的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为；（2）当边长为的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为，故该直角三角形斜边长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，解题的关键是利用分类讨论思想进行解答．12．（辽宁省部分学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图所示，给定，将绕点A旋转，使得点B与线段中点D重合，若，那么__________．【答案】【分析】先根据已知和旋转的性质得出，得出为等边三角形，得出，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，从而得出为直角三角形，利用勾股定理得出和的关系【详解】解：∵将绕点A旋转，使得点B与线段中点D重合，∴，∴为等边三角形，∴，∵∴，∴，∴∴故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及勾股定理，得出为直角三角形是解题的关键13．（2020秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则______．【答案】3【分析】设，由翻折易得，，在中，根据勾股定理即可求得的长．【详解】解：设，∵两直角边，，∴，由折叠的性质得，∴，，，在中，，，，，即，∴，即，故答案为：3．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．14．（2021秋·四川资阳·八年级统考期末）如图，在长方形中，E为上一点，将沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．若，则的长为____________．【答案】5【分析】设，由，利用勾股定理可得的长，在中，利用勾股定理列式，即可解得，据此即可求解．【详解】解：∵四边形是长方形，∴，设，则，∵，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理及应用等知识，熟练掌握翻折的性质和矩形性质是解题的关键．15．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结AB、AC，则______°．【答案】45【分析】作关于竖直边的对称线段，连接，根据勾股定理分别求出、、，根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形计算即可．【详解】解：如图，作交于点G，在图中小正方形的顶点取点D，连接AD，CD，过C作交于点H，由勾股定理得，则+=，∴为等腰直角三角形，∴，又∵，，∵∴∴∴故答案为：45．【点睛】本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．（2022秋·河南南阳·八年级校联考期末）如图，在中，，，，若动点P从点A出发，以的速度沿折线运动．设运动时间为t（）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为______．【答案】或##或【分析】根据题意可知，然后分两种情况讨论：当点P在上和当点P在上，即可求得t的值【详解】∵在中，，，，∴，∵点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线运动，设运动时间为，当点P在上，且时，∵，，∴，∴，当点P在上，且时，∵点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线运动，∴，∴，综上所述：当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为或19【点睛】本题考查了勾股定理和与线段有关的动点问题，熟练掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键17．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点在上，若，则图中阴影的面积为_______．【答案】6【分析】如图，连接，过点作，证明，从而得到、、在一条直线上，在类比赵爽弦图可得，，，现只需求出边的长度即可计算面积．【详解】如图，连接，过点作，∴，∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴∴在与中：∴（AAS）∴又∵是正方形，∴，，∴，∴是平行四边形，∴∴、、在一条直线上，故：也是直角三角形且，由四边形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，类比赵爽弦图已知，即可证明（此处证明略）则：∵，∴∴．故答案为：6．【点睛】本题是考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．18．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，为等腰直角三角形，，，点在延长线上，，过点作的垂线交延长线于点．若，连结，，则的最小值为_____．【答案】【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，设，所以，，然后利用勾股定理可得，，设，所以，，根据两点间的距离可以建立平面直角坐标系，设，，，，作点关于轴的对称点，连接，可得，所以的最小值为的值，然后利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：为等腰直角三角形，，，，过点作的垂线交延长线于点，为等腰直角三角形，，设，，，，，在中，，，设，，，如图建立如下平面直角坐标系，设，，，，，，作点关于轴的对称点，连接，，的最小值为的值，，，．的最小值为．故答案为：．【点睛】本题属于几何变换综合题，难度很大，是中考填空题的压轴题，考查了轴对称最短路线问题，等腰直角三角形，坐标与图形性质，勾股定理，两点之间的距离，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．三、解答题（8小题，共66分）19．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积．【答案】【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，从而不难求得这块地的面积．【详解】解：连接，如图所示：∵，，，∴，∵，∴为直角三角形，∴，，∴这块地的面积为：．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．20．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）如图，在中，，，在中，DE是AB边上的高，，的面积为60．(1)AB的长为______．(2)求四边形ACBE的面积．【答案】(1)15(2)114【分析】（1）根据三角形的面积公式列式求解即可；（2）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，求出的面积，进而可得答案．【详解】（1）解：由题意得：，∴，故答案为：．（2）解：∵在中，，，，∴，，∴，∴是直角三角形，∴，∴四边形的面积．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是证明是直角三角形．21．（2022秋·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，该路和铁路在P点处交汇，点A处是第九十四中学，米，点A到铁路的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到吸音影响，火车在铁路上沿方向行驶时．(1)学校是否会受到影响？请说明理由；(2)如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒那么学校受到影响的时间是多久？【答案】(1)会受到影响，理由见解析(2)秒【分析】（1）过点A作于点E，由点A到铁路的距离为80米可知，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线于两点，连接，则，在中利用勾股定理求出的长，进而可得出的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过是所用的时间即可．【详解】（1）解：会受到影响，理由如下：过点A作于点E，∵点A到铁路的距离为80米，∴，∵周围100米以内会受到噪音影响，，∴学校会受到影响；（2）解：以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线于两点，连接，则，在中，∵，∴，∴，∴．答：学校受到影响的时间是秒．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．22．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）仔细阅读下面例题，解答问题．[例题]已知：，求、的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．∴的值为4，的值为4．[问题]仿照以上方法解答下面问题：(1)已知，求、的值．(2)在中，，三边长分别为、、，且满足，求斜边长的值，【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出、；（2）根据完全平方公式、非负数的性质分别求出、，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）解：，，，，，，；（2）解：，，，，，，，在中，，．【点睛】本题考查的是配方法的应用，解题的关键是掌握非负数的性质、完全平方公式．23．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1．【操作观察】(1)图1中，．①则_________；②若，则________；【理解应用】(2)如图2，若，试说明∶；【拓展延伸】(3)如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、．的最小值为________；【答案】(1)①；②(2)见解析(3)【分析】（1）①由于翻折，故，所以－；②由于翻折，故平分，故点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；（2）由于翻折，知，又因为，等量代换得，从而，整理代换即可；（3）根据“将军饮马模型知，的最小值为．再根据，，可推断出是含角的直角三角形，从而得到的长，得解．【详解】（1）解：①翻折，，－－－；故答案为：；②翻折，平分，点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高∴由三角形面积公式可知，，又∵，∴．故答案为：；（2）翻折，，，又，，，又．（3）翻折，，当点、、共线时，有最小值为的最小值为，，是含角的直角三角形，即∴的最小值为48．【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，轴对称求线段和最值问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．24．（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）已知中，．(1)如图1，在中，若，且，求证：；(2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，直接写的长为___________；【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）求出，再利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接，先求出是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用勾股定理列式进行计算即可得解；【详解】（1）证明：，，即．在与中，，，；（2）解：如图2中，连接，垂直平分，，是等边三角形，，，，，，，；【点睛】本题考属于三角形综合题，查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．25．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）定义：有两条边长的比值为的直角三角形叫做“魅力三角形”我们知道，命题“直角三