2024年高考数学第一轮复习讲义第九章培优课9.10　圆锥曲线压轴小题突破练(学生版+解析)

§9.10圆锥曲线压轴小题突破练题型一离心率的范围问题例1(1)已知F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝eq\f(a2,c)与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[eq\r(2)－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤eq\f(π,6)，则双曲线离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞)) B．[eq\r(3)＋1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3)＋1,2))) D．(1，eq\r(3)＋1]听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求解圆锥曲线离心率范围问题的策略(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪训练1(1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则e1e2的最小值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),4)D.eq\f(3,4)(2)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))题型二圆锥曲线中二级结论的应用命题点1椭圆、双曲线中二级结论的应用例2(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝eq\f(1,2)，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝eq\r(3)，则该椭圆的长轴长为()A．2B．4C．6D．12听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．3听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan

eq\f(θ,2)，双曲线中＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).跟踪训练2(1)如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)(2)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．－1D．－eq\f(1,2)命题点2抛物线中二级结论的应用例3(1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为()A．2 B．2eq\r(6)＋3C．4 D．3＋2eq\r(2)听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为eq\f(π,6)的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华与抛物线的焦点弦有关的二级结论：若倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠0，\f(π,2)))的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则①焦半径|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα)，②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)，③S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(O为坐标原点)，④x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，⑤eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．跟踪训练3已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，S△OAB＝eq\f(\r(2),3)|AB|，则|AB|的值为()A.eq\f(9,2)B.eq\f(2,9)C．4D．2题型三圆锥曲线与其他知识的综合例4油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则①该椭圆的离心率为eq\f(\r(3)－1,2)；②该椭圆的离心率为2－eq\r(3)；③该椭圆的焦距为eq\f(3\r(2)－\r(6),3)；④该椭圆的焦距为2eq\r(3)－1.其中正确的结论是________．(填序号)听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．跟踪训练4(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为eq\f(10\r(3),3)，下底外直径为eq\f(2\r(39),3)，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则下列结论不正确的是()A．双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1B．双曲线eq\f(y2,3)－x2＝1与双曲线C共渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3§9.10圆锥曲线压轴小题突破练题型一离心率的范围问题例1(1)已知F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝eq\f(a2,c)与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[eq\r(2)－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案D解析由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，又|FA|＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c)，|PF|∈[a－c，a＋c]，∴eq\f(b2,c)∈[a－c，a＋c]，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac－c2≤a2－c2，,ac＋c2≥a2－c2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e≤1，,2e2＋e－1≥0，))又∵e∈(0,1)，∴e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)(2022·哈尔滨模拟)已知双曲线的方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤eq\f(π,6)，则双曲线离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞)) B．[eq\r(3)＋1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3)＋1,2))) D．(1，eq\r(3)＋1]答案D解析由题意eq\f(|PF2|,2c)＝sin∠PF1F2≤sin

eq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，所以0<|PF2|≤c，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，所以e2－2e－2≤0，又e>1，故解得1<e≤eq\r(3)＋1.思维升华求解圆锥曲线离心率范围问题的策略(1)利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．(2)利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)．(3)利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．跟踪训练1(1)(2022·南京市宁海中学模拟)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则e1e2的最小值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(\r(3),4)D.eq\f(3,4)答案A解析设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a1，,|PF1|－|PF2|＝2a2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝a1＋a2，,|PF2|＝a1－a2，))设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝eq\f(π,3)，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos

eq\f(π,3)，整理得aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)＝4c2，故eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))＝4.又4＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))≥2eq\r(\f(1,e\o\al(2,1))×\f(3,e\o\al(2,2)))＝eq\f(2\r(3),e1e2)，即2≥eq\f(\r(3),e1e2)，所以e1e2≥eq\f(\r(3),2)，即e1e2的最小值为eq\f(\r(3),2)，当且仅当eq\f(1,e\o\al(2,1))＝eq\f(3,e\o\al(2,2))，即e1＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(\r(6),2)时，等号成立．(2)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案C解析连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sinα≥sin60°，连接OA，则sinα＝eq\f(|OA|,|OP|)＝eq\f(b,|OP|)≥eq\f(\r(3),2)，∴|OP|≤eq\f(2b,\r(3)).又P是C上任意一点，则|OP|max≤eq\f(2b,\r(3))，又|OP|max＝a，∴a≤eq\f(2b,\r(3))，则由a2＝b2＋c2，得e2≤eq\f(1,4)，又0<e<1，∴e∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).题型二圆锥曲线中二级结论的应用命题点1椭圆、双曲线中二级结论的应用例2(1)(2022·咸宁模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝eq\f(1,2)，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝eq\r(3)，则该椭圆的长轴长为()A．2B．4C．6D．12答案D解析由e＝eq\f(1,2)，得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c.①在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，得＝b2tan

eq\f(∠F1PF2,2)＝eq\f(1,2)r(2a＋2c)，即eq\f(\r(3),3)b2＝eq\r(3)(a＋c)，②由a2＝b2＋c2，③联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3eq\r(3)，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.(2)(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B．2C.eq\r(3)D．3答案A解析如图，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－eq\f(1,k)，依题意，kPB·kPA＝eq\f(b2,a2)，∴－eq\f(1,k)·(－k)＝eq\f(b2,a2)，∴eq\f(b2,a2)＝1，即e＝eq\r(2).思维升华焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆中＝b2·tan

eq\f(θ,2)，双曲线中＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).周角定理：已知A，B为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).跟踪训练2(1)如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)答案D解析设双曲线C2的方程为eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1，则有aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,1)＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为beq\o\al(2,1)tan45°＝eq\f(b\o\al(2,2),tan45°)，即beq\o\al(2,2)＝beq\o\al(2,1)＝1.所以aeq\o\al(2,2)＝ceq\o\al(2,2)－beq\o\al(2,2)＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝eq\f(c2,a2)＝eq\r(\f(3,2))＝eq\f(\r(6),2).(2)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．－1D．－eq\f(1,2)答案B解析∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1，又kMA·kMB＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(1,2)，∴kMB＝eq\f(1,2).命题点2抛物线中二级结论的应用例3(1)(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为()A．2B．2eq\r(6)＋3C．4D．3＋2eq\r(2)答案D解析因为p＝2，所以eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)＝1，所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))＝3＋eq\f(2|AF|,|BF|)＋eq\f(|BF|,|AF|)≥3＋2eq\r(\f(2|AF|,|BF|)·\f(|BF|,|AF|))＝3＋2eq\r(2)，当且仅当|BF|＝eq\r(2)|AF|时，等号成立，因此2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2eq\r(2).(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为eq\f(π,6)的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．答案64解析方法一(常规解法)依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，直线l的方程为x＝eq\r(3)y＋4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)y＋4，,y2＝16x，))消去x，整理得y2－16eq\r(3)y－64＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝16eq\r(3)，y1y2＝－64.S△OAB＝eq\f(1,2)|y1－y2|·|OF|＝2eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(16\r(3)2－4×－64)＝64.方法二(活用结论)依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.又l的倾斜角α＝eq\f(π,6).所以S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(82,2sin\f(π,6))＝64.思维升华与抛物线的焦点弦有关的二级结论：若倾斜角为αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠0，\f(π,2)))的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则①焦半径|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝eq\f(p,1＋cosα)，②焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)，③S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(O为坐标原点)，④x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，⑤eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，⑥以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．跟踪训练3已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，S△OAB＝eq\f(\r(2),3)|AB|，则|AB|的值为()A.eq\f(9,2)B.eq\f(2,9)C．4D．2答案A解析如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，由eq\f(1,|BF|)＋eq\f(1,|AF|)＝eq\f(2,p)，得eq\f(1,t)＋eq\f(1,2t)＝eq\f(2,p)⇒t＝eq\f(3,4)p，∴|AB|＝3t＝eq\f(9,4)p，又|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，∴eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(9,4)p⇒sinα＝eq\f(2\r(2),3)，又S△OAB＝eq\f(\r(2),3)|AB|，∴eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(\r(2),3)|AB|，即eq\f(p2,\f(4\r(2),3))＝eq\f(\r(2),3)·eq\f(9,4)p⇒p＝2，∴|AB|＝eq\f(9,2).题型三圆锥曲线与其他知识的综合例4油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则①该椭圆的离心率为eq\f(\r(3)－1,2)；②该椭圆的离心率为2－eq\r(3)；③该椭圆的焦距为eq\f(3\r(2)－\r(6),3)；④该椭圆的焦距为2eq\r(3)－1.其中正确的结论是________．(填序号)答案②③解析sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，如图，A，B分别是椭圆的左、右顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为圆的圆心．因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝eq\r(2)，设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝eq\r(2).因为∠A＝60°，∠B＝45°，|BC|＝2，|AB|＝2a，由正弦定理得eq\f(2,sin60°)＝eq\f(2a,sin60°＋45°)，解得a＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),6)，所以c＝eq\r(2)－a＝eq\f(3\r(2)－\r(6),6)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(2)－\r(6),3\r(2)＋\r(6))＝2－eq\r(3)，2c＝eq\f(3\r(2)－\r(6),3).思维升华高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题，体现出数学的应用性．跟踪训练4(2022·福州质检)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为eq\f(10\r(3),3)，下底外直径为eq\f(2\r(39),3)，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则下列结论不正确的是()A．双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1B．双曲线eq\f(y2,3)－x2＝1与双曲线C共渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3答案C解析依题意可知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)，4))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(39),3)，－2))，对于A，将M，N的坐标分别代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(25,3a2)－\f(16,b2)＝1，,\f(13,3a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,b2＝9，))所以双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，其渐近线为y＝±eq\r(3)x，故A正确；对于B，由eq\f(y2,3)－x2＝1，可知其渐近线为y＝±eq\r(3)x，故B正确；对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0，则eq\f(x\o\al(2,0),3)－eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝3xeq\o\al(2,0)－9，由题可知D(－eq\r(3)，0)，E(eq\r(3)，0)，则kPD＝eq\f(y0,x0＋\r(3))，kPE＝eq\f(y0,x0－\r(3))，kPD·kPE＝eq\f(y0,x0＋\r(3))·eq\f(y0,x0－\r(3))＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－3)＝3，即存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确．课时精练1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))答案C解析∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其半径r＝c，依题意，该圆总在椭圆内部，∴c<b，即c2<b2＝a2－c2，即eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，即e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).2．(2022·保定模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C．3D．5答案B解析如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，∵F2为MM′的中点，且|MN|＝|M′N|，∴NF2⊥MF2，∴MF2NF1为矩形，∴＝4a2，又＝eq\f(b2,tan\f(π,4))＝4a2，即b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).3．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(3)答案B解析由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.∵双曲线一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝4.∵kAB＝kNF＝1，且kON＝eq\f(1,3)，∴kAB·kON＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，即a2＝3b2，易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，∴双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3).4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10答案A解析如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则直线l2的倾斜角为eq\f(π,2)＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(4,sin2θ)，|DE|＝eq\f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(4,cos2θ)，∴|AB|＋|DE|＝eq\f(4,sin2θ)＋eq\f(4,cos2θ)＝eq\f(4,sin2θcos2θ)＝eq\f(16,sin22θ)≥16，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝eq\f(π,4)时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.5．(2022·白山模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(6)答案A解析不妨设渐近线的方程为y＝－eq\f(b,a)x，因为F1(－c,0)，所以直线MF1的方程为y＝eq\f(a,b)(x＋c)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,y＝\f(a,b)x＋c，))可得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，\f(ab,c)))，又MF2∥OP，O为F1F2的中点，所以P为MF1的中点，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c))),2)，\f(ab,2c)))，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2＋c2,2c)，\f(ab,2c)))，又点P在双曲线上，所以eq\f(a2＋c22,4a2c2)－eq\f(a2,4c2)＝1，又eq\f(c,a)>0，则解得eq\f(c,a)＝eq\r(2)，所以该双曲线的离心率为eq\r(2).6．已知双曲线C：x2－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题不正确的是()A．若θ＝60°，则S＝4eq\r(3)B．若S＝4，则|PF2|＝2eq\r(3)C．若△PF1F2为锐角三角形，则S∈(4,4eq\r(5))D．若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为9x2－eq\f(9y2,4)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,3)))答案B解析由x2－eq\f(y2,4)＝1，得a2＝1，b2＝4，则a＝1，b＝2，c＝eq\r(5)，焦点△PF1F2的面积公式S＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(4,tan\f(θ,2))，将θ＝60°代入可知S＝4eq\r(3)，故A正确；当S＝4时，θ＝90°，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，))可得|PF2|＝2，故B不正确；当∠F1PF2＝90°时，S＝4，当∠PF2F1＝90°时，S＝4eq\r(5)，因为△PF1F2为锐角三角形，所以S∈(4,4eq\r(5))，故C正确；设G(x，y)，P(x0，y0)(x0>1)，则xeq\o\al(2,0)－eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1(x0>1)，由题设知F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x，,y0＝3y，))所以点G的轨迹方程为9x2－eq\f(9y2,4)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a